曲边梯形的面积与定积分

解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这 样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些 小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
因此, 我们有理由相
信, 这个曲边三角形
y
的面积为:
S
lim
n
Sn
lim
n
1 6
1
1 n
2
1 n
1.
3
y x2
O 12
k
nn
n
Sn
b
c
b
(3)a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
(其中a c b)
知识应用
应 用 5 : 从几何上解释 1 x3dx的意义, 1
并计算出该定积分.
小结
1、分割 将区间等分成 n 个小区间
i-1 1
2、以直代曲 对于区间 n , n 上小曲边梯形，
i-1
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2）近似代替
Si
f
(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n i1
f(
i-1 n)
1 n
n i1
(in-1)2
1 n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2
]
课题：曲边梯形面积
我行 我能 我要成功 我能成功
积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似
为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
问题探究
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和y＝0所围成的
曲边梯形的面积。
（1）分割：将曲边梯形分成 n个小曲边梯形 （2）近似代替 ：用小矩形的面积代替小曲边 y 梯形的面积， 于是曲边梯形的面积S近似为：
在区间[a, b]上函数f(x)连续且恒有f(x)
≥0. 表示由直线x=a, x=b(a≠b), y=0和曲线
y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积
分是一个确定的常数) y
f (b)
y f (x)
f (a)
0a
b
x
2.定积分的几何意义:
在区间[a, b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)
≥0. 表示由直线x=a, x=b(a≠b), y=0和曲线
S S1+ S2 + + Sn
O 12 nn
y x2
k n
nx
n
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
a
a
应用4: 比较下列各式的大小:
(1)
1
xdx ________
1 x2dx
0
0
2
(2)
4 x2 dx ________
2
2dx
0
0
问题探究
请利用定积分概念, 解释定积分的下列性质:
(1)
b
kf ( x)dx k
b f ( x)dx(k为常数)
a
a
b
b
b
(2) a [ f1( x) f2( x)]dx a f1( x)dx a f2( x)dx
1
以f n 为长， x= n 为宽小矩形面积近似代
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小曲边梯形面积
i-1
3、作和 S= s1+ s2++ sn=sif n • x
4、取极限 n+,
i-1 f n • xS
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
bx
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
bx
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面
a,b叫做积分区间,函数f x叫做被积函数, x叫
做积分变量, f x dx叫做被积式.
知识归纳
1.定积分的概念: 函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作:
b
a f ( x)dx
b a
f (x)dx
n1 i0
f (i )Vxi
n
lim n i1
(b a) n
f (i )
2.定积分的几何意义:
表示了曲边梯形面积的近似值
lim S曲边梯形
S黄色部分
n
n 1
f (i )Vxi
i0
lim
n
n1 i1 n
f (i )
i为区间[
i
1 n
,
i n
]上任意一点
为了便于计算,一般用左(右)端点
函数f(x)在区间[a, b]上的定积分的概念;
如果函数f x在区间a,b上连续,用分点
a x0 x1 xi1 xi xn b将区间a,b等分成n个小区间,
k n
nx
n
y x2
k n
nx
n
方案1 方案2
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割（2）近似代替（3）求和
把这些矩形面积相加 （4）取极y限 Vx 0(或n )
作为整个曲边形面积Sn1
的近似值。S lim f 有理由相信，Vx分0点i0
xi xi
越来越密时，即分割
n i1
Si'
n i1
f
(i 1)x n
n (i 1)2 i1 n
1 n
0
1 n
1 n
2
1 n
2 n
2
1 n
L
n
n
1
2
1 n
1 (12 22 L (n 1)2) n3
1 (n 1)n(2n 1)
n3
6
1 6
1
1 n
2
1 n
.
nx
n
y
y
O 12 nn
O 12 nn
y x2
y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积
分是一个确定的常数) y
3.定积分的作用 f (b)
f (a)
求曲边梯形的面积
0a
y f (x)
b
x
知识应用
应用1: 用定积分的概念, 写出 抛物线y=x2与直线x=1, y=0所围成 的阴影部分的面积
根据定积分的概念,曲边梯形的面积
S 1 f x dx 1 x2dx 1 .
越来越细时，矩形面
积和的极限即为曲边
形的面积。
o
x
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
f (x1)x1 f(x2 )x2 f(xn )xn
教材研读
一、求曲边梯形面积的一般步骤
二、定积分
1.函数f(x)在区间[a, b]上的定积分的概念;
2. b f (x)dx的几何意义是什么? a
3.如何理解
b a
f
(x)dx
n1
lim 0 i0
f
(i )Vxi
?
4.定积分是变量还是常量?
5.定积分的作用是什么?
一. 求曲边梯形的面积 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连
0
0
3
应 用 2: (1)证明 b dx b a(其中a,b a
均为常数,且a b)
(2)求 1 1 x2 dx的大小 0
应用3: 请利用定积分的几何意义，
表示出阴影部分的面积S.
y
y f1(x)
A
B
D
C
y f2(x)
0a
b
x
容易发现,S b f1xdx b f2 xdx .
（4）求极限 当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
1 6
(n
1)n(2n 1)
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n 3
所以S 1，即所求曲边三角形的面积为1。
3
3
分割
近似代替
求和
求极限
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和y＝0所围成的曲边梯形的面积。
续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的
图形叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=b
x=a
曲边梯形的特点
①、只有一边是曲线 ②、其他三边是特殊直线
Oa
bx
如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。
y
y
y
0
直线
x0
xo
x
几条线段连成的折线
曲线？
y = f(x) y
A1
Oa
bx
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
max{Vxi},i 0,1, 2,, n 1, 在每个小区间 xi1, xi 上任取一点I
n1
i 1, 2,, n,作和式I f i xi ,当 0时,上述和式无 i0 限接近某个常数, 这个常数叫做函数f x 在区间
a,
b
上的
定
积
分, 记作 b a
f
x dx,
即这里ab ,fa(与x)bd分x 别li 叫m0 做ni01积f (分i )下Vx限i 与lni积m 分in1上b n限a,区f 间i .