第五章 相似矩阵及二次型

x1 x2 x3 0
它的基础解系为
1
0
1
0
， 2
1
．
1
1
把基础解系正交化，即合所求．取
2 1,
3
2
[2, 1] [1, 1]
维非零向量都可以构成向量空间 Rn的一个正交基。
例1 已知3维向量空间中的两个向量
1
1
1 1 , 2 2
1
1
正交，试求一个非零向量 3 ，使 1, 2, 3 两两正交。
解： 记
应满足A齐 次12线TT 性方11程1组2
1 1
,由
3
Ax 0
A
1 1 1 1 2 1
1 0 0 1
1 0
5 3
1
1
1 20
.
0 1 1 1
再把它们单位化, 取
1
1
e1
1 1
1 6
2
,
e2
1
2 2
1 3
1
,
1
1
e1, e2 , e3 e3即 为33所求12．10
.
1
例３ 已知 1 1 , 求一组非零向量 2 , 3 ,使
1
1, 2 , 3 两两正交.
解 2 , 3 应满足方程 T1x 0 ，即
[x,y] ＝ xT y 内积满足下列运算规律（其中 x, y, z 为 n 维向量， 为 实数） i [x,y] [ y,x]
(ii) x,y x, y
(ⅲ) x y ,z x, z y, z
利用向量的内积概念，我们可以定义 n 维向量
的长度. 定义2 设 x (x1, x2,..., xn)是一个维实向量，令 x [x,x] x12 x22 ... xn2 ,
单位向量 e1,e2.,... , er ，使 e1,e2.,... , er 与 1, 2 .,... ,r 等价。
这个问题称为把 1, 2 .,...这,个r 基正交规范化.
我们有下面的定理：
定理2 设 1, 2 .,... ,r 是一组线性无关的向量，那么， 可以找到一组正交的向量 1, 2 ,.... , r，使得 1, 2 .,... ,i 与 1, 2 ,.... , i (i 1,2,.... , r) 等价。
1x1 2x 2 ... rx r 0
那么以 x1T 左乘上式两端，得
1 x1 T x1 0
因 x1 0 ，故 x1Tx1 x1 0 ，从而必有 1 0 。类 似可证 2 0,..., r 0 。于是向量组线性无关。
我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称
为向量空间的正交基。显然任意 n 个两两正交的 n
1
1
4
例２
设
1
2
， 2
3
，3 1 ，试用
1
1
0
Schimidt(施密特)正交化方法把这组向量正交规范化.
解 取 1 1
2
2
2 , 1,
1 1
1
1
3
1
4 6
1
2
1
1
5 3
1
;
1
3
3
3, 1,
1 1
1
3, 2 ,
2 2
2
4 1
1 3
1 2
上式称为Schwarz (施瓦兹)不等式。由此可得
x, y 1 （当
xy
x, y 是非零向量时），
于是有下面的定义：当 x 0, y 04 时
arccos x, y
xy
称为 n 维向量的夹角.
当 x, y 0时，称向量 x 与 y正交。显然，若 x 0，
则 x与任何向量都正交。 定义3 如果向量组 x1,x2,..., xr中任意两个向量都是正 交，而且每个 xi (i 1 ,2,.... , r )都不是零向量，那么这个 向量组就称为正交向量组。 下面证明关于正交向量组一个重要性质。 定理1 正交向量组一定是线性无关的。 证明：设 x1, x2,..., xr 是一个正交向量组，如果
得
x1 x2
0
x3
，从而有基础解系
x3 x3
1
0
，取
1
3
1
0
即可。
1
定义4 设 n 维向量 e1,e2.,... , er 是向量空间 V(V Rn )
的一个基，如果 e1,e2.,... , er两两正交，且都是单位向
量，则 e1,e2.,... , er 称是V 的一个正交规范基。
第五章 相似矩阵及二次型
§5.1 向量组的正交规范化
定义1 设有维向量
x1
x
x2
,
...
xn
y1
y
y2
...
y
n
令 [x, y] x1y1 x2 y2 ... xn yn , 则 [x,y] 称为向量 x与y 的内积。
内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x与 y 都是列向量时，有
证明 只要令
1 1
2
2
2 , 1,
1 1
1
3
3
3, 1 1, 1
1
3, 2,
2 2
2
..........................................................
r
r
r , 1 1, 1
1 Байду номын сангаас
r, 2,
2 2
2
... r, r1 r1, r1
r 1
这个证明过程给出了求与已知线性无关向量组
等价的正交向量组的方法. 通常称为Schimidt（施密
特）正交化方法. 如果再将所得的正交向量组单位化,
即令
ei
i i
, (i 1, 2.,...., r
)
就得到一组与 1, 2 .,... , r 等价的正交单位向量
组 e1,e2,..., er .
x 称为 n维向量 x 的长度（或范数）。
向量的长度具有下述性质： 1、非负性：当 x 0 时， x 0 ；
当 x 0 时， x 0 ；
2、齐次性：x x ； 3、三角不等式：x y x y 。
当 x 1 时，称 x 为单位向量。
向量的内积满足 x, y2 x, xy, y ，
1e1 2e2 ... rer
为求其中的系数 i (i 1, 2..,... , r ) ，可用 eTi 左乘上式，有
eT i ieTi ei i
即
i eT i , ei
设 1, 2 .,... ,r 是向量空间 V 的一个基，要求V
的一个正交规范基。这也就是要找一组两两正交的
例如
1 1
0 0
e1
2
1 2
，e2
0
0
2
1 2
0
0
，e3
0
1 2
，e4
1
2
0
1
2
1 2
就是R4的一个正交规范基。
若 e1,e2.,... , er 是V 的一个正交规范基，那么V 中
任一向量 应能由e1,e2.,... , er 线性表示，设表示式为