2020-2021学年宁德市部分达标中学第一学期期中联合考试高二数学答案

2020-2021学年宁德市部分达标中学第一学期期中联合考试
高二数学试题参考答案及评分标准
（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案
的评分标准的精神进行评分．
（2）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数.（3）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分．一、单选题1.C
2.A
3.C
4.A
5.D
6.B
7.C
8.B
二、多选题9.ABC 10.AC 11.BCD 12.BD
三、填空题
13.()0,+∞14．12
15.270
x y +-=16．四、解答题
17（10分）.解：选条件①作为已知，解答如下：p 为真命题时，31a -<，解得24a <<………………2分q 为真命题时，280a a -≥，解得0a ≤或8a ≥………………4分p q ∨ 为假命题，,p q ∴都是假命题………………5分可得2408a a a ≤≥⎧⎨<<⎩
或，
………………7分即0248
a a <≤≤<或………………9分所以a 的取值范围为(0,2][4,8) ………………10分
选条件②作为已知，解答如下：p 为真命题时，31a -<，解得24a <<………………2分q 为真命题时，280a a -≥，解得08a a ≤≥或………………4分()p q ∧⌝ 为真命题，p ∴是真命题，q 是假命题………………5分
可得2408a a <<⎧⎨<<⎩
，
………………7分即24
a <<………………9分
所以a 的取值范围为2,4（）
………………10分
18.解：（1）由()()120m m --<，………………2分得1m <或2m >，即()()
,12,m -∞+∞ ………………4分（2）命题p ：由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．………………5分
命题q ：
22
112x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则10
2021
m m m m ->⎧⎪
->⎨⎪->-⎩
，解得312m <<，
………………8分
因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，
………………9分
则31
342a a ≥⎧⎪
⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤，
………………11分
故实数a 的取值范围为：1338⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．
………………12分
19.解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点()2,2-，………………1分半径为
12OP =………………3分∴以OP 为直径的圆的方程为22(2)(2)8x y ++-=．………………5分
(2)PA PB 、是圆22:1O x y +=的两条切线，OA PA OB PB ∴⊥⊥,，
A B ∴、两点都在以OP 为直径的圆上．
………………7分由2222
(2)(2)8
1x y x y ⎧++-=⎨+=⎩得直线AB 的方程为4410x y -+= (9)
分
O 点到直线AB 的距离为8
d =
，………………10分
线段AB
的长度为AB =………………12分
20.解：（1）由(Q m 在抛物线C 上可得，212pm =由4QF =可得，42
p
m +
=………………2分032,3
p p m <<∴==∵，………………4分抛物线C 的方程为24y x =．
………………5分
(2)当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =，易求得(4,4),(4,4)
A B -OA (4,4),OB (4,4),OA OB 16160
=-=⋅=-=
此时OA OB ⊥成立．
………………7分
当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(4)y k x =-，1122(,),(,)
A x y
B x y 由24(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得24160ky y k --=………………9分
212124
16640,16k y y y y k
∆=+>+=
=-2121212121
()16160
16
OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-= ………………11分
此时OA OB ⊥成立综上可得，OA OB ⊥．
………………12分
21.解法一（1）AB = 2r =，1d ∴=设直线l 的方程为(4)y k x =+或4
x =-………………2分
①当直线l 的方程为4x =-时，1d ∴=，AB =，符合题意．
②当直线l 的方程为(4)y k x =+时，1d =
=，43
k =
，4
(4)3
y x ∴=+，即:43160
l x y -+=………………4分综上所述：直线l 的方程为43160x y -+=和4x =-．………………5分
（2）设直线l 的方程为(4)y k x =+或4
x =-①当直线l 的方程为=-4x 时，2
(4,(4,3)3E Q ---、，()4,0P -，()0,3PQ = ,2(0,3PE =- ,2
PQ PE ∴=-
………………7分
②当直线l 的方程为(4)y k x =+时，22
(4)(3)(3)4y k x x y =+⎧
⎨++-=⎩，整理得2222(1)(866)(43)50k x k k x k ++-++-+=，设1122(,),(,)
A x y
B x y
21222
1228661
(43)51k k x x k k x x k ⎧-++=-⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩
，21212234,221y y x x k k k k +++⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭22224333(,)11k k k k
Q k k -++-++，()4,0P -,222313(,)11
k k k PQ k k ++=++ ,
………………9分
由(4)360y k x x y =+⎧⎨++=⎩得1262(
,)3131k k E k k ---++，22(,)3131k
PE k k --=++ ………………11分
2222
2
1k PQ PE k --∴==-+ 综上所述：PQ PE
值与直线l 的倾斜角无关，其值为2-．
………………12分
解法二：(1)同解法一
(2)设直线:4=-l x ty ，1122(,),(,)
A x y
B x y 由22
4(3)(3)4
=-⎧⎨++-=⎩x ty x y 得22(1)(26)60+-++=t y t y ………………6分
2
2
(26)24(1)0∆=+-+>t t ，2121212122
22266668
+,(+)8111+-+-==+=-=+++，t t t y y y y x x t y y t t t 得2223343
(,)
11
-+-+++t t t Q t t ………………8分
由4360x ty x y =-⎧⎨++=⎩得6123
23--⎧
=⎪⎪+⎨⎪=-
⎪+⎩
t x t y t ，即6122(
,)33---++t E t t ………………9分
222222334333
(4,)(,)
1111-+-+++=+=++++ t t t t t t PQ t t t t ，612222(4,)(,)3333---=+-=-++++ t t PE t t t t 所以222
222(3)2(3)22
2(1)(3)(1)(3)1-+-+--⋅=+==-+++++ t t t t t PQ PE t t t t t ………………11分
所以⋅ PQ PE 与直线l 的倾斜角无关，2
⋅=-
PQ PE ………………12分
解法三：(1)同解法一
（2）(几何法)：如图所示(4,0),(3,3),3--=PC P C k 13
=-
∵m k 1m PC k k ⋅=-∴，即直线m 与直线PC 垂直，记垂足为D ………………7分
090,∠=∠=∠=∠∵CQP PDE CPQ EPD
Rt PQC Rt PDE ∆∆∴～=
∴
PQ PD
PC PE
即=PQ PE PC PD ⋅⋅………………9分
又=PC ，点P 到直线m
的距离==d ，
即=
PD =⋅⋅∴PQ PE PC PD ==2
⋅⋅∴--
PQ PE PQ PE ………………11分所以⋅ PQ PE 与直线l 的倾斜角无关，2
⋅=-
PQ PE ………………12分22．解（1）由题意()()()
,0,,0,0,A a B a G b -………………1分34AG BG b b k k a a ==-- ，2219
1
4a b
+=解得224,3
a b ==………………3分故椭圆E 的方程为：22
1
43
x y +=………………4分
（2）存在实数2λ=满足题意．
由（1）知椭圆E 的方程：2234120x y +-=，直线l 的方程为()1y k x =-，代入椭圆方程并整理，得()
22223484120k x k x k +-+-=，………………5分
设()()1122,,,C x y D x y ()
,4,3Q k 则有22121222
8412
,3434k k x x x x k k -+==
++ ………………6分
()()()12121312122
2122
2121222
22
2223333
1122221111
8223334224128212134343868362224128342921
y y k x k x k k x x x x k x x k k k k k x x x x k k
k k k k k k k k -
-----+=
+=+-----+-+=-=---++-+++---=-=---++-=-
………………9分
23
32222141
k k k -
==-- 即，1322k k k +=………………11分故存在实数2λ=满足题意．
………………12分。