高中数学 第二讲 四 弦切角的性质课件 新人教A版选修4-1

利用弦切角定理进行计算、证明时，要特别注意弦切 角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结 合运用，同时要注意根据题目的需要添加辅助线构造所需 要的弦切角．
1．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是 TB 上的一点，若
∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为
()
A．20° B．40° C．60 ° D．80°
证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD. [思路点拨] 利用弦切角定理．
[证明] (1)因为 AC ＝ BD， 所以∠BCD＝∠ABC. 又因为EC与圆相切于点C， 所以∠ACE＝∠ABC. 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB. 故BBCE＝CBDC， 即BC2＝BE·CD.
证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在 切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时 需要添加辅助线创造条件．
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四
弦切角的性质
弦切角定理
(1)文字语言叙述： 弦切角等于它 所夹的弧 所对的圆周角．
(2)图形语言叙述： 如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝ ∠D .
[说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆 周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数 等于它所对弧的度数．
弦切角定理 [例1] 如图，已知圆上的 AC ＝ BD ，过C点的圆的切线与 BA的延长线交于E点．
(2)∵AM＝BM， ∴∠A＝∠B. ∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B， ∴∠CMA＝∠A. ∴AB∥CD.
3.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切 于点C，AC平分∠DAB. (1)求证：AD⊥CD； (2)若AD＝2，AC＝ 5，求AB的长． 解：(1)证明：如图，连接BC. ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB.
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD. (2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB. ∴AADC＝AACB， ∴AC2＝AD·AB. ∵AD＝2，AC＝ 5， ∴AB＝52.
运用弦切角定理证明比例式或乘积式
[例2] 如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在 AB 上，CD⊥
解析：如图，作四边形ABET，因为四边形ABET是圆内 接四边形， 所以∠E＝180°－∠TAB＝80°. 又CD是⊙O的切线，T为切点， 所以∠BTD＝∠E＝80°. 答案：D
2．如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M 的切线，求证： (1)如果AB∥CD，那么AM＝MB； (2)如果AM＝BM，那么AB∥CD. 证明：(1)∵CD切⊙O于M点， ∴∠CMA＝∠B. ∵AB∥CD， ∴∠CMA＝∠A. ∴∠A＝∠B. ∴AM＝MB.
AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F. 求证：CD2＝CE·CF.
[思路点拨]
连接CA，CB， ∠CAP＝∠CBA， ∠CBP＝∠CAB
―→
Rt△CAE∽Rt△CBD Rt△CBF∽Rt△CAD
→ CCDE＝A，PB是⊙O的切线， ∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB. 又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD， ∴CCAB＝CCDE，CCBA＝CCDF. ∴CCDE＝CCDF， 即CD2＝CE·CF.