微积分基础实验报告mathematica
微积分基础实验报告
【实验目的】
1.验证Sinx 的泰勒级数；
2.了解函数的升降情况以及求零点和极值；
3.了解正弦函数的叠加图像;
4.了解无极限的函数例;
5.了解无穷积分;
6.通过无穷大数列求自然对数e 【实验要求】
1.观察多项式函数
、
、
的图像逼进正弦曲线的情况。
2.观察函数
及其导函数
的图像，了解图像的升降情况以
及凹凸情况，求出零点与极值。 3.观察函数
与的图像，了解随着k 的增大，
图像的变化。 4.（1）绘制函数在区间x [-1,1]上的图像，观察图像当x>0时
的变化情况。
(2)在函数中取3000个点，绘制散点图。观察这些点的分布。 5.绘制函数与
的图像，观察当n 增加时p(x)
向sinx 逼近的现象。
63
x x y -
=12065
3x x x y +
-=!7!5!37
53x x x x y -
+-=63
x x y -
=21'2
x y -
=x k k y m
k )12sin(1211--=∑
=∑
==m
k k kx y 1sin x
y 1
sin
=∈x y sin =∏=-
?=n
k k x x x p 12
22)
1()(π
6.（1）通过计算与的值，观察这些值的变化趋势。
（2）绘制,与
y=e 的图像，观察当x 增大时图
像的走向。 （3）计算的近似值，观察这些近似值对
e 的逼近情况。
【实验内容】（主要包含问题分析、计算过程、实验结果等，按课程要求完成）
问题的分析
（1）分别用不同颜色的曲线绘制出区间上正弦曲线以及多项式函数
、
、
的图像。 （2）根据理论知识可知，多项式项数越多越接近正弦曲线的图像。
（1）分别用不同颜色的曲线绘制出区间上函数及其导
函数
的图像。
（2）当y ’<0时，函数下降，当y ’>0时函数上升，当y ’=0时，函数图像存在极值。
当y ’上升时，函数图像为凸函数，当y ’下降时，函数图像为凹图像。当y ’取极值时，函数图像出现拐点。
（3）通过图像得出零点近似值，以及函数极小值的近似值，通过编程
n n
n a )11(+=1
)11(++=n n n A x x y 10)1011(+
=1
10)1011(++=x x y ∑
∞
=+=1!1
1k k e ],[ππ-∈x 6
3
x x y -
=12065
3x x x y +
-=!7!5!37
53x x x x y -
+-=]4,4[-∈x 63
x x y -
=21'2
x y -
=
得出精确的零点与极值。
（1）分别绘制出区间上函数与的
图像。
（2）当k 越大时，“波浪”形曲线越接近于直线。 4.（1）绘制函数
在区间x [-1,1]上的图像。
（2）函数在x=0处没有取值。
（3）绘制散点图，观察散点图的分布。
（1）分别取n=5,50,500,在同一坐标系中绘制区间上函数
与
的图像。
（2）n 越大，p(x)的图像越逼近y=sinx 的图像。
6.（1）计算与的值，当
n 越大时取值越接近e 。
（2）绘制,与
y=e 的图像，观察当x 增大时图
像的走向。 计算
的近似值，分别取
k=5，10,15,20,25,30。观察这些数值
可知，当
k 增大时，取值越接近e 。
计算过程 1.
Plot[{Sin[x],x-x^3/6+x^5/120,x-x^3/6,x-x^3/6+x^5/120-x^7/(7!)},{x,-Pi,Pi}]
]2,2[ππ-∈x x k k y m
k )12sin(1211--=∑
=∑
==m
k k kx y 1sin x
y 1
sin
=∈]4,4[ππ-∈x x y sin =∏=-
?=n
k k x x x p 12
22)
1()(πn n
n a )11(+=1
)11(++=n n n A x x y 10)1011(+
=110)1011(++=x x y ∑
∞
=+=1!1
1k k e
curve1=Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]; curve2=Plot[x-x^3/6+x^5/120,{x,-Pi,Pi},
PlotStyle->{RGBColor[1,0,1]}];
curve3=Plot[{x-x^3/6,x-x^3/6+x^5/120-x^7/(7!)},{x,-Pi,Pi}]; Show[curve1,curve2,curve3]
2.
Plot[{x-x^3/6,1-x^2/2},{x,-4,4}]
FindRoot[x-x^3/6,{x,2.5}]
g[a_].=a-(a-a^3/6)/(1-a^2/2)
NestList[g,2.5,4]
FindMinimum[x-x^3/6,{x,-1.5}]
FindMinimum[-x+x^3/6,{x,-1.5}]
f[x_,n_]:=Sum[(-1)^k*x^(2*k+1)/((2*k+1)!),{k,0,n}];
Do[print[FindRoot[f[x,n],{x,3.0}]],{n,3,7}]
3.
(1)f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}];Plot[f[x,519],{x,-
2Pi,2Pi}]
f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}];Plot[f[x,9],{x,-2Pi,2Pi}] (2)f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n}];Plot[f[x,519],{x,-
2Pi,2Pi}]
f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,}];Plot[f[x,9],{x,-2Pi,2Pi}] 4.
(1)Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}]
Plot[Sin[1/x],{x,-0.1,0.1}]
(2)T=Table[{1/k,Sin[k]},{k,1,3000}];
P=ListPlot[T]
d=44;
T1=Table[{1/k,Sin[k]},{k,3,3000,d}];
T2=Table[{1/k,Sin[k]},{k,6,3000,d}];
P1=ListPlot[T1,PlotJoined->True,PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]} ];
P2=ListPlot[T2,PlotJoined->True,PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]} ];
Show[P,P1,P2]
5.
fgsin=Plot[Sin[x],{x,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]; p[x_,n_]:=x*Product[1-x^2/(k*Pi)^2,{k,1,n}];
fgproduct=Plot[p[x,50],{x,-4Pi,4Pi}];
Show[fgsin,fgproduct]
fgsin=Plot[Sin[x],{x,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]; p[x_,n_]:=x*Product[1-x^2/(k*Pi)^2,{k,1,n}];
fgproduct=Plot[p[x,500],{x,-4Pi,4Pi}];
Show[fgsin,fgproduct]
6.
(1)Do[Print[{(1.0+1/10^n)^(10^n),(1.0+1/10^n)^(10^n+1)}],{n, 1,7}]
(2)Plot[{(1+10^(-x))^(10^x),(1+10^(-x))^(10^x+1),E},{x,1,4}] Plot[{(1+10^(-x))^(10^x),(1+10^(-x))^(10^x+1),E},{x,2,4}]
Plot[{(1+10^(-x))^(10^x),(1+10^(-x))^(10^x+1),E},{x,3,5}] Plot[{(1+10^(-x))^(10^x),(1+10^(-x))^(10^x+1),E},{x,5,6}] Do[Print[N[1+Sum[1/(k!),{k,1,n}],30]],{n,5,30}]
问题求解结果的分析与结论
1.
改进：
通过观察图像，可以看出图一中的红线即的图像最接近正弦曲线，基本与正弦曲线相吻合。黑线即
距离正弦曲线最远。
这说明泰勒级数的项数越多，图像越接近正弦曲线。由此可以验证Sinx 的泰勒级数展开式的正确性。 2.
{x —>2.44949}{—0.942809,{x->—1.41421}}
由图可知，导数大于零时，x 在负根2到正根2下，y 单增，导数小于零时，x 在大于正根2，小于负根2，y 单减。导数等于零时，存在极大值于极小值。当y ’上升时，函数图像为凸函数，当y ’下降时，函数图像为凹图像。当y ’取极值时，函数图像出现拐点。并且得到一个零点为x=2044949,以及极小值点（—1.41421，—0.942809） 3.
!7!5!37
53x x x x y -
+-=63
x x y -
=
图三
由图可知，当k 越大时，正弦函数的叠加曲线由波浪形逐渐趋近于直线。并且周期为2，分别分析两个函数的图像，
的
图像在某一区间上，“波浪”呈现向下趋势平行于x 轴，而的
图像在某一区间上，“波浪”呈现向下趋势。 实系线性组合：
当a1到an 为1到n ，b0到bn 为0到n ，间隔都为1
f[x_,n_];=Sum[a*Sin[k*x]+b*Cos[k*x],{k,1,n,1},{a,1,n,1},{b,1,n,1}];
Plot[f[x,10],{x,-2Pi,2Pi}]
πx
k k y m
k )12sin(121
1--=∑
=∑
==m
k k
kx
y 1sin
当a1到an 为1到n ，中间间隔2，b1到bn 为1到n ，中间间隔3 f[x_,n_];=Sum[a*Sin[k*x]+b*Cos[k*x],{k,1,n,1},{a,1,n,2},{b,1,n,3}];
Plot[f[x,10],{x,-2Pi,2Pi}]
能得到f(x)函数的图像。
当x 是连续的时候，该函数收敛于f(x)。 周期性函数都可以展成傅里叶级数。 4.
由图可知，当x->0时，函数分布越密集而在x=0处是否存在极值却无法判断，于是将区间放大，取区间
,f
发现函数分布更加密集，而在x=0处仍然无法判断是否存
]1.0,1.0[-∈x
在取值。所以这些图像只能说明当x>0时，函数分布越密集。并不能判断x=0处是否存在极值。
Plot[Sin[1/x],{x,-0.01,0.01}]
区间越趋近0，曲线震动越强烈。
（2）
绘制散点图并观察，这3000个点当中的某些点构成一条曲线。
改变k的开始值
改变d
图像不变，变得是P1。
为了辨别那些点组成一条直线，很自然的想法是辨认某一点距离最近的是哪一点
，与的距离d(k,m)与相关，
k 取不同值，就得到不同曲线。 5.
)
sin ,1
(k k
A k )sin ,1(
m m A m k A m A 2)
11(m k
K 改为500时，
图像重合，说明当n 增加时候，pn （x ）接近sinx
分别取n=50,500,在同一坐标系中绘制区间上函数与
的图像。观察可知，n 越大，p(x)的图像越逼近
y=sinx 的图像。 6.
]4,4[ππ-∈x x y sin =∏=-
?=n
k k x x x p 12
2
2)
1()(π
计算与的值，当
n 越大时取值越接近e 。当n 增大
时，an 逐渐增大，而An 逐渐减少。 (2)
n n
n a )11(+=1
)11(++=n n n A
绘制
,与
y=e 的图像，当x 增大时图像发散。
n 增大时,an 递增，An 递减，n 无限增大，两个函数图像互相接近于e (3)
x x y 10)1011(+
=1
10)1011(++=x x y
显然，当n越大，进行阶乘越大，e的值越准确。
【实验小结】（主要包含实验心得等）
通过本次实验已经较为熟悉应用数学软件Mathematica的使用，逐渐掌握用Mathematica来证实以前学过一些数学理论，并且对这些理论有了一些新的认识，通过Mathematica我能更清楚解题的过程，通过实验我深刻的意识到了数学实验的重要，它通过计算机验证了曾经数值计算得到的数学理念，而且还让我从具象的函数图像等对数学的一些抽象观念得到了更为深刻的认知。