大学文科数学课程教学大纲-学习空间

《医用高等数学》（医学类）课程教学大纲

学时数:54—72

学分数：３—４

适用专业：医学类专业

执笔:吴赣昌

编写日期:2０11年6月

课程的性质、目的和任务

《医用高等数学》着重讲基本概念和原理，强调基础知识的应用与提高解决实际问题的能力，适当结合医学。该门课程以课堂教学为主要形式，附以课外作业练习及辅导等,要注意指导学生进行预习与复习，培养他们的自学精神与独立思考能力

通过系统地讲授以微积分、微分方程为主要内容的基础知识，培养学生的逻辑推理能力和数值运算能力，提高其运用数学工具进行定量分析的水平，为学习后继基础医学课程及从事医学科学研究打下基础。

使学生了解数学在生物学和医学中的应用,了解相关的边缘学科（如生物数学、数理医药学、药物动力学等）对医学发展所起的作用，培养正确的思维方法与创新意识。

课程教学的主要内容与基本要求

一、函数与极限

主要内容：

实数与区间,函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，函数关系的建立;反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数，初等函数及应用;极限的概念与性质，函数的左、右极限；极限的四则运算；两个重要极限；无穷小与无穷大,无穷小的比较；连续函数的概念，函数的间断点；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质；阿基米德介绍。

基本要求：

１、理解函数的概念，掌握函数的表示法;了解函数的有界性、单调性、周

期性和奇偶性；掌握函数关系的建立;了解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念；

2、知道基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念及应用;

3、了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念；知道极限的四则运算法则，会用两个重要极限;

4、了解无穷小与无穷大的概念,了解无穷小比较方法,会利用无穷小等价求极限的方法;

5、了解函数的连续与间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质。

６、通过绪言与阿基米德介绍，了解数学的历史地位、作用以及古代数学家的创造与杰出贡献。

二、一元函数微分学

主要内容：

导数的概念,导数的几何意义和物理意义,函数的可导性与连续性之间的关系；基本初等函数的导数,导数的四则运算,导数作为变化率的应用举例,反函数的导数，复合函数的求导法则;隐函数的导数;高阶导数的概念;微分的概念，微分的四则运算，一阶微分形式的不变性，函数的线性化,利用微分进行近似计算；罗尔定理,拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则;函数的单调性及其判别法，函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及其在抛射体运动、医药学和经济中的应用。

基本要求:

1、理解导数与微分的概念,知道导数的几何意义，了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量，了解函数的可导性与连续性之间的关系；

2、掌握导数的四则运算法则,掌握作为变化率的导数在实际问题中的应用，会求部分复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用；

３、会求隐函数的一阶导数,了解高阶导数的概念;

4、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

5、通过抽象导数概念的几何原型和物理原型,了解导数概念的产生与求导过程中蕴含的哲学思想。

6、了解罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理;

7、会用洛必达法则求未定式极限的方法;

8、理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其在抛射体运动、医药学和经济中的应用；

9、了解拉格朗日、费马等数学家对数学的贡献,了解数学的应用意义。

三、一元函数积分学

主要内容:

原函数和不定积分的概念,不定积分的基本性质;掌握不定积分的基本积分公式，不定积分的换元积分法与分部积分法；抽象定积分概念的两个现实原型,定积分的概念；定积分的性质；积分上限的函数及其导数,牛顿一莱布尼茨公式，求定积分过程中的辨证思维;定积分的换元积分法与分部积分法;无穷限的广义积分;定积分的微元法及其应用：求平面图形的面积、旋转体的体积、变力沿直线所作的功等。

基本要求:

１、理解原函数的概念、理解不定积分的概念;

2、掌握不定积分的基本性质与基本积分公式；

3、会计算不定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法；

４、理解定积分的概念与性质;

5、掌握微积分基本定理与牛顿－莱布尼茨公式；

6、能利用定积分的基本性质、换元积分法与分部积分法计算定积分;

7、了解广义积分的概念并会计算简单无穷限的广义积分;

8、会用定积分表达和计算一些几何量与物理量；

9、了解牛顿和莱布尼茨的生平事迹和他们对数学发展所作的历史性贡献。

四、多元函数微积分

主要内容:

空间直角坐标系,空间两点间的距离,平面与曲面方程简介;多元函数的概念，二元函数的极限，二元函数的连续性，有界闭域上连续函数的性质;偏导数的概念与计算,高教偏导数；多元函数全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件,标准线性近似的概念,*全微分在近似计算中的应用;多元函数的复合函数微分法,全微分形式不变性;多元函数的隐函数微分法;多元函数的极值及其求法,多元函数极值的必要条件，二元函数极值的充分条件,多元函数条件极值的概念及其求法（拉格朗日乘数法)，多元函数的最大值、最小值及其简单应用；二重积分的概念与性质，直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算。

基本要求:

１、了解空间坐标系的有关概念，会求两点之间的距离；

2、了解平面上点的邻域,区域以及其边界点，内点等的概念；

3、了解多元函数的概念，了解二元函数的表示法与几何意义；

4、了解二元函数的极限与连续的直观意义;

5、理解多元函数的偏导数与全微分的概念，了解二元函数线性化近似,熟练掌握求偏导数与全微分的方法,掌握求多元函数偏导数以及隐函数的偏导数的方法；

6、了解二元函数极值与条件极值的概念,掌握二元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值与最小值,会求解一些简单的应用题；

7、了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分在直角坐标系与极坐标系下的计算方法,会计算无界区域上的较简单的二重积分。

五、微分方程

主要内容:

常微分方程的概念，微分方程的解、通解、初始条件和特解；变量可分离的方程;一阶线性微分方程；可降阶的二阶微分方程;二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程及其通解,自由项为多项式、指数函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法; *微分方程的简单应用。

基本要求:

1、了解微分方程的阶、通解、初始条件和特解等概念;

２、掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的求解方法；

3、掌握二阶常系数齐次线性方程和自由项为多项式、指数函数，以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分的解法;

4、了解应用微分方程解决一些医学科研问题的思想方法;

5、了解笛卡尔的生平事迹和他对数学发展所作的历史性贡献。

六、概率论初步

主要内容：

随机现象,随机事件，样本空间,事件的关系与运算;随机事件的概率：频率及其性质、概率的定义与性质；古典概型；条件概率的概念，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式;事件的独立性与性质,伯努利概型;随机变量的概念;离散型随机变量及其概率分布，常用离散分布:两点分布、二项分布、泊松分布；随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布函数；连续型随机变量及其概率密度,常用