基于数学模型的城市基础设施规划

基于数学模型的城市基础设施规划

摘要：针对城市基础设施的规划问题，可通过建立准确的数学模型，运用matlab软件和模拟退火的算法求解。本文将该方法应用于郑州市高新区小学规划问题，有效、快速地解决了该问题，由此说明此方法可推广应用于城市实际的基础设施规划问题。

关键词：城市规划数学模型模拟退火

0 引言

随着中国城镇化步伐的不断加快，合理、有效地利用城市的土地资源变得日益重要，城市的基础设施，如医院、学校、银行、邮局、车站等的合理布局，既能使城市高效的运转，又能使居民的生活方便快捷，从而促进城市的快速发展。针对城市中的规划问题，可从交通运输、供应链、数学模型等方面进行研究，从数学的角度，可精确、快速的解决城市规划问题。本文以郑州市高新区小学规划问题为例，进行定量计算，通过收集小区之间的距离建立距离矩阵，进行双目标规划，并运用模拟退火的算法求得了合理的规划方案。模拟退火算法（simulated annealing algorithm）是源于对固体退火过程的模拟，采用Metropolis 接受准则，并用一组称为冷却进度表的参数控制算法进程，使算法在多项式时间里给出一个近似最优解。特别是针对大规模的组合优化问题，此算法具有一定的优势和科学性。

1、问题叙述及分析

郑州市高新技术产业开发区位于郑州市西北部，规划面积70平方公里，建成区面积30平方公里，总人口20万，随着郑州是高新区的经济文化蓬勃发展，越来越多的人入住高新区，该区的小学规划主要有以下两个问题：①在一定的假设基础上，建立模型并求解，得出小学布局规划；②对所求方案进行可行性分析。

针对问题①：小学的布局主要和小学人口分布有关，而高新区的人口分布主要是以村庄和小区的形式分布，故选取村庄和小区为单位研究，建立距离矩阵。经过分析，以学校数最少和学生上学走的距离最短为目标，进行双目标规划。针对问题②：针对学校数目的合理性和学校负责范围对规划方案进行可行性分析。

2、模型建立与求解

2.1模型假设

①假设一个小区或村（以下均称为小区）为一个点，若某小区建有学校，不考虑该小区内的距离；②一个小区到另一小区学校的距离为这两个小区之间的距离；③若某学校负责一定的区域，学校有能力把负责区域的所有学生完全接收，但最多只能负责三个小区；④高新区只有地图上能找到的56个小区。

2.2符号说明

i、j村庄或小区（i、j=1，2，…57）

xi 第i个村庄或小区是否建小学（是为1，否为0）

n建设小学的总数

dij第i个小区与第j个小区的距离

D学生上学的总距离

N小区总个数

d学生去别的小区上学的最长距离

2.3 模型的建立

在建立模型中，规划的目标一：以最少的学校数目满足服务的需求；目标二：小区的学生上学时，走的总距离最小。依据上述两个目标建立数学模型，构成双目标规划。

目标一函数：

目标二函数：

约束条件，首先是确定小区与小区之间的距离与1500米之间的关系，若某小区到其小区的距离大于1500米，则该小区不能到去其他小区上学，只能独立建小学，由此得约束条件：

据此条件可将模型的模拟退火运算范围缩小，即对dij>1500的小区独立建小学，后再对dij≤1500的小区进行规划。

2.4 模型的求解

模型的求解主要依据收集到的数据，首先对56小区进行编号，将dij用二维矩阵表示，当矩阵中某小区到其他小区的距离均大于1500米时，将该小区剔除出矩阵，该小区需独立建立小学，其余的小区建立距离矩阵。然后根据所建立的数学模型用matlab编程，并运用模拟退火的算法求解出需建小学的小区。

由数据分析共11个小区需独立建小学，其余45个小区组成45阶距离矩阵，用matlab求解得：所建学校的小区和该学校所覆盖的其他小区。由于模拟退火方法所求的较优解较多，本文不再列举所建学校的小区。选取21—25个学校来观察并绘出总距离与学校数目的变化趋势图如表：

3、规划可行性分析

本文从小区之间的实际距离出发，建立准确的数学模型，并运用模拟退火的算法求解，具有一定的合理性和科学性；在选择目标函数时，本文选取学校数目和总距离为规划目标是可行的；针对小学生的群体特征分析，本文以1500米为界作为约束条件是合理的；对图形的分析，得出在学校总数目为23时，两个目标的组合达到最佳，并由编号可得出学校的距离位置和负责范围，23个小学所负责的范围距离均不超过1500米，负责的小区个数不超过3个，符合实际情况。由以上分析得出，该布局规划方案是科学合理的，且具有可行性。

4、模型的推广

本文在多变量约束条件下，采用双目标规划模型，通过matlab编程和模拟退火的算法，可精确、快速的求得较优解。不仅模型较结合实际，且简化了运算过程，所求的解具有一定的现实指导意义和参考价值。此外，由于不同的规划问题所考虑的因素具有一定的相似性，故该模型可推广应用到医院、邮局、银行等的规划问题上，运用模拟退火的算法不仅可充分利用城市现有的土地资源，并且更有效地方便人们的生活，同时更加清晰、简便的解决基础设施规划问题。

参考文献：

[1]汪晓银，周保平. 数学建模与数学实验[M]，北京：科学出版社，2010.

[2]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第四版）[M]，北京：高等教育出版社，2011.

[3]韩中庚，数学建模方法及其应用（第二版）[M]，北京：高等教育出版社，2009.

[4]谢云，用模拟退火算法并行求解整数规划问题[J]，高技术通讯1991，（10）：21-26.