材料力学第六章简单超静定问题

变形协调方程
DBaidu Nhomakorabea
F LN DB 31 C m L CE 3 E k / m 0 N 2 3 m F 0 N 1 1 . 5 0 B F6 m 0 1 Nm D .B 8 2 DlF N E 65 F4 3 NB m CE3 0 D 1 0 F N 0 6 0 m C 2 l E E
F
根据角钢许用应力，确定F
st 0.2A8st F3 st
F69k8N
根据木柱许用应力，确定F
W 0.7AW 17FW F104k6N 许可载荷 F69k8N
材料力学第六章简单超静定问题
250 250
例4
AB为刚性梁， 1、2两杆的横 截面面积相等。 求1、2两杆的 内力。
材料力学第六章简单超静定问题
FW
lst
Fst l Est Ast
F st
补充方程:
Fst FW （2） EstAst EWAW
材料力学第六章简单超静定问题
250 250
查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 Ast3.08c6m2 故 A st4A st1.3 2c4m 2, AW2 52 562c5 m 2
代入数据，得 F W0.71 F7 F st0.2F 83
30kN/m
B
A
C
1m
2m
E
FNBD32.2kN
FNCE38.4kN
BD
FNBD ADB
3122.026 M 0m11 m032N Pa
D
30kN/m
FBD B
A
C
B FBD
1m
CE
FNCE ACE
398.4M 6 103 P N a
400mm2
2m
E LCE
例题6
B 1
C2 30 30 3
例题3
木制短柱的四角用四个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固，
已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许
用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。
解： 平衡方程: FFWFst （1）
F
F
变形协调关系: lst lw
物理关系:
lW
FWl EW AW
2个平衡方程
平面平行力系：2个平衡方材程料力学第共六线章简力单超系静定：问1题个平衡方程
6-2 拉压超静定问题
一、小变形放大图与位移的求法。
求各杆的变形量△Li ，如图；
A
B
L1
L2
C
变形图精确画法，图中弧线； 变形图近似画法，图中弧之切线。
L2 P L1 C' C"
例1
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。
4cos3+1
材料力学第六章简单超静定问题
L
1.8L LDB
例5
图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和C点由
两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积ADB=200mm2， ACE=400mm2，其许用应力[σ]=170MPa，试校核钢杆的强度。
列静力平衡方程 MA0
FNCE 13k5 N 3FNBD
FN1
FN 2
300
A2
A
y
A F
A
l1
FN1l1 E1A1
1mm
l2
FN2l2 E2A2
0.6mm
3、节点A的位移（以切代弧）
A2
x
A1
A
A1Al11mm A2Al20.6mm
A1
x l20.6mm
yA3AA3A4s i3n l1 0 tal3n2 0
A 3 21.0393.03m 9 m
解
由平衡方程得 3P-2N2cos-N1＝0
由变形协调条件得
l2
cos
=
2l1
由物理关系
N l1
l = l = 1
EA 2
材料力学第六章简单超静定问题
N2l
EAcos
3P-2N2cos-N1＝0
l2
cos
=
2l1
所以
N2l
EAcos2
=2
N1l
EA
最后解得
N1 =
3P
4cos3+1
N2 =
6Pcos2
D
FN1
FN 2
FN 3
3杆材料相同，AB杆面积为200mm2，AC
杆面积为300 mm2，AD杆面积为400 mm2，
材料力学第六章简单超静定问题
§6-1 超静定问题
静定结构：
约束反力 可由静力平衡 方程全部求得
材料力学第六章简单超静定问题
超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高 约束反力不能全 部由平衡方程求得 超静定次数：
约束反力多于 独立平衡方程的数
独立平衡方程数： 平面任意力系：
3个平衡方程 平面共点力系：
AA x2y2 0.623.0329
A材 料力A学4 第六章简3.单1超m静定m 问题
图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水 例2 平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点
处受荷载F作用，试求B点的位移δB。
αD
B1B B2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆）取节点A为研究对象
Fx 0 FN1co sFN20
FN1
F N 2 300
y
Ax
F N 1F yF /0sin F N2 1sF in2k F 0 N 0
F N 2 F N 1co s 3 F 1.3 7 k2N
2、根据胡克定律计算杆的变形。
斜杆伸长 l1 FF E N 1A 1 l1 120 2 10 9 0 0 1 2 30 0 2 10 6 01 1 3 0 m 1mm
水平杆缩短 l2F E N 2 2 A l2 2 2 1 材.料 0 3 力1 7 学 9 0 第1 2 0 六2 3 章 0 简1 单 .5 7 1 超静 0 定3 6 0 问 题0 2 .6 1 3 0 m 0 .6 mm
l1 l2
l1l2l3cos
l3
3、物理关系
l1
FN1l
EAcos
l3
FN 3l EA
4、补充方程
FN1l FN3lcos EAcos EA
FN1FN3co2s
5、求解方程组得
FN1FN21 F2ccoo2s3s FN3 12cFo3s 材料力学第六章简单超静定问题
超静定问题的方法步骤：
平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程——弹性定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC oD sFCD
2Fa
EAco2s
B
4Fa
EAco3s
二、拉压超静定问题解法
超静定结构的求解方法：
1、列出独立的平衡方程
F x 0F N 1F N 2
F y 02 F N 1 co F N s 3 F
2、变形几何关系