整系数多项式的因式分解问题

整系数多项式的因式分解问题

摘要：多项式理论是高等代数与解析几何的重要内容，是进一步学习代数学及其他数学分支的必要基础。多项式理论是整个高等代数与解析几何课程中一个相对独立而自成体系的部分，它不以高等代数与解析几何的其他章节的内容为基础，但却为高等代数与解析几何的其他部分提供理论依据。本文主要讨论整系数多项式的基本概念与性质，多项式的根及其值，和在有理数域上的因式分解问题。

关键词：多项式；因式分解；Eisenstein 判断法；多项式的根；有理数域。

引言：在Q 上讨论多项式的因式分解问题，我们已经论证了在有理数域Q 上和在整数环Z 上其可约性是一致的，即在整数环Z 上若

)()()(x h x g x f = （1）

当然可以看成有理数域Q 上的多项式分解结果。反过来，（1）式中)(x f 为整系数多项式，而

)()(x h x g 、是有理数域Q 上的多项式，那么通过)()(x h x g 、的系数处理可以使其成为整系数多项

式)()(11x h x g 、，满足

)

()()(11x h x g x f =，

因此在Q 上讨论因式分解问题往往给出的只是整数环Z 上的多项式。

一.Eisenstein 判断法的研究

此处介绍判断整系数多项式可约性的如下方法：

定理1.1 设

0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--

是一个整系数多项式，若是能够找到一个素数p 。使

1）最高次项系数n a 不能被p 整除； 2）其余各项的系数都能被p 整除； 3）常数项0a 不能2p 整除， 那么多项式)(x f 在有理数域不可约。

这一方法叫做Eisenstein 判断法。在判断一些多项式可约性及诸如无理数判断有其直接作用。

例1. 存在有理数域上的任意次不可约多项式。 事实上，下列整系数多项式

2)(-=n x x f

不论其n 取任意正整数，都存在素数p=2满足Eisenstein 判断法的条件。

例2. 证明2是无理数。 （2）

上述（2）中取n=2，若2是有理数，则2x 2

-在Q 上可约，与Eisenstein 判断结果矛盾。

由此，我们可以判断以下数均为无理数

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅

⋅⋅⨯⨯⨯⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅,732,532,72,52,32,732,532,72,

52,

32,7,5,3,2,7,5,3,2,7,5,3,

233

3334444

3333

一般地，n

21t p p p ⋅⋅⋅(其中t p p p ,,,21⋅⋅⋅为互不相同的素数）均为无理数。事实上

t n p p p x x f ⋅⋅⋅-=21)(

由Eisenstein 判断法可知不可约，若n 21t p p p ⋅⋅⋅为无理数，则多项式可约，矛盾。 Eisenstein 判别法为我们判断一个多项式是否不可约提供一种手段，但它并非是多项式不可约的必要条，事实上可以用Eisenstein 判断法判断其不可约的多项式并不是很多，经行适当研究可以进一步发挥Eisenstein 判断法的作用。

关于变换的问题

例3. 设p 为一素数，多项式

1)(21++⋅⋅⋅++=--x x x x f p p

叫做分圆多项式，试证明)(x f 在有理数域上不可约。

直接用Eisenstein 判断法难以找到一个素数，而令1+=y x

，那么

1)1()1()1()()1()(21+++⋅⋅⋅++++==+=--y y y y g y f x f p p

由于

1)()1(-=-p x x f x

即

y C y C y C y y y yg p p p p p p p p 1

22111)1()(---+⋅⋅⋅+++=-+=

于是得到

1

211

)(---+⋅⋅⋅++=p p p p p C y

C y y g （3） 因为

!

)

1()1(k k p p p C k p +-⋅⋅⋅-=

，p k <≤1

是一个整数，均能被p 整除，事实上，上式右端分子能被!k 整除，p k <，!k 与p 互素，因此

1)k -(p 1)-(p |!+⋅⋅⋅k

所以k

p C 是p 的倍数。这样，多项式（3）可以找到一个素数p ，p 不能整除（3）的最高次项的系数，可以整除（3）的其余系数，但常数项p C p p =-1

不能被2p 整除，从而（3）在有理数域上不可约，

那么

)(x f 在有理数域上也不可约，因为如果在[]x Q 中存在)()(21x f x f 、使

)()()(21x f x f x f = ，

那么

根据这个例子我们考虑以下两个问题：

1）)(x f 在有理数域上的可约性与)()(b y f y g +=或者)()(b ay f y g +=在有理数域上的可约性是否一致？

2）当)(x f 无法用Eisenstein 判断法判断其可约性时是否一定可以通过某种变换后可以使用Eisenstein 判断法进行判断？

我们先来看如下问题。

定理1.2 在有理数域上多项式)(x f 与)()(b ay f y g +=可约性相同。

证明 设)(x f 在有理数域上不可约，但)(x g 在有理数域上可约，且设

)()()()(21x g x g b ax f x g =+=

其中 2,1,)()(0

=∂<∂i x g x g i

令a

b

y a x -=

1，则 )1()1()1(

)(21a

b

y a g a b y a g a b y a g y f --=-=， 说明)(x f 在有理数域上可约，矛盾。

反过来，)()(b ay f y g +=在有理数域上不可约，但)(x f 可约，且设