信号处理与数据分析 邱天爽作业答案第五章(Part1)
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1.(书稿中 5.19) 试利用 DFT 的共轭对称性，用一次 N 点 DFT 运算来计算一个 2N 点实序列 的 DFT。 解：主要考察 FFT 中时间抽取蝶形运算的思想以及 DFT 的共轭对称特性。 首先，将 2N 点序列 x(n) 分成奇数组 x1 ( n ) 和偶数组 x2 (n) ，即满足下列表达式：
X 2 (k ) X (k N ) X 1 (k ) e
j
2π k 2N
X 2 (k )
得到原 2N 点序列
2.( 书 稿 中 5.20) 已 知 x(n) 为 N 点 序 列 ， N 为 偶 数 ， 其 DFT 为 X (k ) 。 令 y (n) 满 足
) n 为偶数 x(n / 2， ，试用 X (k ) 表示 Y (k ) 。 y ( n) n为奇数 0，
x1 (n) x(2n), x2 (n) x(2n 1), n 0,1, n 0,1, , N 1 , N 1
其次，构造新的序列 y(n) x1 (n) jx2 (n) ，利用 DFT 的共轭对称性，利用一次 N 点 DFT 实 现两个实数序列 x1 ( n ) 和 x2 (n) 的 DFT，分别为
X 1 (k ) [Y (k ) Y * (( N k )) N ] / 2 * X 2 (k ) [Y (k ) Y (( N k )) N ] / 2 j
最后，利用 X (k ) X 1 (k ) e DFT X (k ) 。
j
2π k 2N
x(n / 2)，n = 0,2...2N 2 解： y (n) , x(n) 为 N 点序列， y (n) 为 2N 点序列. n 1， 3...2 N 1 0，
根据 DFT 的定义可知： Y (k )
2 N 1
n0
y (n)e
j
2π nk 2N
y (2m)e
m0
N 1
j
2π mk N
x(n)e
wk.baidu.comn0
N 1
j
2π nk N
，
因此， 当 0 k N 1 时， Y (k ) = X (k ) ； 当 N k 2 N 1 时， Y (k ) x(n)e
n0 N 1 j 2π nk N
X (k N )
X 2 (k ) X (k N ) X 1 (k ) e
j
2π k 2N
X 2 (k )
得到原 2N 点序列
2.( 书 稿 中 5.20) 已 知 x(n) 为 N 点 序 列 ， N 为 偶 数 ， 其 DFT 为 X (k ) 。 令 y (n) 满 足
) n 为偶数 x(n / 2， ，试用 X (k ) 表示 Y (k ) 。 y ( n) n为奇数 0，
x1 (n) x(2n), x2 (n) x(2n 1), n 0,1, n 0,1, , N 1 , N 1
其次，构造新的序列 y(n) x1 (n) jx2 (n) ，利用 DFT 的共轭对称性，利用一次 N 点 DFT 实 现两个实数序列 x1 ( n ) 和 x2 (n) 的 DFT，分别为
X 1 (k ) [Y (k ) Y * (( N k )) N ] / 2 * X 2 (k ) [Y (k ) Y (( N k )) N ] / 2 j
最后，利用 X (k ) X 1 (k ) e DFT X (k ) 。
j
2π k 2N
x(n / 2)，n = 0,2...2N 2 解： y (n) , x(n) 为 N 点序列， y (n) 为 2N 点序列. n 1， 3...2 N 1 0，
根据 DFT 的定义可知： Y (k )
2 N 1
n0
y (n)e
j
2π nk 2N
y (2m)e
m0
N 1
j
2π mk N
x(n)e
wk.baidu.comn0
N 1
j
2π nk N
，
因此， 当 0 k N 1 时， Y (k ) = X (k ) ； 当 N k 2 N 1 时， Y (k ) x(n)e
n0 N 1 j 2π nk N
X (k N )