囚徒困境从单次博弈到重复博弈
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１４ 商业时代 （ 原名 《 商业经济研究》） ２００９年２期
单次博弈中的“囚徒困境”
经典的“囚徒困境”博弈单次博弈，反 映了集体理性和个人理性的矛盾。假定每 个参与者（即“囚徒”）都是利己的，即都 寻求最大自身利益，而不关心另一参与者 的利益。参与者某一策略所得利益，如果 在任何情况下都比其他策略要低的话，此 策略称为“严格劣势”，理性的参与者绝不 会选择。另外，没有任何其他力量干预个 人决策，参与者可完全按照自己意愿选择 策略。
假设二人均为理性的个人，且只追求 自己个人利益，二人到底应该选择哪一项 策略，才能将自己个人的刑期缩至最短？ 由于隔绝监禁，信息不明，二人并不知道 对方选择；而即使他们能交谈，还是未必 能够尽信对方不会反口。就个人的理性选 择而言，检举背叛对方所得刑期，总比不 坦白要来得低。试设想困境中两名理性囚 徒会如何作出选择：
类似的，如果 ｐ、ｑ ≥ ０．１４，理性囚徒 将 ｔ＝１ 到 Ｔ－１ 阶段选择 Ｄ，在 ｔ＝Ｔ 时阶段选 择 Ｃ，非理性囚徒将自始至终选择 Ｄ。
如果这个博弈是无限期的，那么两个 囚徒都将永远选择 Ｄ，当然对于囚徒博弈 来说不可能无限期的进行。
结论
在现实生活中也存在有多种冲突问题 的模拟，如核裁军、工资谈判、传染病预 防、企业广告投入等，特别是经济活动中， 参加对策的各方利益并不是完全截然相反， 而是由某种共同的利益联结在一起，形成 既有对抗又有合作的复杂局面。比如两家 公司组成的卡特尔，在短期内，他们就不 会采取欺诈行为，而会共同规定一个价格， 为争夺市场的份额此时博弈的双方只要他 们相信今后还需要合作就一定会在第一次 博弈的基础上达成新的协议，结成行业联 盟。但它们就有可能定高价，使整个行业 利润最大，此时由于行业的高利润和高发 展前景，必然会不断出现新产品，必然会 有新的生产者进入市场。由于联盟内部成 员之间总是互不信任，暗中互相欺骗，就 导致联盟的短命使得该博弈过程不可能无 限期的重复进行下去。由于政府的介入，如 反不正当竞争和欺诈行为等，使得博弈的 双方又重新开始下一轮的博弈。
囚 徒困境是博弈论中非零和博弈的 代表性的例子，反映个人最佳选 择并非团体最佳选择。虽然困境 本身只属模型性质，但现实中囚徒困境的 例子屡见不鲜。
“囚徒困境”博弈是博弈论中的经典案 例。这个故事讲的是两个嫌疑犯 Ａ 和 Ｂ，作 案后被警察抓住，被分别关在不同的审讯 室。警察为了得到所需的口供，告诉每个 人：如果两人都不坦白，每人以妨碍公务 罪各被判刑三年；如果两人都坦白，各判 刑十年；如果两人中一人坦白、另一人不 坦白，则坦白的人判刑两年、不坦白的人 判刑十二年。在这个博弈中，每个嫌疑犯 都有两种可选择的战略：坦白或不坦白。显 然每个囚徒的最优战略都是坦白。这是因 为假定 Ａ 选择坦白的话、Ｂ 最好也选择坦 白，因 Ｂ 坦白判刑十年，而不坦白却要判 刑十二年；假定 Ａ 选择不坦白的话，Ｂ 最好 还是选择坦白，因为 Ｂ 坦白的话就判刑二 年，而不坦白却要被判刑三年。即是说，不 管 Ａ 坦白或不坦白，Ｂ 的最优选择都是坦 白。反过来，同样地，不管 Ｂ 是坦白还是不 坦白，Ａ 的最优选择也是坦白。结果，两个 人都选择了坦白，各判刑十年。
首先讨论博弈只重复两次的情况：在 ｔ＝１ 阶段，非理性一方会选择 Ｄ。在 ｔ＝２ 阶 段，理性囚徒选择 Ｃ，而理性囚徒在 ｔ＝１ 阶 段的选择将是非理性囚徒在 ｔ＝２ 阶段的选 择，如表 ２。
如果选择 Ｘ＝Ｄ，Ｙ＝Ｄ， 理性囚徒 １ 的期望支付是：－３＋［ｑ＊（－ ２）＋（１－ｑ）＊（－１０）］＝８ｑ－１３； 理性囚徒 ２ 的期望支付是：－３＋［ｐ＊（－ ２）＋（１－ｐ）＊（－１０）］＝８ｐ－１３ ．．．．．． 所以囚徒 １ 和囚徒 ２ 对应于 Ｘ，Ｙ 的选 择期望支付矩阵为 ８ｑ－２０ ≥ １７ｑ－２２ 且 －１２ ≥ ８ｑ－１３ 由此得出：ｐ ≤ １／８ 且 ｑ ≤ ２／９ 再推得： 当ｑ≤１／８时，Ｘ＝Ｃ；当ｑ≥２／９时，Ｘ＝Ｃ。 同理可得：当 ｐ ≤ １／８ 时，Ｙ＝Ｃ；当 ｐ ≥ ２／９ 时，Ｙ＝Ｃ，如表 ３。 就是说如果理性囚徒 １（２）认为囚徒 ２ （１）属于非理性的概率不大于 １／８，他将在 第一阶段选择坦白，如果不小于 ２／９，则选 择不坦白。 其次讨论理性囚徒认为他的同伙属于 非理性的概率在 １／８ 和 ２／９ 之间时，他将如 何选择。 假设囚徒 １ 和囚徒 ２ 都是风险中性者。 当理性囚徒一方认为另一方属于非理 性的概率 ｐ（ｑ）≥ ａ 时，他将在第一阶段选择 不坦白。在每个囚徒都没有暴露自己是理 性的还是非理性的之前，理性囚徒选择不 坦白的概率为 １－ａ，选择坦白的概率为 ａ。 若满足： ａ＊（８ｑ－２０）＋（１－ａ）＊（－１２）≥ ａ＊（１７ｑ－ ２２）＋（１－ａ）＊（８ｑ－１３） 则 ｑ ≤（ａ＋１）／ （８＋ａ）。 令 ａ＝（ａ＋１）／（８＋ａ），则 ａ＝０．１４。 所以，当一名理性囚徒认为同伙属于 非理性的概率 ｑ ≥ ０．１４ 时，他将在第一阶 段选择不坦白，在第二阶段选择坦白。重 复三次的博弈均衡如表 ４。 当博弈重复 ４ 次的情况如下： 在 ｔ＝１ 阶段，类似于前面的讨论，囚徒 １ 和囚徒 ２ 都将选择 Ｄ，那么他们都没有暴 露自己是理性的还是非理性的，那么在 ｔ＝２，３，４ 阶段的博弈和前面讨论的 ３ 次重 复博弈的情况是一致的。 ∴ ｐ， ｑ ≥ ０．１４ 时，重复 ４ 次的博弈的 均衡，如表 ５。 当博弈重复 ｎ（Ｔ＝ｎ）次的情况：
（一）重复性囚徒困境博弈的理论 研究
在“重复性囚徒困境”研究方面，最有
囚徒 １
坦白 不坦白
表１
囚徒 ２
坦白
不坦白
（－１０，－１０）
（－２，－１２）
（－１２，－２）
（－３，－３）
表２
概率
类型
ｔ＝１
ｔ＝２
ｐ
非理性
Ｄ
Ｙ
囚徒 １
１Βιβλιοθήκη Baiduｐ
理性
Ｘ
Ｃ
ｑ
非理性
Ｄ
Ｘ
囚徒 ２
１－ｑ
理性
Ｙ
Ｃ
表３
Ｙ
Ｃ
Ｄ
Ｘ
Ｃ （８ｑ－２０，８ｐ－２０） （－１２，１７ｐ－２２）
谢林仔细考察了博弈者相互之间的信 息沟通程度与博弈结果的相应关系，探讨 “协同博弈”（ｃｏ－ｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ｇａｍｅｓ）形成 的条件。谢林对非零和模型的研究，表明 最大化个人功利的企图并不像在零和博弈 中那样等于最小化人的功利。
（二）重复性囚徒困境模型研究 如果重复囚徒困境将被精确地重复 Ｎ 次，已知 Ｎ 是一个常数，那么会产生另一 个事实：纳什均衡就是每次都背叛。用归 纳法证明：你也可以在最后的回合背叛，既 然你的对手将没有机会惩罚你。因此，你 们都将在最后的回合背叛。这时，你可以 在倒数第二回合中背叛，既然最后一回无 论你做什么，你的对手都将背叛。依此类 推。为了达到合作的目的，对两个参与者 来说未来必须是不确定的。给出一个数据 模型。假设囚徒困境的策略矩阵如表 １。 我们假设囚徒的支付是阶段博弈支付 贴现之和，并假定贴现因子等于 １。若双方 均为非理性的，那么他们每阶段都会选择 不坦白。在不完全信息情况下，假设囚徒 １ 有两种类型，理性的和非理性的，概率分 别为 １－ｐ 和 ｐ，假设囚徒 ２ 也有两种类型， 理性的或非理性的，概率分别为 １－ｑ 和 ｑ， 为了叙述方便，用 Ｃ 代表“坦白（背叛）” （ Ｃ ｏ ｎ ｆ ｅ ｓ ｓ ） ，Ｄ 代表“不坦白（合作）” （Ｄｅｎｙ）。
艾克斯罗德的结论，肯定了纯由利己 主义者组成的世界中，建立互惠合作关系 的可能性。这一结论对于人类社会的意义 在于，即使在缺少政府权威的人群中，人 们合作或建立社会秩序也是可能的，因为 合作本身符合当事人长远的、根本的利益。 合作产生的条件就是：“人们重新相遇的机 会足够大”，即“合作是基于互利互惠的基 础；而且未来的影响十分重要，它足以保 证目前的互利互惠关系的稳定”。
刑 ２ 年的情况较佳。 假设一方是非理性的，另一方是理性
的，即博弈双方均不知道对方是不是理性 的，非理性一方（理解为讲义气重信誉的人 或担心坦白会受到出狱后的报复），假设他 只有一种策略，如果博弈是重复的，在第 一阶段，他必然选择不坦白，在以后阶段 他将选择同伙前一阶段的选择，即你不坦 白我就不坦白，你坦白我就坦白。而另一 方是理性的，他不管对方是否理性的，他 都将选择坦白。所以这次博弈的均衡是（不 坦白，坦白）。
对一次性囚徒困境博弈来说，无论对 手的行动可能是什么，最佳策略是简单地 背叛；但是在重复的囚徒困境博弈中，博 弈被反复地进行，参与者最佳策略依赖于 对手可能的策略，和他们怎样对背叛和合 作作出反应。因而每个参与者都有机会去 “惩罚”另一个参与者前一回合的不合作行 为。这时，合作可能会作为均衡的结果出 现。欺骗的动机这时可能被受到惩罚的威 胁所克服，从而可能导向一个较好的、合 作的结果。作为反复接近无限的数量，纳 什均衡趋向于帕累托最优。
假设双方均为非理性的，那么他们不 管同伙如何选择，他们都将选择不坦白，则 博弈的均衡是（不坦白，不坦白）。
重复博弈中的“囚徒困境”
重复博弈中的“囚徒困境”，是指相同 的博弈者会不断重逢，即不断重复面对相 似的囚徒困境的选择条件。重复为博弈产 生了新的动力结构。在重复性囚徒困境下， 理性博弈者将考虑，如果我拒绝合作，不 断背叛，为了减少你的损失你也背叛。通 过重复，博弈者可按对手以往选择而决定 当前选择。背叛有可能遭到惩罚，合作有 可能获得收益。
参考文献：
１． 张维迎． 博弈论与信息经济学［Ｍ］． 上海人民出版社，１ ９ ９ ６
２ ． 高鸿桢． 管理运筹学［ Ｍ ］ ．江西人民 出版社，１ ９ ９ ７
３ ． 胡运权，郭耀煌． 运筹学教程［ Ｍ ］ ． 清华大学出版社，１ ９ ９ ８
全国贸易经济类核心期刊 １５
Ｄ
（１７ｑ－２２，－１２） （８ｑ－１３，８ｐ－１３）
表４
类型
ｔ＝１
ｔ＝２
ｔ＝３
非理性
Ｄ
囚徒 １，２ 理性
Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｃ
表５
类型 ｔ＝１ ｔ＝２ ｔ＝３ ｔ＝４
囚徒 １，２ 非理性 Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｄ
理性
Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｃ
成就者当推罗伯特·艾克斯罗德、泰勒、哈 丁等人。在其《合作的进化》一书中，艾克 斯罗德用实验证明，在重复博弈条件下，一 次性囚徒困境下背叛的占优策略将会为有 条件合作的占优策略所取代，换言之，在 一次性囚徒困境中，选择不合作策略的博 弈者，在“重复性囚徒困境”中，将会采取 合作策略以最大化个人利益、即“有条件 合作”策略将是重复性囚徒困境下博弈者 的占优策略。
若对方不坦白、不背叛会让我获释，所 以会选择背叛；若对方背叛指控我，我也 要指控对方才能得到较低的刑期，所以也 是会选择背叛。二人面对的情况一样，所 以二人的理性思考都会得出相同的结论 － 选择背叛。背叛是两种策略之中的支配性 策略。因此，这场博弈中唯一可能达到的 纳什均衡就是（坦白，坦白）。
这场博弈的纳什均衡，显然不是顾 及团体利益的帕累托最优解决方案。以 全体利益而言，如果两个参与者都合作 保持不坦白，两人都只会被判刑 ３ 年，总 体利益更高，结果也比两人背叛对方、判
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囚徒困境 从单次博弈到重复博弈
■ 杨 懋１ 祁守成２（１、兰州工业高等专科学校管理工程系 兰州 ７３００５０ ２、西北师范大学财务处 兰州 ７３００７０）
◆ 中图分类号：Ｆ２２４．３２ 文献标识码：Ａ
内容摘要：本文从博弈论中的经典案 例“囚徒困境”入手，阐述了单次博弈 与重复博弈中的囚徒困境现象。随后 论证了囚徒困境在单次博弈与重复博 弈中的均衡区别，说明了在重复博弈 条件下合作产生的可能性。 关键词：囚徒困境 单次博弈 重复博 弈 合作
单次博弈中的“囚徒困境”
经典的“囚徒困境”博弈单次博弈，反 映了集体理性和个人理性的矛盾。假定每 个参与者（即“囚徒”）都是利己的，即都 寻求最大自身利益，而不关心另一参与者 的利益。参与者某一策略所得利益，如果 在任何情况下都比其他策略要低的话，此 策略称为“严格劣势”，理性的参与者绝不 会选择。另外，没有任何其他力量干预个 人决策，参与者可完全按照自己意愿选择 策略。
假设二人均为理性的个人，且只追求 自己个人利益，二人到底应该选择哪一项 策略，才能将自己个人的刑期缩至最短？ 由于隔绝监禁，信息不明，二人并不知道 对方选择；而即使他们能交谈，还是未必 能够尽信对方不会反口。就个人的理性选 择而言，检举背叛对方所得刑期，总比不 坦白要来得低。试设想困境中两名理性囚 徒会如何作出选择：
类似的，如果 ｐ、ｑ ≥ ０．１４，理性囚徒 将 ｔ＝１ 到 Ｔ－１ 阶段选择 Ｄ，在 ｔ＝Ｔ 时阶段选 择 Ｃ，非理性囚徒将自始至终选择 Ｄ。
如果这个博弈是无限期的，那么两个 囚徒都将永远选择 Ｄ，当然对于囚徒博弈 来说不可能无限期的进行。
结论
在现实生活中也存在有多种冲突问题 的模拟，如核裁军、工资谈判、传染病预 防、企业广告投入等，特别是经济活动中， 参加对策的各方利益并不是完全截然相反， 而是由某种共同的利益联结在一起，形成 既有对抗又有合作的复杂局面。比如两家 公司组成的卡特尔，在短期内，他们就不 会采取欺诈行为，而会共同规定一个价格， 为争夺市场的份额此时博弈的双方只要他 们相信今后还需要合作就一定会在第一次 博弈的基础上达成新的协议，结成行业联 盟。但它们就有可能定高价，使整个行业 利润最大，此时由于行业的高利润和高发 展前景，必然会不断出现新产品，必然会 有新的生产者进入市场。由于联盟内部成 员之间总是互不信任，暗中互相欺骗，就 导致联盟的短命使得该博弈过程不可能无 限期的重复进行下去。由于政府的介入，如 反不正当竞争和欺诈行为等，使得博弈的 双方又重新开始下一轮的博弈。
囚 徒困境是博弈论中非零和博弈的 代表性的例子，反映个人最佳选 择并非团体最佳选择。虽然困境 本身只属模型性质，但现实中囚徒困境的 例子屡见不鲜。
“囚徒困境”博弈是博弈论中的经典案 例。这个故事讲的是两个嫌疑犯 Ａ 和 Ｂ，作 案后被警察抓住，被分别关在不同的审讯 室。警察为了得到所需的口供，告诉每个 人：如果两人都不坦白，每人以妨碍公务 罪各被判刑三年；如果两人都坦白，各判 刑十年；如果两人中一人坦白、另一人不 坦白，则坦白的人判刑两年、不坦白的人 判刑十二年。在这个博弈中，每个嫌疑犯 都有两种可选择的战略：坦白或不坦白。显 然每个囚徒的最优战略都是坦白。这是因 为假定 Ａ 选择坦白的话、Ｂ 最好也选择坦 白，因 Ｂ 坦白判刑十年，而不坦白却要判 刑十二年；假定 Ａ 选择不坦白的话，Ｂ 最好 还是选择坦白，因为 Ｂ 坦白的话就判刑二 年，而不坦白却要被判刑三年。即是说，不 管 Ａ 坦白或不坦白，Ｂ 的最优选择都是坦 白。反过来，同样地，不管 Ｂ 是坦白还是不 坦白，Ａ 的最优选择也是坦白。结果，两个 人都选择了坦白，各判刑十年。
首先讨论博弈只重复两次的情况：在 ｔ＝１ 阶段，非理性一方会选择 Ｄ。在 ｔ＝２ 阶 段，理性囚徒选择 Ｃ，而理性囚徒在 ｔ＝１ 阶 段的选择将是非理性囚徒在 ｔ＝２ 阶段的选 择，如表 ２。
如果选择 Ｘ＝Ｄ，Ｙ＝Ｄ， 理性囚徒 １ 的期望支付是：－３＋［ｑ＊（－ ２）＋（１－ｑ）＊（－１０）］＝８ｑ－１３； 理性囚徒 ２ 的期望支付是：－３＋［ｐ＊（－ ２）＋（１－ｐ）＊（－１０）］＝８ｐ－１３ ．．．．．． 所以囚徒 １ 和囚徒 ２ 对应于 Ｘ，Ｙ 的选 择期望支付矩阵为 ８ｑ－２０ ≥ １７ｑ－２２ 且 －１２ ≥ ８ｑ－１３ 由此得出：ｐ ≤ １／８ 且 ｑ ≤ ２／９ 再推得： 当ｑ≤１／８时，Ｘ＝Ｃ；当ｑ≥２／９时，Ｘ＝Ｃ。 同理可得：当 ｐ ≤ １／８ 时，Ｙ＝Ｃ；当 ｐ ≥ ２／９ 时，Ｙ＝Ｃ，如表 ３。 就是说如果理性囚徒 １（２）认为囚徒 ２ （１）属于非理性的概率不大于 １／８，他将在 第一阶段选择坦白，如果不小于 ２／９，则选 择不坦白。 其次讨论理性囚徒认为他的同伙属于 非理性的概率在 １／８ 和 ２／９ 之间时，他将如 何选择。 假设囚徒 １ 和囚徒 ２ 都是风险中性者。 当理性囚徒一方认为另一方属于非理 性的概率 ｐ（ｑ）≥ ａ 时，他将在第一阶段选择 不坦白。在每个囚徒都没有暴露自己是理 性的还是非理性的之前，理性囚徒选择不 坦白的概率为 １－ａ，选择坦白的概率为 ａ。 若满足： ａ＊（８ｑ－２０）＋（１－ａ）＊（－１２）≥ ａ＊（１７ｑ－ ２２）＋（１－ａ）＊（８ｑ－１３） 则 ｑ ≤（ａ＋１）／ （８＋ａ）。 令 ａ＝（ａ＋１）／（８＋ａ），则 ａ＝０．１４。 所以，当一名理性囚徒认为同伙属于 非理性的概率 ｑ ≥ ０．１４ 时，他将在第一阶 段选择不坦白，在第二阶段选择坦白。重 复三次的博弈均衡如表 ４。 当博弈重复 ４ 次的情况如下： 在 ｔ＝１ 阶段，类似于前面的讨论，囚徒 １ 和囚徒 ２ 都将选择 Ｄ，那么他们都没有暴 露自己是理性的还是非理性的，那么在 ｔ＝２，３，４ 阶段的博弈和前面讨论的 ３ 次重 复博弈的情况是一致的。 ∴ ｐ， ｑ ≥ ０．１４ 时，重复 ４ 次的博弈的 均衡，如表 ５。 当博弈重复 ｎ（Ｔ＝ｎ）次的情况：
（一）重复性囚徒困境博弈的理论 研究
在“重复性囚徒困境”研究方面，最有
囚徒 １
坦白 不坦白
表１
囚徒 ２
坦白
不坦白
（－１０，－１０）
（－２，－１２）
（－１２，－２）
（－３，－３）
表２
概率
类型
ｔ＝１
ｔ＝２
ｐ
非理性
Ｄ
Ｙ
囚徒 １
１Βιβλιοθήκη Baiduｐ
理性
Ｘ
Ｃ
ｑ
非理性
Ｄ
Ｘ
囚徒 ２
１－ｑ
理性
Ｙ
Ｃ
表３
Ｙ
Ｃ
Ｄ
Ｘ
Ｃ （８ｑ－２０，８ｐ－２０） （－１２，１７ｐ－２２）
谢林仔细考察了博弈者相互之间的信 息沟通程度与博弈结果的相应关系，探讨 “协同博弈”（ｃｏ－ｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ｇａｍｅｓ）形成 的条件。谢林对非零和模型的研究，表明 最大化个人功利的企图并不像在零和博弈 中那样等于最小化人的功利。
（二）重复性囚徒困境模型研究 如果重复囚徒困境将被精确地重复 Ｎ 次，已知 Ｎ 是一个常数，那么会产生另一 个事实：纳什均衡就是每次都背叛。用归 纳法证明：你也可以在最后的回合背叛，既 然你的对手将没有机会惩罚你。因此，你 们都将在最后的回合背叛。这时，你可以 在倒数第二回合中背叛，既然最后一回无 论你做什么，你的对手都将背叛。依此类 推。为了达到合作的目的，对两个参与者 来说未来必须是不确定的。给出一个数据 模型。假设囚徒困境的策略矩阵如表 １。 我们假设囚徒的支付是阶段博弈支付 贴现之和，并假定贴现因子等于 １。若双方 均为非理性的，那么他们每阶段都会选择 不坦白。在不完全信息情况下，假设囚徒 １ 有两种类型，理性的和非理性的，概率分 别为 １－ｐ 和 ｐ，假设囚徒 ２ 也有两种类型， 理性的或非理性的，概率分别为 １－ｑ 和 ｑ， 为了叙述方便，用 Ｃ 代表“坦白（背叛）” （ Ｃ ｏ ｎ ｆ ｅ ｓ ｓ ） ，Ｄ 代表“不坦白（合作）” （Ｄｅｎｙ）。
艾克斯罗德的结论，肯定了纯由利己 主义者组成的世界中，建立互惠合作关系 的可能性。这一结论对于人类社会的意义 在于，即使在缺少政府权威的人群中，人 们合作或建立社会秩序也是可能的，因为 合作本身符合当事人长远的、根本的利益。 合作产生的条件就是：“人们重新相遇的机 会足够大”，即“合作是基于互利互惠的基 础；而且未来的影响十分重要，它足以保 证目前的互利互惠关系的稳定”。
刑 ２ 年的情况较佳。 假设一方是非理性的，另一方是理性
的，即博弈双方均不知道对方是不是理性 的，非理性一方（理解为讲义气重信誉的人 或担心坦白会受到出狱后的报复），假设他 只有一种策略，如果博弈是重复的，在第 一阶段，他必然选择不坦白，在以后阶段 他将选择同伙前一阶段的选择，即你不坦 白我就不坦白，你坦白我就坦白。而另一 方是理性的，他不管对方是否理性的，他 都将选择坦白。所以这次博弈的均衡是（不 坦白，坦白）。
对一次性囚徒困境博弈来说，无论对 手的行动可能是什么，最佳策略是简单地 背叛；但是在重复的囚徒困境博弈中，博 弈被反复地进行，参与者最佳策略依赖于 对手可能的策略，和他们怎样对背叛和合 作作出反应。因而每个参与者都有机会去 “惩罚”另一个参与者前一回合的不合作行 为。这时，合作可能会作为均衡的结果出 现。欺骗的动机这时可能被受到惩罚的威 胁所克服，从而可能导向一个较好的、合 作的结果。作为反复接近无限的数量，纳 什均衡趋向于帕累托最优。
假设双方均为非理性的，那么他们不 管同伙如何选择，他们都将选择不坦白，则 博弈的均衡是（不坦白，不坦白）。
重复博弈中的“囚徒困境”
重复博弈中的“囚徒困境”，是指相同 的博弈者会不断重逢，即不断重复面对相 似的囚徒困境的选择条件。重复为博弈产 生了新的动力结构。在重复性囚徒困境下， 理性博弈者将考虑，如果我拒绝合作，不 断背叛，为了减少你的损失你也背叛。通 过重复，博弈者可按对手以往选择而决定 当前选择。背叛有可能遭到惩罚，合作有 可能获得收益。
参考文献：
１． 张维迎． 博弈论与信息经济学［Ｍ］． 上海人民出版社，１ ９ ９ ６
２ ． 高鸿桢． 管理运筹学［ Ｍ ］ ．江西人民 出版社，１ ９ ９ ７
３ ． 胡运权，郭耀煌． 运筹学教程［ Ｍ ］ ． 清华大学出版社，１ ９ ９ ８
全国贸易经济类核心期刊 １５
Ｄ
（１７ｑ－２２，－１２） （８ｑ－１３，８ｐ－１３）
表４
类型
ｔ＝１
ｔ＝２
ｔ＝３
非理性
Ｄ
囚徒 １，２ 理性
Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｃ
表５
类型 ｔ＝１ ｔ＝２ ｔ＝３ ｔ＝４
囚徒 １，２ 非理性 Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｄ
理性
Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｃ
成就者当推罗伯特·艾克斯罗德、泰勒、哈 丁等人。在其《合作的进化》一书中，艾克 斯罗德用实验证明，在重复博弈条件下，一 次性囚徒困境下背叛的占优策略将会为有 条件合作的占优策略所取代，换言之，在 一次性囚徒困境中，选择不合作策略的博 弈者，在“重复性囚徒困境”中，将会采取 合作策略以最大化个人利益、即“有条件 合作”策略将是重复性囚徒困境下博弈者 的占优策略。
若对方不坦白、不背叛会让我获释，所 以会选择背叛；若对方背叛指控我，我也 要指控对方才能得到较低的刑期，所以也 是会选择背叛。二人面对的情况一样，所 以二人的理性思考都会得出相同的结论 － 选择背叛。背叛是两种策略之中的支配性 策略。因此，这场博弈中唯一可能达到的 纳什均衡就是（坦白，坦白）。
这场博弈的纳什均衡，显然不是顾 及团体利益的帕累托最优解决方案。以 全体利益而言，如果两个参与者都合作 保持不坦白，两人都只会被判刑 ３ 年，总 体利益更高，结果也比两人背叛对方、判
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囚徒困境 从单次博弈到重复博弈
■ 杨 懋１ 祁守成２（１、兰州工业高等专科学校管理工程系 兰州 ７３００５０ ２、西北师范大学财务处 兰州 ７３００７０）
◆ 中图分类号：Ｆ２２４．３２ 文献标识码：Ａ
内容摘要：本文从博弈论中的经典案 例“囚徒困境”入手，阐述了单次博弈 与重复博弈中的囚徒困境现象。随后 论证了囚徒困境在单次博弈与重复博 弈中的均衡区别，说明了在重复博弈 条件下合作产生的可能性。 关键词：囚徒困境 单次博弈 重复博 弈 合作