简正振动声子、声子谱的测定(肖建伟、董宏波、董会苁)

声子谱的测定
1.声子谱即声子散射谱，测定的是声子的散射 关系，即ω与格波波矢q的关系。一维单原 子链其色散关系：
（推导略）
只要研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题。因此波矢 的取值：-π/a<q≤π/a—第一布里渊区。
2.声子谱的测定方法
理论计算
（镁铝尖晶石声子色散关系为例）
1.用基于密度泛函理论的从头计算方法计算绝对零 度下平衡体积的晶体结构． 2.通过构建超晶胞并对超晶胞内的原子进行微小的 位移获得原子力，利用原子力来构造力常数矩阵， 进一步构造动力学矩阵。将温度扩展为有限温度， 计算出尖晶石的声子色散关系．
2.喇曼散射谱 散射光中还有与入射光频率不同的光，这是由于光子与声子相 互作用，与声子交换了能 量.这一过程也满足能量守恒:
2 1 p
其中 2 和 1 :分别是散射光和入射光的频率， p 是声子的频率 如果光子与低频声学支声子作用，通常称为布里渊散射.光子与高 频光学支声子相互作用，称为喇曼散射.
声子谱的应用
1.声子谱是研究材料热力学性质的一个很好的切入点， 一般材料为三维块体材料，声子谱分光学波（高）和声 学波频率（低），如果声子谱全部在0点以上， 材料没有出现虚频，那么材料就是相对稳定存在的。
2.用来分析结构中的原子或者化学键的振动，间接反映 结构中各原子的成键情况。低频的一般是金属的光学或 者声学模式，中等频率一般为化学键的扭曲振动，高频 率为键的伸缩振动模式。
1 3N 2 1 3N 2 2 系统的哈密顿量 H pi i Qi 2 i 1 2 i 1
H pi Qi
Qi i2Qi 0,
正则方程
正则动量
L pi Qi Qi
i 1, 2, 3, 3N
—— 3N个独立无关的方程
Qi i2Qi 0,
引入简正坐标 Q1 , Q2 , Q3 , Q3 N —— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
mi i aijQ j
j 1
3N
系统的哈 密顿量
1 3N 1 3 N 2V i 2 ( H mi ) 0 i j 2 i 1 2 i , j 1 i j
3N 1 2 2 2 2 [ ( i Qi )] (Q1 ,Q3 N ) E (Q1 , Q3 N ) 2 Qi i 1 i 1 2 3N
系统能量
1 E i (ni )i 2 i 1 i 1
3N
3N
由此可以看出晶格振动的能量是量子化的，能 量单位
1 3 N 2V 系统的势能函数 V ( ) 0 i j 2 i , j 1 i j
1 3N i 2 系统的动能函数 T mi 2 i 1
含有坐标的交叉项
1 3N 1 3 N 2V 系统的哈密顿量 H mi i 2 ( ) 0 i j 2 i 1 2 i , j 1 i j
3.根据准简谐近似理论得到常压下的各种热力学性 质.
1.红外吸收谱 当红外光入射固体之后，光子与声子发生相互作用，光子把 能量交给晶格，引起振动能态的跃迁，或者说消灭了光子， 产生了声子，红外光被吸收.这一过程满足能量守恒定律:
t
=E2一E1
其中 t 是红外光子的能量，E2 一E1是末态能级与初态能 级之差，等于产生的声子的能量 。
3N 1 3N 2 1 3N 2 2 3N 1 2 H Qi i Qi Qi i2Qi2 H i Qi 2 i 1 2 i 1 i 1 2 i 1


1 3N 2 1 3N 2 2 拉格朗日函数 L T V Qi i Qi 2 i 1 2 i 1 L pi Qi 正则动量 Qi
汇报人：肖建伟 董宏波 董会苁 指导教师：刘世民
思路
简正振动
简 谐 近 似 简 正 坐 标
晶格振动能量量子化
声子
晶体振动
声子谱的测定及应用
简正振动
1.概念：简正振动是最简单、最基本的振动，是晶 体中所有原子以相同频率在平衡位置附近所作的 简谐振动。 2.能量：实际晶体中原子振动的总能量=势能+动能 假设晶体中包含N个原子，平衡位置为Rn,偏离平 衡位置的位移矢量为µ (t)，则原子的位置 n Rn'(t)=Rn+µ (t) n 把位移矢量用分量表示，则共有3N个分量，写成 µ（i=1~3N）。 i
解决方法：设法找到一个正交变换，将3N个原子位移坐 标 i (t ), (i 1,2, 3N ) 变换到3N个简正坐标
Q j (t ), ( j 1,2,3N )
H H (Q j )
j 1
3N
多体化简为单体
如何找到 i ( t ) ~ Q j ( t ) 之间的变换关系？
i 1, 2, 3, 3N
—— 3N个独立无关的方程
简来自百度文库坐标方程解
只考察某一个Qj振动时，有 i
aij mi
A sin( j t )
简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同
振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
—— N个原子组成的晶体的运动方程，经过量子力学处理
声子
1.声子是晶格振动的能量量子,其能量单位为

2.声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映 的是晶格原子集体运动状态的激发单元。声子只存 在于晶体中，脱离晶体后就没有意义了。一种振动 模式，称为一种声子。
3.关于晶格的振动问题可以转化为声子系统问题的 研究，由于每个振动模式在简谐近似条件下都是独 立的，因此声子系统是无相互作用的声子气组成的 系统。