矩阵与行列式
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j ̸=i
Vj = 0 .
(2) V 中任意向量 v 可以唯一的表为 v = v1 + · · · + vk , 其中 vi ∈ Vi . (3) 如果 0 = v1 + · · · + vk , 其中 vi ∈ Vi , 则 vi = 0. (4) dimV = dimV1 + · · · + dimVk .
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第二章 矩阵与行列式
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∑ 证明. (1) ⇒ (2) 设 v = v1 + · · · + vk = w1 + · · · + wk , 则 vi − wi = j ̸=i (vj − wj ) ∈ Vi ∩ ∑ j ̸=i Vj , 从而 vi = wi . (2) ⇒ (3) 显然. (3) ⇒ (4) 设 dimVi = di , 一组基为 {vij }1⩽j ⩽di , 如果 ∑ ∑ 1⩽i⩽k,1⩽j ⩽di aij vij = 0, 则由 0 的表达唯一性有 1⩽j ⩽di aij = 0, 再由 {vij }1⩽j ⩽di 是一组基有 aij = 0, 从而 {vij } 在 V 中线性无关. 另一方面, 显然任意 V 中元素可由 {vij } 线性表出, 从而是 ∑ ∑ 一组基. (4) ⇒ (1) dim Vk ⩾ dim Vi + dim ( j ̸=i Vj ), 从而由推论 2.3 可得. 如果 V1 , . . . , Vk 满足上述条件其一, 责称它们的和为直和, 记为 V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk . 命题 2.5. 设 V1 是 V 的子空间, 则存在子空间 V2 ⊂ V , 使得 V = V1 ⊕ V2 , 称 V2 是 V1 在 V 中 的补. 补唯一吗? 证明. 设 {v1 , . . . , vr } 是 V1 的一组基, 则它可扩充成 V 的一组基 {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn }, 则 V2 =< vr+1 , . . . , vn > 即是 V1 的一个补. 补不唯一, 比如 V =< e1 , e2 >, V1 =< e1 >, 则 V2 =< e2 > 和 V3 =< e1 + e2 > 都是 V1 的补. 命题 2.6. 如果 V ⊂ V1 + V2 , 是否有 V = V ∩ V1 + V ∩ V2 ? 如果加上条件 V1 ⊂ V , 结论是否成 立? 证明. 第一个结论不成立, 比如 V =< e1 + e2 >, V1 =< e1 >, V2 =< e2 >. 如果 V1 ⊂ V , 则结论 成立. 设 x ∈ V = u + v , u ∈ V1 , v ∈ V2 , 则 v = x − u ∈ V , 从而 v ∈ V ∩ V2 . 例题 2.7. Mn×n 是 R 上 n2 维向量空间. 记 M S 与 M A 分别是对称矩阵与反对称矩阵的集合, 简单验证知它们都是 Mn×n 的子空间且 M S ∩ M A = 0. 另一方面, 对任意 A ∈ Mn×n , 有 A =
A+AT 2 A + A− , 其中第一个矩阵是对称矩阵, 第二个矩阵是反对称矩阵. 从而 Mn×n = M S ⊕ M A . 2
THale Waihona Puke Baidu
从另一个角度, 可以直接计算 dim M S =
n(n+1) , 2
第二章
矩阵与行列式
2.1 子空间
定理 2.1. 任意多个子空间的交是子空间. 证明. 简单验证即可. 两个子空间 V1 , V2 的并一般来说不再是子空间, 因为集合的并运算不保持加法. 为此我们需 要构造一个包含 V1 , V2 的最小的子空间, 这就是子空间的和. 定理 2.2 (维数定理). 设 V1 , V2 是 Rn 的子空间, 则 V1 + V2 := {v + u|v ∈ V1 , u ∈ V2 } 也是子空 间, 并且 dimV1 + dimV2 = dim(V1 ∩ V2 ) + dim(V1 + V2 ). 证明. 子空间简单验证即可. 设 dim V1 = r, dim V2 = s, dim (V1 ∩ V2 ) = t 并且 {v1 , . . . , vt } 是 V1 ∩ V2 的一组基. 则 {v1 , . . . , vt } 可以分别扩充为 V1 , V2 的一组基, 记为 {v1 , . . . , vt , w1 , . . . , wr−t } ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 与 {v1 , . . . , vt , u1 , . . . , us−t }. 设 ai vi + bj wj + ck uk = 0, 则记 x = a i v i + b j wj = ∑ ∑ ∑ − ck uk , x ∈ V1 ∩V2 , 从而存在 d1 , · · · , dt ∈ R 使得 − ck uk = di vi , 因为 {v1 , . . . , vt , u1 , . . . , us−t } 是一组基, 必然有 ck = 0, 进而有 ai = 0, bj = 0. 我们说明了 {v1 , . . . , vt , w1 , . . . , wr−t , u1 , . . . , us−t } 线性无关, 进一步我们证明它构成 V1 + V2 的一组基. 设 x ∈ V1 + V2 , 则 x = y + z , 其中 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ y= ai vi + bj wj , z = ci vi + dk uk . 从而 x = (ai + ci )vi + bj wj + dk uk . 由此等 式两边都等于 r + s. 推论 2.3. 设 V1 , V2 是子空间, 则 dim (V1 + V2 ) ⩽ dim V1 + dim V2 , 且等式成立当且仅当 V1 ∩ V2 = 0 . 命题 2.4 (直和). 设 V1 , . . . , Vk 是 Rn 的线性子空间, 记 V = V1 + · · · + Vk . 证明下列条件等价: (1) 对任意 1 ⩽ i ⩽ k , Vi ∩ ∑
Vj = 0 .
(2) V 中任意向量 v 可以唯一的表为 v = v1 + · · · + vk , 其中 vi ∈ Vi . (3) 如果 0 = v1 + · · · + vk , 其中 vi ∈ Vi , 则 vi = 0. (4) dimV = dimV1 + · · · + dimVk .
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∑ 证明. (1) ⇒ (2) 设 v = v1 + · · · + vk = w1 + · · · + wk , 则 vi − wi = j ̸=i (vj − wj ) ∈ Vi ∩ ∑ j ̸=i Vj , 从而 vi = wi . (2) ⇒ (3) 显然. (3) ⇒ (4) 设 dimVi = di , 一组基为 {vij }1⩽j ⩽di , 如果 ∑ ∑ 1⩽i⩽k,1⩽j ⩽di aij vij = 0, 则由 0 的表达唯一性有 1⩽j ⩽di aij = 0, 再由 {vij }1⩽j ⩽di 是一组基有 aij = 0, 从而 {vij } 在 V 中线性无关. 另一方面, 显然任意 V 中元素可由 {vij } 线性表出, 从而是 ∑ ∑ 一组基. (4) ⇒ (1) dim Vk ⩾ dim Vi + dim ( j ̸=i Vj ), 从而由推论 2.3 可得. 如果 V1 , . . . , Vk 满足上述条件其一, 责称它们的和为直和, 记为 V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk . 命题 2.5. 设 V1 是 V 的子空间, 则存在子空间 V2 ⊂ V , 使得 V = V1 ⊕ V2 , 称 V2 是 V1 在 V 中 的补. 补唯一吗? 证明. 设 {v1 , . . . , vr } 是 V1 的一组基, 则它可扩充成 V 的一组基 {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn }, 则 V2 =< vr+1 , . . . , vn > 即是 V1 的一个补. 补不唯一, 比如 V =< e1 , e2 >, V1 =< e1 >, 则 V2 =< e2 > 和 V3 =< e1 + e2 > 都是 V1 的补. 命题 2.6. 如果 V ⊂ V1 + V2 , 是否有 V = V ∩ V1 + V ∩ V2 ? 如果加上条件 V1 ⊂ V , 结论是否成 立? 证明. 第一个结论不成立, 比如 V =< e1 + e2 >, V1 =< e1 >, V2 =< e2 >. 如果 V1 ⊂ V , 则结论 成立. 设 x ∈ V = u + v , u ∈ V1 , v ∈ V2 , 则 v = x − u ∈ V , 从而 v ∈ V ∩ V2 . 例题 2.7. Mn×n 是 R 上 n2 维向量空间. 记 M S 与 M A 分别是对称矩阵与反对称矩阵的集合, 简单验证知它们都是 Mn×n 的子空间且 M S ∩ M A = 0. 另一方面, 对任意 A ∈ Mn×n , 有 A =
A+AT 2 A + A− , 其中第一个矩阵是对称矩阵, 第二个矩阵是反对称矩阵. 从而 Mn×n = M S ⊕ M A . 2
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从另一个角度, 可以直接计算 dim M S =
n(n+1) , 2
第二章
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2.1 子空间
定理 2.1. 任意多个子空间的交是子空间. 证明. 简单验证即可. 两个子空间 V1 , V2 的并一般来说不再是子空间, 因为集合的并运算不保持加法. 为此我们需 要构造一个包含 V1 , V2 的最小的子空间, 这就是子空间的和. 定理 2.2 (维数定理). 设 V1 , V2 是 Rn 的子空间, 则 V1 + V2 := {v + u|v ∈ V1 , u ∈ V2 } 也是子空 间, 并且 dimV1 + dimV2 = dim(V1 ∩ V2 ) + dim(V1 + V2 ). 证明. 子空间简单验证即可. 设 dim V1 = r, dim V2 = s, dim (V1 ∩ V2 ) = t 并且 {v1 , . . . , vt } 是 V1 ∩ V2 的一组基. 则 {v1 , . . . , vt } 可以分别扩充为 V1 , V2 的一组基, 记为 {v1 , . . . , vt , w1 , . . . , wr−t } ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 与 {v1 , . . . , vt , u1 , . . . , us−t }. 设 ai vi + bj wj + ck uk = 0, 则记 x = a i v i + b j wj = ∑ ∑ ∑ − ck uk , x ∈ V1 ∩V2 , 从而存在 d1 , · · · , dt ∈ R 使得 − ck uk = di vi , 因为 {v1 , . . . , vt , u1 , . . . , us−t } 是一组基, 必然有 ck = 0, 进而有 ai = 0, bj = 0. 我们说明了 {v1 , . . . , vt , w1 , . . . , wr−t , u1 , . . . , us−t } 线性无关, 进一步我们证明它构成 V1 + V2 的一组基. 设 x ∈ V1 + V2 , 则 x = y + z , 其中 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ y= ai vi + bj wj , z = ci vi + dk uk . 从而 x = (ai + ci )vi + bj wj + dk uk . 由此等 式两边都等于 r + s. 推论 2.3. 设 V1 , V2 是子空间, 则 dim (V1 + V2 ) ⩽ dim V1 + dim V2 , 且等式成立当且仅当 V1 ∩ V2 = 0 . 命题 2.4 (直和). 设 V1 , . . . , Vk 是 Rn 的线性子空间, 记 V = V1 + · · · + Vk . 证明下列条件等价: (1) 对任意 1 ⩽ i ⩽ k , Vi ∩ ∑