第二章1汇交力系与力偶系PPT课件
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求解平衡方程。注意当求出的结果为负值时，说 明前面未知力假定的方向与实际的方向相反。
[例] 图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。
解： 1 、 研 究 对 象 ：整体 或铰链A
2、几何法：
F AB A
60°
F AC
P
F AB
FAC=P/sin600
FAB=P×ctg600
F AC
60°
P
F AC
求：（1）设两轮重量相等，求平衡时的α角；
（2）已知A轮重GA，平衡时，欲使α=00的B轮的重量。
B
a
θ
F 45° FC
b
0 10 20kN
（b） 例题2−2图
（c）
三、汇交力系合成的解析法 （一）力在轴上的投影
1．力在坐标轴上和平面上的投影
A 力在坐标轴上的投影
A α
F B
Oa
b
x
B 力在平面上的F投影
B
A α
a
Fxy
b
O
x
(a)
(a)
2．力在直角坐标轴上的投影
A直接投影法
B间接投影法
Fx Fcos
汇交力系可以合成为一个合力，此合力的 作用线通过原力系的汇交点，而合力的大小和 方向由力多边形的封闭边所确定，即它等于原 力系中各力的矢量和。即
n
F RF 1F 2 F n F i F i 1
例题2−1 一平面汇交力系，已知F1=3kN， F2=1kN，F3=1.5kN，F4=2kN。各力方向如图所
汇交力系
汇交力系----作用于一个物体上的各力的作用 线都汇交于一点，这样的力系称为汇交力系。
空间汇交力系
§2−1汇交力系的合成与平衡条件
一、汇交力系合成的几何法
F1
F2 F3
F4 （a）
F2
F1 F12
F3
F123 F4 FR
F2 F1
FR
F3
FR
F4
F4
F2
F3
F1
（b）
（c）
（d）
结论：
F AB
F AB A
60°
F AC
P
y x
3、解析法：
FRX=∑FX=0
FAC cos600 － FAB = 0
FRy=∑Fy=0
FAC sin600 － P = 0
解得： FAC=P/sin600 FAB= FAC cos600 =P×ctg600
例题 用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在 两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重，
例题2−2 支架的横梁AB与斜杆DC用铰链C相连接， C为AB梁的中点，杆DC与横梁AB成45º角，A、 D处为固定铰支座，如图a所示。荷载F=10kN， 作用于B处。梁和杆的自重忽略不计。试用几何法 求A处的约束力和杆DC所受的力。
F
A
B
45 CA °
D
（a）
FA θ
A
FC
E
F 45°
B C
c FA
汇交力系的平衡方程为
Fx Fy
0 0
Fz
0
平面汇交力系的平衡方程为
Fx 0
Fy
0
求解平面汇交力系平衡问题的方法与步骤如下：
确定研究对象。一般先选受力情况相对简单的物 体，再选受力情况相对复杂的物体。
取脱离体，画受力图。把研究对象单独画出来， 进行受力分析，画出相应的受力图。
选择合适的投影轴，列平衡方程。为了便于计算， 选择投影轴时，应使投影轴与尽可能多的未知力垂 直，这样可使平衡方程中所含的未知量尽可能的少。
合力FR的大小和方向余弦为
FR FR2x FR2y FR2z （ Fx）2 （ Fy）2
ห้องสมุดไป่ตู้
Fz
2
cos（FR，i）
FRx FR
Fx FR
cos（FR，j）
FRy FR
Fx FR
cos（FR，k）
FRz FR
Fz FR
平面汇交力系合力FR的解析式 F RF R xF R yF R xiF R yj
1 1.5 1 2 2
x
2
2
1.16 kN
FRy F y F1 F3 sin 60 F4 sin 45
3 1.5 3 2 2
2
2
3.12 kN
然后求出合力的大小为
F RF R 2 xF R 2 y1 .126 3 .122 3 .3k3N
设合力FR与x轴所夹锐角为θ，则
示，试用解析法求该力系的合力。
y
F3
F2
60°
x
O
45°
F4 F1
(a) 例题2−3图
解： 以汇交点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
如图所示。首先计算合力在坐标轴上的投影
y
F2 O
F1
F3 60° 45°
F4
FR (a)
FRx F x F2 F3 cos 60 F4 cos 45
平面汇交力系合力FR的大小
和方向余弦为
FR FR2x FR2y （ Fx）2 （ Fy）2
cos（FR，i）
FRx FR
Fx FR
cos（FR，j）
FRy FR
Fx FR
例题2−3 一平面汇交力系，已知F1=3kN， F2=1kN，F3=1.5kN，F4=2kN。各力方向如图所
Fy Fcos Fz Fcos
Fxy Fsin
FxFsincos
Fy Fsinsin
Fz Fcos
3．投影与分力的比较
Fx Fxi
Fy Fy j
Fz Fzk
力F 的解析式为:
F F x F y F z F x i F yj F zk
（二）合成的解析法
✓此汇交力系的合力FR的解析式为:
F R F R x F R y F R z F R x i F R y j F R z k
✓合力FR在x、y、z轴投影:
n
F Rx F xi
F
x
i1
n
F Ry F yi F y
i1
n
F R z F z i F z
i1
合力投影定理——汇交力系的
合力在某一轴上的投影等于各
分力在同一轴上投影的代数和.
合力FR的解析式
F R F iF x iF y j F z k
示，试用几何法求该力系的合力。
y
F2 O
F1
F3
60°
x
45° 69.5°
F4
FR (a)
例题2−1图
b F3 B
aA
F4 cE
θ
FR
F1
eE F2
01
d 2kN
(b)
二、汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的充分与必要条件是力系的合力为 零。如用矢量等式表示为
ΣF0
力多边形自行封闭 或
力系中各力的矢量和等于零
tan FRy 3.12 2.6897
FRx 1.16
69.5
y
再由FRx和FRy的正负号判断出合力FR应指向F3右下
方，如图所示。
F2
60°
x
O
45°
69.5°
F4
F1 FR
(a)
四、汇交力系的平衡方程
汇交力系平衡的充分与必要的解析条件，即汇交 力系中各力在任一坐标轴上投影代数和均等于零 .
[例] 图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。
解： 1 、 研 究 对 象 ：整体 或铰链A
2、几何法：
F AB A
60°
F AC
P
F AB
FAC=P/sin600
FAB=P×ctg600
F AC
60°
P
F AC
求：（1）设两轮重量相等，求平衡时的α角；
（2）已知A轮重GA，平衡时，欲使α=00的B轮的重量。
B
a
θ
F 45° FC
b
0 10 20kN
（b） 例题2−2图
（c）
三、汇交力系合成的解析法 （一）力在轴上的投影
1．力在坐标轴上和平面上的投影
A 力在坐标轴上的投影
A α
F B
Oa
b
x
B 力在平面上的F投影
B
A α
a
Fxy
b
O
x
(a)
(a)
2．力在直角坐标轴上的投影
A直接投影法
B间接投影法
Fx Fcos
汇交力系可以合成为一个合力，此合力的 作用线通过原力系的汇交点，而合力的大小和 方向由力多边形的封闭边所确定，即它等于原 力系中各力的矢量和。即
n
F RF 1F 2 F n F i F i 1
例题2−1 一平面汇交力系，已知F1=3kN， F2=1kN，F3=1.5kN，F4=2kN。各力方向如图所
汇交力系
汇交力系----作用于一个物体上的各力的作用 线都汇交于一点，这样的力系称为汇交力系。
空间汇交力系
§2−1汇交力系的合成与平衡条件
一、汇交力系合成的几何法
F1
F2 F3
F4 （a）
F2
F1 F12
F3
F123 F4 FR
F2 F1
FR
F3
FR
F4
F4
F2
F3
F1
（b）
（c）
（d）
结论：
F AB
F AB A
60°
F AC
P
y x
3、解析法：
FRX=∑FX=0
FAC cos600 － FAB = 0
FRy=∑Fy=0
FAC sin600 － P = 0
解得： FAC=P/sin600 FAB= FAC cos600 =P×ctg600
例题 用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在 两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重，
例题2−2 支架的横梁AB与斜杆DC用铰链C相连接， C为AB梁的中点，杆DC与横梁AB成45º角，A、 D处为固定铰支座，如图a所示。荷载F=10kN， 作用于B处。梁和杆的自重忽略不计。试用几何法 求A处的约束力和杆DC所受的力。
F
A
B
45 CA °
D
（a）
FA θ
A
FC
E
F 45°
B C
c FA
汇交力系的平衡方程为
Fx Fy
0 0
Fz
0
平面汇交力系的平衡方程为
Fx 0
Fy
0
求解平面汇交力系平衡问题的方法与步骤如下：
确定研究对象。一般先选受力情况相对简单的物 体，再选受力情况相对复杂的物体。
取脱离体，画受力图。把研究对象单独画出来， 进行受力分析，画出相应的受力图。
选择合适的投影轴，列平衡方程。为了便于计算， 选择投影轴时，应使投影轴与尽可能多的未知力垂 直，这样可使平衡方程中所含的未知量尽可能的少。
合力FR的大小和方向余弦为
FR FR2x FR2y FR2z （ Fx）2 （ Fy）2
ห้องสมุดไป่ตู้
Fz
2
cos（FR，i）
FRx FR
Fx FR
cos（FR，j）
FRy FR
Fx FR
cos（FR，k）
FRz FR
Fz FR
平面汇交力系合力FR的解析式 F RF R xF R yF R xiF R yj
1 1.5 1 2 2
x
2
2
1.16 kN
FRy F y F1 F3 sin 60 F4 sin 45
3 1.5 3 2 2
2
2
3.12 kN
然后求出合力的大小为
F RF R 2 xF R 2 y1 .126 3 .122 3 .3k3N
设合力FR与x轴所夹锐角为θ，则
示，试用解析法求该力系的合力。
y
F3
F2
60°
x
O
45°
F4 F1
(a) 例题2−3图
解： 以汇交点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
如图所示。首先计算合力在坐标轴上的投影
y
F2 O
F1
F3 60° 45°
F4
FR (a)
FRx F x F2 F3 cos 60 F4 cos 45
平面汇交力系合力FR的大小
和方向余弦为
FR FR2x FR2y （ Fx）2 （ Fy）2
cos（FR，i）
FRx FR
Fx FR
cos（FR，j）
FRy FR
Fx FR
例题2−3 一平面汇交力系，已知F1=3kN， F2=1kN，F3=1.5kN，F4=2kN。各力方向如图所
Fy Fcos Fz Fcos
Fxy Fsin
FxFsincos
Fy Fsinsin
Fz Fcos
3．投影与分力的比较
Fx Fxi
Fy Fy j
Fz Fzk
力F 的解析式为:
F F x F y F z F x i F yj F zk
（二）合成的解析法
✓此汇交力系的合力FR的解析式为:
F R F R x F R y F R z F R x i F R y j F R z k
✓合力FR在x、y、z轴投影:
n
F Rx F xi
F
x
i1
n
F Ry F yi F y
i1
n
F R z F z i F z
i1
合力投影定理——汇交力系的
合力在某一轴上的投影等于各
分力在同一轴上投影的代数和.
合力FR的解析式
F R F iF x iF y j F z k
示，试用几何法求该力系的合力。
y
F2 O
F1
F3
60°
x
45° 69.5°
F4
FR (a)
例题2−1图
b F3 B
aA
F4 cE
θ
FR
F1
eE F2
01
d 2kN
(b)
二、汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的充分与必要条件是力系的合力为 零。如用矢量等式表示为
ΣF0
力多边形自行封闭 或
力系中各力的矢量和等于零
tan FRy 3.12 2.6897
FRx 1.16
69.5
y
再由FRx和FRy的正负号判断出合力FR应指向F3右下
方，如图所示。
F2
60°
x
O
45°
69.5°
F4
F1 FR
(a)
四、汇交力系的平衡方程
汇交力系平衡的充分与必要的解析条件，即汇交 力系中各力在任一坐标轴上投影代数和均等于零 .