2.1 射影直线和射影平面

v′
V′
a
P P′
π′
a′
x
π
注：影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个 双射（一一对应 。 双射（一一对应)。
即 ϕ : l → l ' 和ϕ : π → π ' 均不是双射（一一对应）。
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点， 平行的平面没有交线。 如何使得中心射影成为一个双射(一一对应)？ 给平行线添加交点！
第二章 射影平面
本章地位
学习平面射影几何的基础 在欧氏几何的基础上，本章添加无 穷远元素的方法来定义射影平面， 引入齐次坐标，学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考，牢固掌握基本概念， 排除传统习惯干扰
本章内容
附带一个重要定理 学习要求
主要内容： 主要内容： 中心投影
无穷远元素
齐次点坐标 齐次坐标 齐次线坐标 附带内容： 附带内容： Desargues定理 复元素 对偶原则
二、射影不变性和射影不变量
定义2.5： 定义 ： 经过一切中心射影(透视对应)后图形所具有的不变 性和不变量，叫做图形的射影不变性和射影不变量 射影不变性和射影不变量。 射影不变性和射影不变量
注： 1）同素件，结合性都是射影不变性。 2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所 以我们说圆锥曲线具有射影性质。 3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心 射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图 形不具有射影性质。
于l和l ′， P是l上的一点， 连接ΟP交l ′于点P′, 称点P′是点P
从O投射到l ′的中心投影。
记 ϕ :l → l ' 点O 投射中心 (O ∉ l ∪ l ')
OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P' 在l上的像
O
l
A P
B′ B
X
P′
l′
A′
因此 ，φ–1: l' → l 是 l' 到 l 的中心射影 中心射影 三个特殊的点： 三个特殊的点：
1、对于平面上每一方向，有唯一无穷远点. 平行的直线交 于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同.
因而，对于通常直线： 平面 上任 二直 线总 相交
平 行 两直线 不平行 交于唯一
无穷远点 有穷远点
5、空间中每一组平行直线交于唯一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于唯一无穷远点.
理解约定二
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为 无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直 线上的无穷远点. . 3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线； 过同一条无穷远直线的平面相互平行。
由 约 定 一 ， l 与 m 有 唯 一 公 共 无 穷 远 点. 又 由 于 A 是 α 上 任一 点 ， 所 以 这 个 公 共 的 无 穷 远 点 即 为 l与 α 的 交 点 。
l
β
α
A
m
二、无穷远直线 约定二： 约定二： 按约定一的(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全 体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线 理想直线 无穷远直线(理想直线 无穷远直线 理想直线)， 记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线 通常直线 有穷远直线(通常直线 有穷远直线 通常直线)，l 注： 无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线 即 空间中任意一组平行平面交于一条无穷远直线。
l
X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l ' 不相交， U 为l上的 影消点
V′
O
U
P
X
P′
l′
OV ' 与l不相交， V ' 为l'上的影消点 影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射 双射 (一一对应 。 一一对应)。 一一对应
二、平面到平面的中心射影
定义2.2 定义
设 π 和 π ′为 空 间 两 个 不 同 的 平 面 ，点O不属于
例：求一个中心射影将任意一个三角形射影成等腰三角形。 解：设 ABC为平面π 上的任意一个三角形，
过BC边任作一个平面π ′与π 不同， O
π
在π ′内作BC的垂直平分线m,
在m上任取一个点A′(不在BC上），
连接AA′，在直线AA′上 取定一个点O， 则以O为射心，OA为投射 线的中心射影必将 ABC射影 为平面π ′上的等腰三角形A′BC.
三条特殊的直线： 三条特殊的直线：
x = π × π ' 自对应直线(不变直线)
u ∈ π , ∀U ∈ u , OU // π '，
O
u
U
u为由影消点 影消点构成的影消线 影消点 影消线
v ' ∈ π ', ∀V ' ∈ v ', OV '// π ，
v ' 为由影消点 影消点构成 影消点 的影消线 影消线
P∞
(2) 射影直线在欧氏平面的模型为圆
注： 通常点和无穷远点统称为拓广点 拓广点；添加无穷远点之 拓广点 后的直线和无穷远直线统称为拓广直线。 拓广直线。 拓广直线
(3) 拓广直线上点的分离关系 欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。 拓广直线：不同的两点把直线分成两条线段，其中一条含 无穷远点，另一条不含无穷远点。
π 和π ′， P是π 上的一点，连接ΟP交π ′于点P′, 称点P′是点P
从O投射到π ′的中心投影。
O
记 ϕ :π → π '
O 投射中心
A P P′
(O ∉ π ∪ π ') (射心）
OP 投射线 P'
π′
a
M
x
π
a′
A′
π 上的点P 在π'上的像
P
π' 上的点P'在π上的像
ϕ 因此 ， −1 : π ' → π 是π‘ 到π的中心射影
顶点：A, B, C 边：BC, CA, AB 记号： 记号：三点形ABC
边：a, b, c 顶点：b×c, c×a, a×b 记号： 记号：三线形abc
显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变
§ 2.1.4 图形的射影性质 一、透视对应
定义2.4： 定义 ：引进无穷远元素以后，便可以通过中心射影建立 直线上点之间的一一对应，这种一一对应称为透视对应 透视对应。 透视对应 同样，以通过中心射影建立二平面之间点的一一对应， 也称为透视对应 透视对应。 透视对应
O
A′C ′ OA′ = ( A′B′C ′) = ， B′C ′ OB′
l1
l2
m
′ l2
l1′
′ P∞
π′
例2：单比不是射影不变量。 反例： 设三直线a、b、c 交于O点，c 平分∠(a, b),
直线l与l ′分别交三直线于A, B, C与A′, B′, C ′，
并使 OAቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ< OB 且 OA′ > OB′ ，
AC OA 于是， ( ABC ) = = ， BC OB
2、二维基本形 (2) 点场 同一平面上点的集合 (2)' 线场 同一平面上直线的集合
π称为点场的底， 底 元素. 其上的点称为元素 元素
π称为线场的底， 底 其上的直线称为元素 元素. 元素
3、一对重要的基本图形 三点形 不共线三点及其两两连线 构成的图形 三线形 不共点三直线及其两两交点 构成的图形
2）由于平面内有无数多组平行线，因此一个平面内有无数 多个无穷远点。 例：一条直线和它的平行平面相交于一个无穷远点。 证明： 如图， 设 l // α ,
在 α 上 任 取 一 点 A, 则 A与 l 确 定 平 面 β , Q α 与 β 有 公 共 交 点 A, ∴ 它 们 必 有 公 共 直 线 m , 且 l // m .
α3
由于所取直线l 的任意性， 所以此组平行平面必有无数多个 公 共 的 无 穷 远 点 ，其 轨 迹 为 一 条 无 穷 远 直 线 ， 即 一组平行平面必相交于一条无穷远直线。
总结： 在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直 总结： 线的关联关系，同时使得中心射影成为双射（一一对应）.
理解约定一
这 样 所 得 的 单 侧 曲 面 为 默 比 乌 斯 带 ，其 边 界 为 一 条 封 闭 曲 线 。
A
B′ A′
B
Möbius带
三、射影基本形
1、一维基本形 (1) 点列 同一直线上点的集合 (1)' 线束 平面上过同一点的直线的集合
记号 l(A,B,C,…) 或 l(P) 底 元素
记号 L(a,b,c,…) 或 L(p) 线束中心 元素
B
A
M
C
A′
m
π′
§ 2.1.2 无穷远元素
目标： 途径： 要求： 改造空间，使得中心射影成为双射 给平行直线添加交点 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定唯一一个点(交点) 点与直线的 关联关系 两个相异点确定唯一一条直线(连线)
一、无穷远点
约定一： 约定一： (1) 平面内在每一条直线上添加唯一一个点， 此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点 理想点 无穷远点(理想点 无穷远点 理想点)， 记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同. 为区别起见，称平面上原有的点为有穷远点 普通点 有穷远点(普通点 有穷远点 普通点)， 记作P 注：1）无穷远点实际上是二维空间中平行直线的交点。
在拓广平面上，可以证明： I，II为同一区域 III，IV为同一区域
(2) 拓广平面的拓扑模型
注： 默比乌斯带（ Möbius带）是射影平面的一部分。 默比乌斯带的作法： 默比乌斯带的作法：
如 图 ， 把 长 方 形 带 ABA′B ′扭 转 ， 使 A与 A′ 粘 合 , B与 B ′ 粘 合 ，
定理2.1 在拓广平面上, 点与直线的关联关系 关联关系成立： 定理 关联关系 (1) 两个相异的拓广点确定唯一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定唯一一个拓广点. 二、射影直线、射影平面的基本性质及模型 射影直线、 1、射影直线(拓广直线 、射影直线 拓广直线 拓广直线) (1) 拓广直线的封闭性 欧氏直线：向两个方向无限伸展 拓广直线：向两方前进最终都到达同 一个无穷远点
第一节 射影直线和射影平面
§2. 1. 1 § 2.1. 2 §2. 1. 3 §2. 1. 4
中心射影 无穷远元素 一维、 一维、二维射影空间 图形的射影性质
§ 2.1.1 中心投影 一、平面上两直线间的中心射影
定义2.1 设 直 线 l 和 l ′ 为平 面 上两 条 不同 的 直线 ， O不属 定义 点
因而，对于通常平面： 平 行 两平面 不平行 交于唯一 有穷远直线 无穷远直线 空间中任 二平面必 相交于唯 一直线
§ 2.1.3 射影直线和射影平面
一、射影直线和射影平面的定义 定义2.3 添加无穷远点后的欧氏直线统称为仿射直线 定义 仿射直线； 仿射直线 在仿射直线上不区分有穷远点和无穷远点，则这条直线称 为射影直线 拓广直线）. 射影直线(拓广直线 射影直线 拓广直线） 添加无穷远直线后的平面称为仿射平面 仿射平面; 仿射平面 若在仿射平面上不区分有穷远线和无穷远线，则这个平面 称为射影平面（拓广平面） 射影平面（拓广平面） 射影平面
例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。 证明： 设平面上二直线l1 , l2相交于影消线m上一点P,
′ 经中心投影后， l1与l2的对应直线分别为l1′与l2，
由于射影对应保持结合性不变，
π
P
′ 所以影消点P 的对应点为l1′与l2的交点， O
′ 即 P∞点。 ′ 由于l1′与l2相交于无穷远点， ′ 所以l1′ // l2
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
2、射影平面(拓广平面 、射影平面 拓广平面 拓广平面) (1) 拓广平面的封闭性 从两个方面理解： (i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域 任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域
(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域 两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域
推导：在 组 中 的 一 个 平 面 内 任 取 一 条 直 线 l ,
设 l 上 的 无 穷 远点 为 P∞ ,
过l 作一个平面与组中其它平面必相交于
l
α1
P∞
一 组 平行 线 , 此 组 平 行 线 有 公 共 的 无 穷 远点 P∞ , 于 是 P∞ 必 在此 组平 行
平面的每一个平面上.
α2