专题三 导数及其应用第八讲导数的综合应用答案
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专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用
答案部分 2019年
1.解析 当1x =时，()112210f a a =-+=>恒成立； 当1x <时，()2
2
22021
x f x x ax a
a
x =-+⇔-恒成立，令()()()()2
2
22
1112111111x x x x x g x x x x x
-----+==-=-=-=----
()()1
1221201x x x
⎛⎫--+
---= ⎪ ⎪-⎝⎭
， 所以()max 20a
g x =，即0a >．
当1x >时，(
)ln 0ln x
f x x a x
a
x
=-⇔恒成立，令()ln x h x x =，则()()21
ln ln x x x h x x -⋅
'==当e x >时，()0h x '>，()h x 递增，当1e x <<时，()0h x '<，()h x 递减， 所以当e x =时，()h x 取得最小值()e e h =. 所以()min e a
h x =.
综上，a 的取值范围是[]0,e ．
2.解析（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3
a
x =. 若a >0，则当(,0)
,3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<．
故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞
⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减；
若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当,
(0,)3a x ⎛
⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<．故()
f x 在,
,(0,)3a ⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减. （2）满足题设条件的a ，b 存在.
（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，
1b =-．
（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为
(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，
b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．
（iii ）当0 =- + ⎪⎝⎭ ，最大值为b 或2a b -+． 若3 127 a b -+=-，b =1，则a =，与0 若3 127