李雅普诺夫稳定性的基本定理

试确定系统在原点处的稳定性。 试确定系统在原点处的稳定性。 解 1： 由状态方程知 原点为该系统的平衡态。 原点为该系统的平衡态。 ： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为 将系统在原点处线性化 则系统矩阵为 0 ∂f (x) A= = τ ∂x x =xe − K 2 1 − K1
因此,系统的特征方程为 因此 系统的特征方程为 |λI-A|=λ2+K1λ+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
2. 由李雅普诺夫第一法知 原非线性系统的原点为渐近稳定的充 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: 分条件为 K1>0 和 K2>0.
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李雅普诺夫第二法(2/3)
李雅普诺夫第二法又称为直接法。 李雅普诺夫第二法又称为直接法。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后 其储存的能 若系统平衡态渐近稳定 则系统经激励后,其储存的能 则系统经激励后 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时 其能量 达到最小值。 达到最小值。 反之,若平衡态不稳定 则系统将不断地从外界吸收能 反之 若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 若平衡态不稳定 其储存的能量将越来越大。 量,其储存的能量将越来越大。 其储存的能量将越来越大 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 基于这样的观点 只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数 通过考察该函数随 维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 维状态的某种形式的能量正性函数 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。 时间推移是否衰减 就可判断系统平衡态的稳定性。 就可判断系统平衡态的稳定性
2 + a22 x2 + ... + a2 n x2 xn
+ ...
2 + ann xn
= ∑∑ aij x i x j
i =1 j ≥ i
n
n
其中a 为实常数。 其中 ij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)为实常数。 为实常数
二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4)
由线性代数知识知,实二次型函数 由线性代数知识知 实二次型函数V(x)又可表示为 实二次型函数 又可表示为 V(x)=xτPx 其中P称为二次型函数 称为二次型函数V(x)的权矩阵 它为如下 ×n维实对称矩阵 的权矩阵,它为如下 维实对称矩阵: 其中 称为二次型函数 的权矩阵 它为如下n× 维实对称矩阵
1. 数学预备知识
下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预 备知识: 备知识 函数的正定性 二次型函数和对称矩阵的正定性 矩阵正定性的判别方法
实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义 函数定号性定义
(1) 实函数的正定性 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正 什么条件下 恒为负的。 恒为负的。 下面先给出n维向量 的标量实函数 的正定性定义。 下面先给出 维向量x的标量实函数 维向量 的标量实函数V(x)的正定性定义。 的正定性定义 定义3-5 设x∈Rn,Ω是Rn中包含原点的一个区域 若实函数 中包含原点的一个区域,若实函数 若实函数V(x) 定义 ∈ Ω 对任意n维非零向量 ∈Ω都有 维非零向量x∈Ω都有V(x)>0;当且仅当 当且仅当x=0时,才有 对任意 维非零向量 ∈Ω都有 当且仅当 时 才有 V(x)=0, 则称函数V(x)为区域Ω上的正定函数。 为区域Ω上的正定函数。 则称函数 为区域 ∆∆∆
李雅普诺夫第一法(6/7)
由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论 由上述李雅普诺夫第一法的结论可知 该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态 中稳定性判据的思路一致 需求解线性化状态方程或线性状态 方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性 根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 方程的特征值 根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 值得指出的区别是: 值得指出的区别是 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题 而李雅普诺 夫方法讨论状态稳定性问题。 夫方法讨论状态稳定性问题。 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值, 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 而不能推广至时变系统。 统,而不能推广至时变系统。 而不能推广至时变系统
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实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义 函数定号性定义
定义3-6 设x∈Rn,Ω是Rn中包含原点的一个区域 若实函数 中包含原点的一个区域,若实函数 若实函数V(x) ∈ Ω 定义 对任意n维非零向量 ∈Ω,都有 维非零向量x∈Ω 都有V(x)<0;当且仅当 当且仅当x=0时,才有 对任意 维非零向量 ∈Ω 都有 当且仅当 时 才有 V(x)=0,则称函数 则称函数V(x)为区域Ω上的负定函数。 为区域Ω 则称函数 为区域 上的负定函数。 若对任意n维非零向量 ∈Ω 都有V(x)≥0,且V(0)=0,则称函 若对任意 维非零向量x∈Ω 都有 维非零向量 ∈Ω,都有 且 则称函 为区域Ω 数V(x)为区域Ω上的非负定函数。 为区域 上的非负定函数。 若对任意n维非零向量x∈Ω 都有V(x)≤0,且V(0)=0,则称函 ∈Ω, ∈Ω,都有 若对任意n维非零向量x∈Ω 都有V(x)≤0,且V(0)=0,则称函 维非零向量 ∈Ω 为区域Ω 数V(x)为区域Ω上的非正定函数。 为区域 上的非正定函数。 若无论取多么小的原点的某个邻域,V(x)可为正值也可为 可为正值也可为 若无论取多么小的原点的某个邻域 负值,则称函数 则称函数V(x)为不定函数。 为不定函数。 ∆∆∆ 负值 则称函数 为不定函数
实函数的正定性(4/4)
下面是几个在由变量x 组成的2维线性空间中的正定函数 维线性空间中的正定函数、 下面是几个在由变量 1和x2组成的 维线性空间中的正定函数、 负定函数等的例子。 负定函数等的例子。
2 1) 正定函数 x12 + 2 x2 2 ( x1 − 2 x2 ) 2 + x2
2 2) 负定函数 − x12 − 2 x2
实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义 函数定号性定义
从定义可知,所谓正定函数 即指除零点外恒为正值的标量函 从定义可知 所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函 所谓正定函数 由正定函数的定义,我们相应地可定义 数。由正定函数的定义 我们相应地可定义 负定函数、 负定函数、 非负定(又称半正定或正半定 函数 非负定 又称半正定或正半定)函数、 又称半正定或正半定 函数、 非正定函数(又称半负定或负半定 和 非正定函数 又称半负定或负半定)和 又称半负定或负半定 不定函数。 不定函数。
李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1 例
例3-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:
′ x2 x1 x′ = K ( x 2 − 1) x − K x 2 2 1 2 1 1 K1 , K 2 > 0
李雅普诺夫第一法(1/7)
3.2.1 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 李雅普诺夫第一法又称间接法 它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型 稳定性的方法。它的基本思路是: 线性化模型)稳定性的方法 数学模型 线性化模型 稳定性的方法。它的基本思路是 首先,对于非线性系统 可先将非线性状态方程在平衡态 首先 对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态 对于非线性系统 附近进行线性化, 附近进行线性化 即在平衡态求其一次Taylor展开式 展开式, 即在平衡态求其一次 展开式 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值 其次 解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。 在零输入情况下的稳定性。
李雅普诺夫第二法(1/3)
3.2.2 李雅普诺夫第二法
由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性 由李雅普诺夫第一法的结论可知 该方法能解决部分弱非线性 系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无 系统的稳定性判定问题 但对强非线性系统的稳定性判定则无 能为力,而且该方法不易推广到时变系统 而且该方法不易推广到时变系统。 能为力 而且该方法不易推广到时变系统。 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析 都适用的李雅普诺夫第二法。 都适用的李雅普诺夫第二法。
(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性 二次型函数是一类特殊形式函数。 二次型函数是一类特殊形式函数。 为关于n维变量向量 的实二次型函数,则其可以表 设V(x)为关于 维变量向量 的实二次型函数 则其可以表 为关于 维变量向量x的实二次型函数 示为 V ( x ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + ... + a1n x1 xn
李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x) 其中f(x)为与状态向量 同维的关于 的非线性向量函数 其各元 为与状态向量x同维的关于 的非线性向量函数,其各元 其中 为与状态向量 同维的关于x的非线性向量函数 素对x有连续的偏导数 有连续的偏导数。 素对 有连续的偏导数。
李雅普诺夫第二法(3/3)
在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 在给出李雅普诺夫稳定性定理之前 下面先介绍一些 数学预备知识,然后介绍一些 数学预备知识 然后介绍一些 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义 最后介绍 李雅普诺夫稳定性定理
数学预备知识(1/1)
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李雅普诺夫第一法(5/7)
李雅普诺夫第一法的基本结论是: 李雅普诺夫第一法的基本结论是 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵 的所有特征值都 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部,则原非线性系统的平衡态 渐近稳定,而且系 则原非线性系统的平衡态x 具有负实部 则原非线性系统的平衡态 e渐近稳定 而且系 统的稳定性与高阶项R(x)无关。 无关。 统的稳定性与高阶项 无关 2. 若线性化系统的系统矩阵 的特征值中至少有一个具有 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有 正实部,则原非线性系统的平衡态 不稳定,而且该平衡态 则原非线性系统的平衡态x 正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态 的稳定性与高阶项R(x)无关。 无关。 的稳定性与高阶项 无关 3. 若线性化系统的系统矩阵 除有实部为零的特征值外 其 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外 除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态 则原非线性系统的平衡态x 余特征值都具有负实部 则原非线性系统的平衡态 e的稳 定性由高阶项R(x)决定。 决定。 定性由高阶项 决定
2 − ( x1 + 2 x2 ) 2 − 5 x1
3) 非负定函数 4) 非正定函数
2 2 x2
( x1 − 2 x2 ) 2 − ( x1 + 2 x2 ) 2 ; 2 x2 ) 2
− 3 x12
2 2 − 3 x1 + 2 x2
5) 不定函数
二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4)