第五章 风险规避、风险投资与跨期决策

第五章 风险规避、风险投资 与跨期决策
本章要点
§1.对保险金的进一步说明 §2.不确定条件下风险决策的基本原则 §3.跨期最优决策 §4.现值与套利
§1.对保险金的进一步说明
一、保险金与风险规避程度的关系
消费者的期望效用函数可写成：
E[u(w0 h)](h可以小于零, E(h) 0)
若消费者支付R给保险公司，他得到一个确定 的效用水平 u(w0 R) ，根据确定性等值：
( x1 x1 ) m L
x2

(1 )
x1 x2

mL
A
(m, m L)
o
450
m
x1
无差异曲线

不确定状态下的预期效用函数可以用保险市场 中的需求来说明，无差异曲线可以表示为：
(1 p)u ( x1 ) pu ( x2 ) u u 0
''
0
(1 p)u ' ( x1 )dx1 p u " ( x2 )dx2 0 dx2 (1 p)u ( x1 ) " dx1 p u ( x2 )
rK PK (1 P) 0 rK PK 0
r P, 代入上述斜率相等式:
不确定条件下达到消费者的最优行为时，必有 两种状态下的边际效用相等。 由效用函数的凹性可知， u '' 0 。因此满足上式 的充要条件是：
* wb w* g
u ( w) wb u ( wb ) u ( wg ) P u ( w) 1 P wb wg (1 P) wg
MRSb,g表示状态好时的财产（没有损失，99% 的概率）与状态坏时的财产（1%的概率损失 10000）的边际替代率。
二、不确定条件下最优选择的条件
根据上述预算线和无差异曲线的斜率，可得：
u ( w) wb r u ( w) 1 r (1 P) wg
如果保险公司的保险价是公平价格，其期 望利润应为0。
正是由于u(w0)和u(w1)相互独立，才能写出期 望效用函数：
E[u(w)] Pu(w0 ) (1 P)u(w1 )

2.不确定条件下的预算约束


例：某人拥有35000元的财产，有1%的概率损 失10000元，99%的概率无损失。保险价格为投 100元付1元。 于是，1%的可能性下财产为34900（3500010000+10000-100）；99%的可能性下财产为 34900（35000-100）。
1 1 E[u ( w)] u ( w h) u ( w h) 2 2
h

赌局2：50%的概率赢或输2h。其期望效用函 数为： 1 1
E[u 2 h ( w)] u ( w 2 h) u ( w 2 h) 2 2

赌局3：50%的概率赢或输3h。其期望效用函 数为：
'
均衡的条件

这是需要通过无差异曲线与预算线相切来表示。
(1 p) u ( x1 ) 1 ' p u ( x2 )
'

消费者在不确定条件下消费行为达到最优时，必 有其在两种状态下的边际效用相等。
§3.跨期最优决策
一、跨期预算约束
设某人有t=1和t=2 两个时期，其收入与支出 分别为 ：c1 , c2 , m1 , m2 , 且p1 1

§2.不确定条件下风险决策的基本原则
一、不确定条件下的预算约束与边际替代率
1.独立性假定
若A B, C A, C B, 则必有 : P A (1 P) C P B (1 P) C
上述独立性公理说明，在A和B进行选择， 与另外一种结果C之间无关。

例：消费者在房子可能遭受火灾时的决策与没 有遭受火灾条件下的决策相互独立。
c2 m2 (m1 c1 )(1 r ) 跨期预算约束方程
若第一期是储蓄者, 则m1 c1; 若第一期是借入者, 则m1 c1
若第一期是储蓄者, m1 c1 , m2 c2 ,则在预算上会有相应 一点, (c1 , c2 )点与(m1 , m2 )点重合.
改写上式：
(1 r )c1 c2 (1 r ) m1 m2 1 1 c1 c2 m1 m2 (1 r ) (1 r ) 即p1c1 p2 c2 p1m1 p2 m2
（1）式中： p1 1 r, p2 1
(1) (2)
期值跨期预算约束线
（2）式中： p1 1, p2 1/ (1 r) 现值跨期预算约束线
三、风险升水（E(h)=0,P=R）与投保人的 财富绝对水平不一定有关

例：某人的效用函数形式为：
u(w) a bw cw2 (a 0, b o, c 0)

某风险规避程度为：
u '' ( w) 2c Ra ( w) ' u ( w) b 2cw
w Ra (w)

此人越富有，越怕担风险。财富上升时愿意支 付更高的保险金R。

例：某人初始财富值为w0，的效用函数形式为：
u(w) e Aw exp( Aw) ( A 0)
u '' ( w) A2e Aw Ra ( w) ' A Aw u ( w) Ae

风险升水完全取决于常数A。此人愿意支付的 保险金R与其财产w无关。 结论：一个人的财富多少与其愿意支付的保险 金之间的取决于其效用函数的形式。
保险金与风险规避程度之间是成正比例的。 投保人越是厌恶风险，他便越愿支付高一些的 保险金；反之，则只愿意承担低一些的保险金。
二、风险升水与风险大小的关系

在消费者是风险厌恶者时，风险升水的高低与 风险本身的大小成正比例。 设消费者的初始财富w0。赌局1：50%的概率 赢或输h。其期望效用函数为：
因此，车主的保险行为达到最优时，购买 保险后的期望效用水平具有明显的改善。
预算约束
x1 m q, x2 m L q q 1
(1 ) x1 x2 (1 )m (m L) 1
x2 m L q q
1 1 E[u ( w)] u ( w 3h) u ( w 3h) 2 2
3h

由效用函数的凹性可知：
E[u h (w)] E[u 2h (w)] E[u 3h (w)]

说明赌局的风险越大，期望效用水平越低。 风险厌恶时，当上升时，风险升水（保险价格） P也上升。当损失出现时，消费者认为其效用 损失大得多。为免灾，他愿支付较高的保险价 格。
1 P P
（3）没有购买保险时的期望效用水平为：
0.75 ln(100000) 0.25 ln(80000) 11.457 * * 若购买保险，达到最优解时，wb wg 95000 此时的期望效用水平为： 0.75 ln(95000) 0.25 ln(95000) 11.462
当利率上升时，说明消费者的c1和c2的边际效 用之比上升，意味着c1量的下降（因边际效用 递减），或c2的上升；当利率下降时则相反。
c2
m2
c
2
无差异曲线与给定的预算线切于 （c1和c2）点的右下方， m1<c1, m2>c2,是借入者。

E
u f (c1 , c2 )
O
m1
c
1
c1
c2
E[u(w0 h)] u(w0 R)
用泰勒级数展开上式：
等式右边：
u(w0 R) u(w0 ) Ru' (w0 ) 高阶项
等式左边：
2 h E[u ( w0 h)] E[u ( w0 ) hu ' ( w0 ) u '' ( w0 ) 高阶项] 2 2 E ( h ) '' ' u ( w0 ) E (h)u ( w0 ) u ( w0 ) 高阶项 2
利率变动对消费者跨期决策的影响
* b
因而需购买2万元的保险，付出保费5000（2 万×0.25）。于是，wg=从10万降至95000； 而wb*（出现小偷时的财产）确定是95000 （10万-2万+2万-0.5万）。
再次说明，在公平保险价格下，投保人充分 投保。
（2）净赔率=投保人获得的净赔额（赔额-保 险费）/保险费。本例中为1.5/0.5=3。 若车主购买价值K的保险，公平保险价r=P。 则付的保险费为PK，净赔额为(1-r)K= (1r)P，因此，净赔率为：
因此，预算约束线的斜率为：
wg rK r wb K rK 1 r
其中，wg表示状态好时的财富值，wb表示状态 差时的财富值。
3.不确定条件下的边际替代率 效用函数为： E[u(w)] Pu(wb ) (1 P)u (wg )
MRSb, g u ( w) wb u ( w) (1 P) wg


例：设投保财产为K，每单位财产保险费为r。 出现损失时财产为：25000+K-rK（3500010000+K-rK）；没有损失时财产为（35000rK）。 若不买保险，财产为35000或25000。
wg
35000
或然状态下的预算线

A （初始禀赋） B （选择） r 1 r wb 25000 K rK
c2
m2 (1 r )m1
期值
B
m2
m(m1 , m2 ) 禀赋
(1 r )
O
m1
现值
m1 (m2 (1 r )) c1

A
二、利率变动对跨期决策的影响
是c1和c2的无差异曲线的斜率MRSc1,c2为两者的 边际效用之比，因此，在最优点有：
MRSc1 ,c2 u ( ) c1 1 r u ( ) c2
（1）预算约束为：
0.75100000 0.2580000 0.75w 0.25w
* b * * * wb w* w w g g b 95000
* g
初始状态，wg=100000，wb=80000。为达到 最优配置，应使：
wg 95000 w* g 95000 wb 95000 w 95000
35000 rK
O
C
25000
A点的预期值： P(25000 K rK ) (1 P)(35000 rK ) 34900
在B点的预算约束是(P是遇灾的概率)：
P(25000 K rK ) (1 P)(35000 rK ) 34900 AC 35000 (35000 rK ) rK BC (25000 K rK ) 25000 K rK
上述最优条件的含义是：投保后，无论是遇 上好的状态（没有灾祸）还是坏状态（出现 灾祸），财产都一样。 注意：只有当r=P时，才会有上述最优条件。
例证
汽车保险。某人的汽车在没遇上小偷时价值为 100000元，遇上小偷只有80000元。设遇上小偷 的概率为25%，车主的效用函数形式为：lnw。 （1）公平保险价格下，他买多少保险是最优的？ （2）保险公司的净赔率是多少？ （3）车主按公平保险费投保与不投保相比，其期 望效用水平改进多少？
c
2

无差异曲线与给定的预算线切于 （c1和c2）点的左上方， m1>c1, m2<c2,是借出者。
u f (c1 , c2 )
m2
O
1
c
m1
c1
r (1 r )
由于初始禀赋总在预算线上，因此，变动的 预算线仍经过(m1,m2)点，即这它是经(m1,m2) 点的旋转。 出借者（m1>c1, m2<c2）,由于利率上升仍是出 借者。利率上升，放弃一单位c1的边际替代率 更高。新无差异曲线与更陡的预算线切于更左 上方。
E (h2 ) E (h) 0, 令 为一常数k (来自百度文库 0), 略去高阶,得: 2
u ( w0 ) Ru ' ( w0 ) u ( w0 ) ku '' ( w0 ) ku '' ( w0 ) R ' u ( w0 )
由于w0可任设，实际上可得到：
u '' (w0 ) R k ' kRa (w) u (w0 )