非线性广义系统的局部输入-状态稳定性

＝
０ 引 言
在非线 性控 制 系统 的分 析与综 合研 究 中，输 入．
状 态稳 定性 是一 个重要 问题 ．由于输入 一 态稳定 定 状
其 中 Ｖ ≥ ０，Ｖ ∈Ｊｃ Ｒ ，ｆ ｔＵ 是 ｆ ｆ ｕ （，） 的连续 函数 ， 以及 对 满 足局部 Ｌｐ ｃ ｉ ｉｓｈｔ ｚ条件 ，解 ｚｆ存 在 的最 ｆ） （ 大 区问为 ［ ， ） 可取 ＋ ，Ｖ ∈ ｔ， ） ｔＴ（ ｏ ∞） ｔ 【 Ｔ ，有 ｕｔ∈ ｏ （ ） 如 果可微 函数 ｖｔ ，Ｖ ∈ ｔ， ，ｖｔ∈Ｊ，使得 （ ） ｔ ［ ） （ ｏ ）
文章 编号 ： ０ ０５ ６ （０ ２０ －３ ７０ １０ —８ ２２ １）４０ ４ －３
非 线 性 广 义 系统 的局 部 输 入 ． 态 稳 定 性 状
马合保 ，贤 锋
（ 闽江 学 院 数 学 系 ， 建 福 州 ３ ０ ０ ） 福 ５ １８
摘要： 利用 ＬＳ —ｙｐ ｎｖ函数研究非线性广义系统 的局部输入．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱＩＳＬ ａｕｏ 状态稳定性 问题． 根据局部输入－ 状态稳定
性 要求初始状态 和输入在一定 范围 内变化 ，给出非线性广 义系统 的相应定 义，得到非线性广 义系统局部输 入一 状
态 稳定 （Ｉ Ｓ 的 １ ＬＳ ） 个充 分条件 ．
关键词 ：非线性广义系统； 局部输入． 状态稳定性； ＩＳＬ ａｕ ｏ ＬＳ —ｙｐ ｎｖ函数 中图分 类号 ： １ Ｏ２ ３ 文 献标 志码 ： Ａ ｆ（，） ｑ ） ０ ｔＵ ，ｕ ０ ＝“ ，
其 中 （ ． 定义 在 ［，） ［ ，ｏ） 的 舰 类 函数 ． ．） ，是 ０ ａ × ０＋ｏ上
２ 主 要 结 果
１ 预备 知识
考 虑如下 可解 的非线性 广义 系统 引理 １ 对 于标 量微 分方程
ｇｃ ） Ｊｔ＝ｆ（ ） （ ｘ， ，
收稿 日期 ：２ １ —３ １ ０ ２ ０ —０
第 ３ ６卷 第 ４期
２１ ０ ２年 ７月
江 西 师 范 大学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊｕｎｌｆ ｉ ｇｉ ｏｍ ｌ ｎ ｅ ｉ （ ａ ｒ ｃ ｎｅ ｏ ｒ ａ ｘＮ ｒ ａＵ ｉ ｒ ｔ Ｎ ｔ ａＳｉ ｃ） ａｏＪｎ ｖ ｓｙ ｕ ｌ ｅ
Ｖｏ ＿ ６ Ｎ ｏ４ Ｉ３ ． Ｊ ．２ ２ ｕ１ ０１
１，≤ ｆ ｔ （ ） （ ） ｂ ， ＝） ， （ （， ， ，Ｖｔ ≤ ｌ ） ｏ ０ 则 ｖｆ≤ “ｆ，ｔ 【 ，） （ ） （ ） ∈ｔ ｒ ． ０ 设 连 续 函数 ｒｔ： ，） ［ ， ） ａ可 取 ＋ ） （ 【 ａ ０ （ ）０ ∞ ，
性在 实 际 系统 中 的重要 应用 ，自 ２ ０世 纪 ８ 年代 ０
ＥＤ．ｏ ｔｇ提出了这种稳定性概念 以来一 直就受 到人 ． Ｓ ｎａ
们 的重 视并取 得 了丰富的研究 成果 ．文献 ［］提 出 了 １
局部输 入． 态稳定 性概念 ，区别于全 局输入 ． 态稳 状 状
如果 它 严 格 递 增 且 ｒｏ ＝ （） ０，则 称 函数 Ｙ为 类 函 数 ；设 连 续 函数 ｆ ｓ ｔ： × ０ ＋ ） ［ ，。 （ ｌ ， ［ ） ［ ，∞ ０ ＋。 ａ （ ） ０， ） 可取 ＋ｏ ， 。 ） 若对 于 固定 的 ｔ ，函数 （ ｆ是 类 函数 ； ・） ， 对 于固定 的 ，函数 ｆ ｓ － ｌ ， 严格递减且 ｌ （ ， ＝０ （ ） ｉ ｆｓｆ ， ｍｌ ）
ｌ — ａ０
定性 中初 始状态 和输 入可 以任 意大 ， 部输 入． 态 局 状
稳定性要求初 始状态和输人在 一定范 围内变 化．由于
多数 实际 系统不 是全 局输 人一 状态 稳定 的，因而局 部
输入 一 状态稳定 性 的重 要性 和应 用性 是显然 的【 ２ ．在
实际 问题 中有 着广泛应用 的广 义系统，由于其结 构复
向量，Ｅ∈Ｒ 且 ｄｔ ｅＥ＝０ ，ｆ Ｏ ０ ＝ （，） ０．
Ｖ ｅ （）≤ Ｖ Ｅ （）一 ｓ （ ｘｓ） （ ｘＯ） Ｏ ≤ （ 一０ ， 白） ｓ 所 以 当 Ｓ ０变 化 到 （ ２毛） ７／ 由 （ ～， ０时， （ （ ） ） 减 ）
少 到 ｒ １ ．
可解 性 保证 对任 意分 段 连续输 入 ｌｆ 和任 意给 ，） （ 定 的初始 值 Ｅ （） ｘＯ ，系统（） 且 只有 １个 无脉 冲解 １ 有
引理 ２ 对 于标 量 自治微 分方 程
＝ 一
（） ｙｔ ：Ｙ ， ， （ ） ｏ ｏ
其 中 是在 ［，） 满足局 部 Ｌｐ ｃ ｉ Ｏａ 上 ｉｓｈｔ ｚ条件 的 Ｋ类 函数 ，则 Ｖ ０ ［，） ｙ ∈ ０ａ ，该 方 程 存 在 唯一 解 ｙ ｔ，ｔ （ ） ∈
［ ，∞ ，且 ｔ＋ ） ０ ．ｆ＝ｃ ｙ ，— ｏ ， ｙ ） ｒ ｏｔ ｔ （ （ ）
则称 函数 （， 为 Ｋ ・） ． Ｌ类 函数 ．
杂，与正 常系统相 比，广义线性 的理论体 系 已初 步形 成 ， 非线性 广 义系统 有许 多问题 尚待研 究［ 】 但 ． 墙
本 文 研究 非 线 性 广 义 系统 的局 部 输 入 ． 态稳 状 定性 问题 ．局部 输入 ． 态稳 定性要 求初 始状态 和输 状 入 在一 定 范 围内变 化 ，类似 于 正常 非线 性 系统 的局 部输 入． 状态 稳定 性概念 ，给 出非线 性广 义系统 的相 应定 义，基 ：Ｌ Ｓ —ｙ ｐ ｎ ｖ ］ Ｉ ＳＬ ａｕ ｏ 函数得 到非 线性 广义 系 Ｚ 统局 部输 入一 态稳 定 的 １ 状 个充 分条 件．
作者 简介 ：马合 保（９ ３ ，男，河南 安 阳人 ，副教授 ， 士，主要从 事广 义系统 控制 理论 的研究 １６ ． ） 硕
３８ ４
江 西 师 范 大 学学 报 （ 自然科 学 版 ）
２１ ０ ２年
其 中 ｆ∈ ｕｔ∈Ｒ （ Ｒ 与 （ ） ） 分 别是 系统 的状 态 和输入