如何求得公式的求主析取和主合取范式

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主析取范式:一个由不同的极小项之和构成的公式, 叫主析取范式,如果它与给定的命题公式A等价,则称 它是A的主析取范式。
定理(主析取范式存在定理) 任何不为矛盾式的命题公式一定存在着与其等价的 主析取范式。
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证 设A为一个不是矛盾式的公式,先求出A的析取范式A,然后再 进行如下的构造性算法：
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二进制数 十进制数 记号mi 0 0 0 0 m0 0 0 1 1 m1 0 1 0 2 m2 0 1 1 3 m3 1 0 0 4 m4 1 0 1 5 m5 1 1 0 6 m6 1 1 1 7 m7
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一般地,n个变元的极小项是: m0 P1P2P3…Pn m1 P1P2P3…Pn ……… m2n-1 P1P2P3…Pn
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定理(范式存在定理) 任何命题公式都存在与之等价的析取范式和合取范式 求范式的构造性算法，其步骤如下：
① 对任何公式A，首先消去、等其它联结词,只保 留联结词、、。常用到公式 P Q P Q ， PQ (PQ)(QP), (PQ)(PQ) (合取范式) (PQ)(PQ) (析取范式)。
①展开 如果A的某基本积B中不含命题变元Pi或其否定Pi,则 将B展开如下: B BT B(PiPi) (BPi)(BPi) ②消去 将重复出现的命题变元(变元否定)、矛盾式、重复出现 的极小项都消去。 (用 PPP, PPF,mimimi)。 ③排序 将极小项按由小到大(或由大到小)顺序排列。 为表达简洁,用∑表极小项的析取。 如 m1m3m5,记成 ∑(1,3,5)
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主析取范式和主合取范式
范式为命题公式提供了一种统一的表达形式，给公 式的判定问题提供了一种比较简便的方法。但 ①析取范式和合取范式都不唯一，仍然给研究问题带 来不便; ②对偶然式，公式成真(假)的指派还不是一目了然。
为此我们进一步介绍主范式的概念。公式主范式与 二次曲线标准方程概念相类似。
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一 主析取范式
极小项(最小项)：在n个变元的基本积中，若每一个变 元与其否定不同时存在，且两者之一恰好出现一次， 则称这种基本积为极小项。 例 对P、Q、R三个变元来说，
PQR，PQR 是极小项，
P，PQ，PPR 都不是极小项。
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②用德.摩根律,将联结词直接移到各命题变元之前, 并简化。常用公式 (PQ)PQ， (PQ)PQ， PP。
③使用分配律将公式变为所需求的范式。 P(QR)(PQ)(PR) (求析取) P(QR)(PQ)(PR) (求合取)
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例2 求P∧(Q→R)→S的析取范式和合取范式
解：P∧(Q→R)→S P∧(Q∨R)→S (P∧(Q∨R))∨S P∨(Q∨R)∨S P∨(Q∧R)∨S ……… (析取范式) (P∨S)∨(Q∧R) (P∨Q∨S)∧(P∨R∨S) ……(合取范式)
先研究两个变元P、Q的极小项: PQ, PQ, PQ, P Q
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 PQ PQ PQ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 PQ 0 0 0 1
两个变元有22 = 4种不同的组合(极小项),由真 值表可知:任何两个极小项都不是等价的，并且恰有 一种指派(在极小项中，命题变元看成1,命题变元的 2016/10/21 9 否定看成 0)，使得极小项的值为T。
注意:为了确保主范式的唯一性，变元是字典序。
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例 解
Hale Waihona Puke 5个命题变元P1,P2,P3,P4,P5，求m29 ∵ 2910→111012 ∴m29 P1P2P3P4P5
极小项的性质： ①mimj F (i≠j) ②m0m1…m2n-1 T
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2016/10/21 ②的证明与①类似。略 1
定理
①析取范式的对偶式是合取范式； ②合取范式的对偶式是析取范式。
证① 设AA1A2…An ,n≥1, Ai(i=1,2,…,n)是基 本积。则A*B1B2…Bn , 其中Bi是将Ai中的换成 而得，显然是基本和，故A*是合取范式。 ②的证明与①类似。略
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例1 求 P(P→Q)的析取范式与合取范式 解： P(P→Q) P(PQ) (合取范式) (PP)(PQ) (析取范式) F(PQ) P Q (既是析取范式,又是合取范式) 由此例可看出：一个公式的析取(合取)范式不唯一。 最简析取(合取)范式:运算符最少的析取(合取)范式
三个变元有23=8种不同的组合(极小项)，任何两 个极小项都不是等价的，并且恰有一种指派，使得极 小项的值为T。
8个极小项 PQR PQR PQR PQR PQR PQR PQR PQR 2016/10/21 成真指派 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
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对n个变元，可产生2n个极小项。有且仅有一种指 派，使得极小项的值为T。 若将命题变元看成1,命题变元的否定看成0,每个
极小项对应一个二进制数,因而也对应一个十进制数,
二进制数正是该极小项的成真指派。
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对P、Q、R三个变元来说，有23=8个极小项
8个极小项 PQR PQR PQR PQR PQR PQR PQR PQR
范式的性质
定理 ①命题公式A永假的充分必要条件是A的析取范式中每个基本积 永假； ②命题公式A永真的充分必要条件是A的合取范式中每个基本和 永真。
证① 设AA1A2…An ,n≥1, Ai(i=1,2,…,n)是基本积. 充分性 因Ai(i=1,2,…,n)永假,显然AF,即A是永假式。 必要性（用反证法） 设不是每个基本积永假,即存在一个 Ak(1≤k≤n)不是永假，也即存在某种指派使Ak为真，在这 种指派下，显然A为真，这与题设矛盾。