材料力学 正应力及其强度条件

中性层
中性轴
对 称 z o 轴 中 性 y 轴
中性层
F
F
m
n
2．纯弯曲正应力公式的推导 （一）几何关系： o
中性层
d q
m
n
中性轴
m
n o
z m o 1
m
n
z
r
o
o 2
n
中性轴
y
dx
n m dx
y
变形前:
y
l = dx = r × dq
变形后:
100
例题 4.22 &
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
F
150 50
A l 2 l 2
B
96 . 4 C 50
F
实验现象：
F
ü1、变形前互相平行的纵向直
m
n
线、变形后变成弧线，且凹边纤 维缩短、凸边纤维伸长。
ü2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
§由现象1
j靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的 一侧，纤维伸长； k由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出 一侧的缩短或伸长是连续变化，故中间一定 有一层，其纤维长度不变，这层纤维称为中 性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； l弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
28 . 1
kNm
13. 16
例题 4.24 &
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］=50MPa，抗压强度 ［σ－］=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。 200
q = 12kN m
F = 25kN
A C
A
F A
åM
A
= 0 = 0
x
F B
å M
B
) F P (l - x F = (l - x ) = 0 F B B l - F l F x - Fx F l = 0 A F = A l
附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的 许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200 kN吊车
150kN 吊车 B C F l
辅助梁
1.确定F加在辅助梁的位置
r
从式 s = E ×
y
ò
ò
ò
ï ï î
My ——对y轴的力偶矩
式中IZ为梁截面对中性轴Z的惯性矩
M
M
中性轴
m
n o
dA
z
y
M Z 因 = r EI Z
1
将其代入式 s = E ×
y
r
s
o
M z y 有 : s = I z
z
m
n
dx
y
上式即为矩形截面梁在纯弯曲 时横截面上的正应力计算公式 式中:MZ:横截面上的弯矩 y:所求应力点到中性轴Z的距离 IZ:梁横截面对中性轴Z的惯性矩 I Z M Z × y m ax M z 抗弯截面系数 = = W Z = IZ W z y m a x
A
0 . 5 m
W Z =
M max = 61 . 2 cm 3 [s ]
B
2 m
F 1 kN B = 28.
F 9 kN A = 46.
31 . 9
查表
N 0 12.6工字钢
15 3 . 75
kN
3 W =77.5cm Z
3 bh I Z = 12
1 h FL M B y a = 2 3 3 s a = bh I Z 12
s b = 0
1 h FL M B y c 47 MPa （压） = 2 3 2 = 2. s c = bh I Z 12
例题 4.21 &
B
2 F
1400 600
A
50 96 . 4
z
200
12 kNm
50
3 M A y ) 16 ´ 10 ´ (250 - 96 . 4 l s = = 24. 09 MPa 8 I Z 1 . 02 ´ 10 + A
16 kNm
s =
n
线、变形后变成弧线，且凹边纤 维缩短、凸边纤维伸长。
ü2、变形前垂直于纵向线的横向
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
§由现象2
§平面假设：
梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍然垂 直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度， 这就是弯曲变形的平面假设。
如果T截面倒置会如何???
例题 4.25 &
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 y
F B
C
A
150
要点：纯弯曲时横截面上的正应力计算同样属静不定问题， 求解时同样需综合考虑几何、物理和静力学三方面的关系。 推导思路:
平面假定
变形 应变分布
物理关系
应力分布
静力方程
应力公式
1．纯弯曲实验： 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:
实验现象：
F F
m
n
ü1、变形前互相平行的纵向直
m
200
z
FL M max = = 16kNm 4 y
+ max - max
s
= 200 + 50 - 96 . 4 = 153. 6 mm = 96 . 4 mm
+ max
+ Mymax = 24. 09 MPa = I Z Mymax = 15. 12 MPa = I Z
s
M
M
1.利用上式计算正应力时一般先 求其大小，然后根据所求应力点 的位置与截面的弯矩确定其正负
中性轴
2.横截面上正应力的分布规律 3.公式适用范围
弯曲正应力的分布规律
①适用于线弹性范围——即正应力小于比例极限σp； ②尽管公式由矩形截面梁推导而来，但其可推广至其它对称 形状的截面（如：圆形截面等） ③尽管公式由纯弯曲梁推导而来，但其可推广至其它形式弯 曲梁横截面上的正应力计算（如：横力弯曲等）
A
M A y y I Z
3 16 ´ 10 ´ 96 . 4 = 15. 12 MPa 8 1 . 02 ´10
s =
B
M B y y I Z
3 ) 12 ´10 ´ (250 - 96 . 4 = 18. 07 MPa 1 . 02
例题 4.26 为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 & 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的
l = ( r + y ) × dq
'
q y l ' - l ( r + y ) dq - r d 则其应变为: e = = = l r dq r
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离y成正比
（二） 物理关系 假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比 例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：
s = E × e Þ s = E ×
y
物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正 比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线 曲率中心O 规律变化。
r
M y n 1 m 1 O 1 a 1 dq m 2 O 2 M e 2 y dq a ' a 2 2 n 2 d l dx e 1 n 2 m 2 x
r
s y
s L
s = E y r
由上式还可看出： s = 0 ，即： 当y=0时， 在中性层上各点处的 应力值为零。
（三）静力关系： 可知：我们虽然知道了正应力的分布规律， 但因曲率半径 r 和中性轴的位置尚未确定，所以仍不能求出 正应力，因此我们还有必要考虑静力平衡关系。如图所示：横 截面上的微内力可组三个内力的分量： E M 中性轴 M FN = sdA = òA ydA = 0 A r z n y m E M = z s dA dA = ò zydA = 0 o s y A r A EI Z E 2 z M z = A ysdA = ò y dA = r r A n m y dx 1 M Z ì FN ——平行于x轴的轴力FN 2 = ï I = y dA z ï òA r EI Z í MZ ——对Z轴的力偶矩
2、设计截面： 3、求许可荷载：
M max
[s ]
£ W z
M max £ Wz × [s ]
例题 4.23 &
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q = 30 kN m
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
q = 2 kN m
200
200
4 m
100
竖放
s max =
qL2 8
M max W Z
qL2 = 8 2 = 6 MPa bh 6
横放
s max =
M max W Z
qL2 = 8 2 = 12MPa hb 6
1m
30
B D
61 z 139 30
3m
2 m B截面
170
24
s
12 . 75 C截面 kN × m
+ B max
-3 24 ´ 10 ´ 61 ´ 10 = 36. 3 MPa = - 7 403 ´ 10
3
3 -3 24 ´10 ´ 139 ´10 = 82. 8 MPa s = - 7 403 ´10 3 -3 12 . 75 ´ 10 ´ 139 ´ 10 + = 44MPa s C max = - 7 403 ´10 B max
M
s t
M Û s
F S
FS Û t
要点：研究等直梁在平面弯曲时，梁横截面上这两种 应力的计算。
二、纯弯曲时梁横截面上的正应力
a
A
F
F
C
F
D
a
B
F
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
Fa
二、纯弯曲时横截面上的正应力公式
材 料 力 学
工程力学教研室
§4 梁横截面上的正应力.梁的正应力强度条件
一、回顾
前面章节我们曾经讲过，横截面上的剪力FS是与横截面相 切的内力系的合力，而弯矩M是与横截面垂直的内力系的合力偶 矩，因此，梁横截面上有剪力FS时，就必然有剪应力 t ，有 弯矩M 时，就必然有正应力 s ,如下图所示。
例题 4.20 &
A l 2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力 F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝ 1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。 h 6 a F B h b C l 2 h 2 c b
1 M B = FL 2 = 1. 65 MPa
y
s max
梁的正应力强度条件
对梁的某一截面： 对全梁（等截面）：
My M max s max = = Iz Wz Mmax ymax M s max = = max Iz Wz
M max £ [s ] 弯曲正应力强度条件： s max = Wz M max 可求三类问题： 1、校核强度： s max = £ [s ] Wz
1 3 bh 1 2 12 = = bh h 6 2
s m ax 对给定截面：
矩形截面
I Z W Z = y max
圆形截面
I Z W Z = y max
1 4 pd 1 3 64 = = pd d 32 2
说明：
M z y s = I z