对弧长的曲线积分

可以看成是弧长的
函数 .
A i 1

M i ( i , i )
si

Ai
m

i 1
f ( i , i ) s i
n
m i f ( i , i ) s i
m lim f ( i , i ) si
0
i 1
二. 对弧长的曲线积分的定义和性质
1

f ( x, y ) d s
L

d
f ( x ( y ), y )
c
1 x d y
2
(2) .
y
d
x x( y)
c
O
x
例
计算

x d s , 其中
L
1 ) L 是 y x 上由原点
2
O ( 0 , 0 ) 到点 B ( 1, 1 ) 的一段弧
.
2 ) L 是折线 OAB , 其中 A ( 1, 0 ) .
x y
,
x y
2 2
故
ds
1 y d x
2
y
从而 ,
2
dx
1 | y|
此题可选
y .
dx.
作自变量 请同学课后

| y |d s
L

| y |d s
L AC

| y |d s
L BC
自己完成
.


1
| y|
0
1 | y|
dx

1
| y|
0
1 | y|
d x 2.
四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算


f ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))
x (t ) y (t ) z (t ) d t .
2 2 2
f ( x , y , z ) 定义在曲线
增加方向一致 .
上 ; 弧长的增加方向与自变
量 t的
例
求

ds x y z
2 2 2
, 是螺旋线
由于对弧长的曲线积分 所以 , 总可以认为弧长的增加
与起点、终点的位置无
关 , .
方向与 x 的增加方向一致
将对弧长的曲线积分化
为定积分计算时
, 积分下限
总小于积分上限
.
2 . 设曲线
L 的方程为
x x( y) ,
y [c , d ] ,
且 x ( y ) C ([ c , d ]) , 则
设函数 f ( x , y ) 是定义在 xy 平面上的一条可求长的曲线 LAB
上的有界函数 . 在 L AB 上任取 n 1 个点 :
A A0 A1 Ai 1 Ai An 1 An B ,
将 LAB 分 成 n 个小弧段 Si ( i 1 , 2 , , n) , 每个小弧段的长度
2 2 2 2 L
2
(a 0) .
解
L 的参数方程为
ds
2 2
x a cos t ,
y a sin t , 0 t 2 .
2 2
x y d t
( a sin t ) ( a cos t ) d t a d t .
由于被积函数
f 定义在曲线
2
L上 , 故
y
B ( 1, 1 )
解
1)
L : y x , x [ 0 , 1] , 而
2
ds
故
1 y d x
2
1 4x d x ,
2
2
O
A (1, 0 ) x

xds
L

1
x
0
1 4x d x
1 12
(5 5 1 ) .
2)
L OA AB ,
在 OA 上 : y 0 , d s d x ; 在 AB 上 : x 1 , d s d y ,
五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算
一. 对弧长的曲线积分的物理背景
设有一质量非均匀分布 其密度 的光滑的平面曲线构件 L,
是 L 上点的连续函数
L 的质量 .
: f ( x, y ) ( x, y ) L .
求曲线构件
仿照质量非均匀分布的
直线构件的质量计算方
法:
分割 —— 近似 —— 求和 —— 取极限 .
第三章 多元函数积分学
第 四 节 对弧长的曲线积分
本节教学要求：


正确理解对弧长的曲线积分的概念和物理背景。
熟悉二维空间中对弧长的曲线积分的计算方法。 了解三维空间中对弧长的曲线积分。 正确理解弧长元素的含义。
第四节 对弧长的曲线积分
一. 对弧长的曲线积分的物理背景
二. 对弧长的曲线积分的定义和性质 三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算
3
0

2
sin
0
5
t 2
dt
令 u
t 2
16 a


sin
0
1 1
5
u d u 16 a
3

(1 cos
2
u ) sin u d u
2
令 v cos u
16 a
3

(1 v ) d v
2 2
256 15
a .
3
例

( x y ) d s , 其中 L : x y a
故

xds
L

xds
OA

xds
AB

1 0
xd x

1 0
1d y
3 2
.
例
求

| y | d s , 其中 L 为右半单位圆
L
.
y
B ( 0 , 1)
解
由题意 , L : x y
2
2
1, x 0.
O
C (1, 0 )
x
A ( 0 , 1)
由隐函数求导法
, 得
y
( 0 t 2 ) .
a (1 cos t ) a sin
2 2 2 2
解
ds
x y d t
2 2
tdt
2 a sin 于是
t 2
dt,
3
( 0 t 2 )
2

y d s 2a
2 L

3
(1 cos t ) sin
2
t 2
d t 8a

0
x (t ) y (t ) d t
2 2
(3) .
注意 : 取弧长的增加方向与自
化为定积分后
变量 t 的增加方向一致
.
.
, 积分下限小于积分上限
例
计算

y d s , 其中 L 为摆线
L
2
x a ( t sin t ) , y a (1 cos t )
( a 0 ) 的第一拱
设 L : x x (t ) , y y ( t ) , t [ , ] ,
1
且 x ( t ) , y ( t ) C ([ , ]) ,
则
ds
x (t ) y (t ) d t ,
2 2

f ( x, y ) d s
L


f ( x ( t ), y ( t ))
f ( x, y ) d s — 被积表达式 ； d s — 弧长元素 ( 弧微分) ；
f ( x, y ) — 被积函数； LAB — 积分曲线 .
闭曲线
n
如果积分曲线为一条封
L , 则积分记为

L
f ( x, y ) d s lim f ( i , i ) si .
0
i 1
L1

f ( x, y ) d s .
L
2
f ( x, y ) 1 时 ,

f ( x, y ) d s
L

ds s
L
( s 为曲线
L 的弧长
).
三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算
首先回忆定积分中讲过 的弧微分 ds:
y
y f (x)
dx
d y
dx d y
2
2
ds
2
当弧长的增加方向与自
变量 x 的增加方向一致时
,
ds
1 y d x .
2
1 . 设曲线
L 的方程为
y y(x) ,
x [a , b] ,
且 y ( x ) C ([ a , b ]) , 则
1

f ( x, y ) d s
L

b
f ( x , y ( x ))
a
1 y d x
2
(1 ) .

L AB
f ( x, y ) d s lim f ( i , i ) si .
0
i 1
n
对弧长的曲线积分的记
号
n

LAB
f ( x, y ) d s lim f ( i , i ) si .
0
i 1

— 对弧长的曲线积分号 ；
L AB
定义在曲线
L AB 上
记为 s i , 并记
max { s i } . 若 ( i , i ) S i , 极限
1 i n
0
lim f ( i , i ) si
i 1
n
存在 , 且该极限值与对曲线
L AB 的分法和点
( i , i ) 的取法无关
,
则称该极限值为函数 f ( x, y ) 在曲线 LAB 上对弧长的积分 , 记为
对弧长的曲线积分的性
质
1 . 对弧长的曲线积分值与
曲线的起点、终点位置
无关 :

f ( x, y) d s
L AB

f ( x, y) d s .
L BA
2 . 如果 L ＝ L 1 L 2 , L 1 和 L 2 是光滑曲线
, 则

3. 当
f ( x, y ) d s
L

f ( x, y ) d s
( 0 t 2 ) .
x a cos t ,
y a sin t ,
z b t 的第一圈
解
ds
x (t ) y (t ) z (t ) d t
2 2 2
a b dt,
2 2

ds x y z
2 2 2


0
a b dt
2 2
a b t
2
f ( x, y ) x y
a ,
2
wenku.baidu.com
从而 ,

L
(x y ) d s
2 2
2 0
a a d t 2 a .
2 3
五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算
通常将空间
化为定积分来计算
设 R 中曲线
3
R 中的曲线表示为参数方
.
3
程形式 , 然后
的参数方程为
t [ , ] ,
y
将构件简化为数学中 具有质量的平面曲线 .
O
B
A

b
a
x
y
B A A A A
A n 1
i 1
i 1
点 M i ( i , i ) 的位置
可以由点 弧长来确定
A到M 的 .
f ( M i ) f ( i , i )
O
a
b
n
x
2 2 2 2


(x y z) d s
3 2

(( 3 t ) ( 2 t ) t ) 3 2 1 d t
31 14

1 0
t dt
3
31 4
14 .
: x x (t ) , y y (t ) , z z (t ) ,
且 x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) C ([ , ]) , 则
1
ds
x (t ) y (t ) z (t ) d t ,
2 2 2

f ( x, y, z) d s
2
2 2

a b
2
2
arctan
2 b a
.
ab
例
计算

(x y z) d s ,
3 2
其中 是由点
A ( 3 , 2 , 1) 到原点的直线段
.
解
过原点和点
A 的直线方程为
x 3 y 2 z 1 .
线段 AO 参数方程为
x 3t,
1 0 3
y 2 t , z t , 0 t 1.