离散数学第一章(第3讲)

（ＰΛＱ）→Ｐ为永真式。
(1) 列出真值表证明
P Q Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） （ＰΛＱ）→Ｐ
FF T
T
FT T
T
TF T
T
TT T
T
（2）用等价公式证明 Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ¬Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） （¬Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ T
（ＰΛＱ）→Ｐ ¬（ＰΛＱ）∨Ｐ （¬Ｐ∨¬Ｑ）∨Ｐ （¬Ｐ∨Ｐ）∨¬Ｑ T
《定理》 命题公式ＡＢ的充要条件是Ａ↔Ｂ为永真式。
Λ¬Ｓ）→Ｐ，Ｑ→¬（Ｐ→¬Ｑ）等 所以，一个命题公式的代换实例有无限个。
3.等价置换
《定义》：给定一命题公式Ａ，Ａ’是Ａ的任何部分，若
Ａ’也是一命题公式，则称Ａ’是Ａ的子命题公式。
例：Ａ：（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨（ＲΛ¬Ｓ））
Ａ的子命题公式有： Ｐ、Ｑ、Ｒ、¬Ｓ、（Ｐ∨Ｑ）、（ＲΛ¬Ｓ）、 （Ｑ∨（ＲΛ¬Ｓ））、（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨（ＲΛ¬Ｓ））等。
说明： （1）证明上述１3组等价公式的方法可用真值表法。 （2） Λ、∨、 均满足结合律，则在单一用Λ、∨、
联结词组成的命题公式中，括号可以省去。
2．置换规则
《定义》：给定一命题公式A，其中P1、P2．．．Pn 是A中 的原子命题变元，若 （1）用某些命题公式代换A中的一些原子命题变元Pi （2）用命题公式Bi代换Pi，则必须用Bi代换A中的所有Pi 由此而得到的新的命题公式B称为命题公式A的代换实例。
P
Q
P→Q
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
例：证明 ＰΛ（Ｐ→Ｑ） Ｑ 证明：在命题公式ＰΛ（Ｐ→Ｑ） → Ｑ中，设前件为
证明：
（１）充分性：Ａ↔Ｂ为永真式，即Ａ、Ｂ有相同的真 值，所以ＡＢ。
（２）必要性：ＡＢ，即Ａ、Ｂ有相同的真值表，所 以Ａ↔Ｂ为永真式。
《定理》：设Ａ、Ｂ是二个命题公式,ＡＢ的充分必要
条件是 ＡＢ且Ｂ Ａ。 证明： (1)若ＡＢ，则ＡＢ为一永真式 由定律： （ＡＢ）（Ａ→Ｂ）Λ（Ｂ→Ａ） ∴（Ａ→Ｂ）且（Ｂ→Ａ）也为一永真式 即： Ａ Ｂ且ＢＡ成立 (2)若Ａ Ｂ且Ｂ Ａ，则（Ａ→Ｂ）和（Ｂ→Ａ）为 一永真式. 所以ＡＢ为一永真式，则ＡＢ也成立。
此定理把“”和“ ”之间建立了相应的关系。
下面给出常用的永真蕴含式
I1 ＰＰ∨Ｑ （ＱＰ∨Ｑ） I2 ＰΛＱ Ｐ （ＰΛＱ Ｑ） I3 ＰΛ（Ｐ→Ｑ） Ｑ I4 （Ｐ→Ｑ）Λ¬Ｑ ¬Ｐ I5 ¬ＰΛ（Ｐ∨Ｑ） Ｑ I6 （Ｐ→Ｑ）Λ（Ｑ→Ｒ） （Ｐ→Ｒ） I7 （Ｐ→Ｑ）Λ（Ｒ→Ｓ） （ＰΛＲ→ＱΛＳ） I8 （ＰＱ）Λ（ＱＲ） （ＰＲ） I9 ¬P Ｐ→Ｑ
例：
P
¬P
P∨¬P
P∧¬P
F
T
T
F
T
F
T
F
《定义》：设公式Ａ中有n个不同的原子变元p1,…pn,(n为
正整数)。该变元组的任意一组确定的值（ u1,…un）称为 Ａ关于p1,…pn的一个完全指派，其中ui或为Ｔ，或为Ｆ。
《定义》：如果一个命题公式的所有完全指派均使该公 式取真值，则该公式称为永真式或重言式。如果一个 命题公式的所有完全指派均使该公式取假值，则该公 式称为永假式。既不是永真式，又不是永假式，则称 此命题公式是可满足式。 讨论： 二个永真式的析取、合取、蕴含、等价均为永真式。
§4 等价式与蕴涵式
1．等价公式
《定义》：如果对两个公式Ａ，Ｂ不论作何种指 派，它们真值均相同，则称Ａ，Ｂ是逻辑等价 的.
并记作：ＡＢ
例：可以证明： Ｐ→Ｑ ¬ Q →¬ P 原命题 逆反命题
列出真值表,由真值表得： 原命题逆反命题
P Q P→Q ¬ Q→¬P Ｑ→P ¬Ｐ→¬Ｑ
FF T
T
FT T
ＰΛＱＱΛＰ； ＰＱＱＰ
（5）分配律： ＰΛ（Ｑ∨Ｒ）（ＰΛＱ）∨（ＰΛＲ）； Ｐ∨（ＱΛＲ）（Ｐ∨Ｑ）Λ（Ｐ∨Ｒ） （6）摩根律： ¬（Ｐ∨Ｑ）¬ＰΛ¬Ｑ；
¬（ＰΛＱ）¬Ｐ∨¬Ｑ （7）吸收律： Ｐ∨（ＰΛＱ） Ｐ；
ＰΛ（Ｐ∨Ｑ） Ｐ
（8）蕴含律： Ｐ→Ｑ¬Ｐ∨Ｑ （9）等价律：
ＰＱ（Ｐ→Ｑ）Λ（Ｑ→Ｐ） （10）零 律： Ｐ∨ＴＴ；ＰΛＦＦ （11）同一律： Ｐ∨ＦＰ；ＰΛＴＰ （12）否定律： Ｐ∨¬ＰＴ；ＰΛ¬ＰＦ （13）逆反律： Ｐ→Ｑ ¬Ｑ→ ¬Ｐ
《定理》：给定一命题公式Ａ，Ａ’是Ａ的子公式。 设B’是一命题公式，若Ａ’ B’，并用B’取代Ａ 中的Ａ’，从而生成一新的命题公式B，则ＡB。 从定理可见：一个命题公式A，经多次取代，所 得到的新公式与原公式等价。
例：证明：Ｐ→（Ｑ→Ｒ）Ｐ→（¬Ｑ∨Ｒ）
¬Ｐ∨¬Ｑ∨¬Ｒ
4．命题公式的永真式、永假式和可满足式
§5 重言式与蕴含式
《定义》：当且仅当Ａ→Ｂ是一个永真式，我们称Ａ 永真蕴含Ｂ， 记作：ＡＢ 说明：
(1)“Ａ Ｂ”读作“Ａ永真蕴含Ｂ”，“Ａ蕴含Ｂ” (2)“ ”是关系符，Ａ Ｂ不为命题公式。
例： 证明：Ｐ Ｐ∨Ｑ；
ＰΛＱ P
分析：要证明这两个永真蕴含关系成立，按照永
真蕴含关系的定义，只需要证明 Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）和
I10 Ｑ Ｐ→Ｑ I11 ¬（Ｐ→Ｑ） Ｐ I12 ¬（Ｐ→Ｑ） ¬Ｑ I13 （Ｐ∨Ｑ）Λ（Ｐ→Ｒ）Λ（Ｑ→Ｒ） Ｒ
注：证明上述永真蕴含式的方法为：把“ ”关系符改 为“→”联结词，证明所得的公式为永真式。而证明 永真式又有四种具体方法：
(1)真值表法 (2)等价公式法
（3）假设单条件命题前件为 Ｔ ，若能推导出后件也 一定为Ｔ ，则永真蕴含关系成立。
讨论定义： （1）用命题公式只能代换原子命题变元，而不能
去代换分子命题公式 。 （2）要用命题公式同时代换同一个原子命题变元 。 （3）一个命题公式的代换实例有许多个，但不一
定都等价于原来的命题公式 。
例１．设A：Ｐ→（¬QΛＰ）若用（ＲＳ）代换A中的
Ｐ， 得B：（Ｒ↔Ｓ）→（¬QΛ（ＲＳ））是A的代换实例. 而B’：（Ｒ↔Ｓ）→（¬QΛＰ）不是A的代换实例。 例２．Ｐ→¬Ｑ的代换实例有：（ＲΛ¬Ｓ）→¬Ｍ，（Ｒ
T
TF F
F
TT T
T
T
T
FFTຫໍສະໝຸດ TTT由等价定义可知： ＡＡ 若ＡＢ，则ＢＡ 若ＡＢ，ＢC，则ＡＣ
下面列出13组等价公式 （1）双重否定律 ： ¬¬ＰＰ （2）幂等律： Ｐ∨ＰＰ；ＰΛＰＰ （3）结合律：
（Ｐ∨Ｑ）∨ＲＰ∨（Ｑ∨Ｒ）； （ＰΛＱ）ΛＲＰΛ（ＱΛＲ）； （ＰＱ） ＲＰ （ＱＲ） （4）交换律 ： Ｐ∨ＱＱ∨Ｐ；