第七章缸体运动学基础

2 2 v0 v0 an g cos
an a 2 a2 g cos
an
2 v0

例 圆柱的半径为 r， 绕铅直固定轴 z 作匀速转动，
周期为T秒。动点M以匀速u沿圆柱的一条母线NM 运动（如图）试求M点的轨迹、速度和加速度，并 求轨迹的曲率半径。
z
r
O M0
x
M
N (x,y)
B.定轴转动(fixed-axis rotation)
C.平面运动(planar motion)
D.定点运动(rotation around a fixed point)
第七章 运动学基础
§7-1 机构运动简图 §7-2 点的运动 §7-3 刚体的基本运动
§7-1 机构运动简图
机构 具有确定相对运动的多个实体组成的系统. 1.多个实体的组合 构件
接触轨道之前， 保龄球可以看作 一个点；
接触轨道之后，保龄 球在摩擦力作用下发生 滚动，这时保龄球不再 是一点，而应看作刚体。
•运动形式
(1) 点的运动形式
A.直线运动
B.曲线运动—— 最一般的情形为三维 变速曲线运动
(2) 刚体的运动形式 •直线平动
A.平动(translation) •曲线平动
平动刚体的运动特点
z
A
rA
rB
vA
aA vB
A1 A2
ห้องสมุดไป่ตู้
B1 B2
B
O x
aB
y
求导 rA rB BA
v A vB a A aB
x OA R sin y R R cos R(1 cos )
OA AM弧 R ut ut R M点的运动方程: ut ut x R( sin ) R R
y R(1 cos
ut ) R
(3)M点轨迹是旋轮线
u 令 R
(4)求M点的速度
2 2 dvy dvx a ax a y g ax 0, a y g dt dt 当t=0时 v v0 , a g
将加速度在切线和法线方向分解有
2 a a2 an
dv g a v0 sin gt dt v
a g sin
z
k
M ( x, y , z )
r
j
z
x
y
v vx v y vz
2 2
2
O i
x
y
vy vx v cos , cos , cos z v v v d 2 r d 2x d 2 y d 2z 加速度 a 2 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dv y d 2 y dvx d 2 x dvz d 2 z ax 2 , ay 2 , az 2 dt dt dt dt dt dt
a ax a y az
2 2 2
ay ax az cos , cos , cos a a a
例 已知：半径为R的圆轮在固定 直线轨道上作纯滚动（只滚不 滑）。轮心速度 u =const。 求：轮缘一点M的运动方程及任一 瞬时的速度与加速度。 解：(1)建立参考坐标系Oxy (2)求任意瞬时M点的位置坐标
vz u
aM

v r
y
u
vy
O
M0
x
N (x,y)
vx 速度矢端图是一个半
径为r的圆周,且平
3. 点M的加速度
dv a x x r 2 cost dt dv y ay r 2 sin t dt
行于平面Oxy。
a a x a 2 y r 2
2
dv az z 0 dt
加速度a 的方向垂直并指向z 轴。
4. 曲率半径
vz
a v m
v2
an
a 0,
u
an a

r
vx
vy
v 2 r 2 2 u 2 u2 r 2 2 a r r
曲率半径为常数

r sin 2
描述点运动的三种方法比较
变矢量法－结果简明，具有概括性，且与坐标选择 无关。对于实际问题需将变矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。 直角坐标法－实际问题中，一种广泛应用的方法。 弧坐标法－应用于运动轨迹已知的情形，其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的物理 含义更加清晰。
x v0 cos t y v0 sin t 1 gt 2 2
求：t=0时炮弹的切向加速度和法向加速度，以及 这时轨迹的曲率半径。
y
v0
o

x
x v0 cos a t 解： y v0 sin a t 1 gt 2 2 dx dy vx v0 cos a v y v0 sin a gt dt dt 2 2 2 2 2 v vx v y v0 cos a v0 sin a gt
§7-2 点的运动
研究点的运动就是确定任一时刻点在参考坐标系 (坐标原点和坐标轴)中的位置，即点的运动规律。 用数学式表示称为运动方程。 点在空间运动时所经过的路线称为该点的运动轨迹。 分为直线运动和曲线运动。 点的速度是描述点在某一瞬时运动的快慢和方向的 物理量。 点的加速度是描写点的速度的大小和方向变化快慢 （率）的物理量。 研究点运动时常用的三种方法：弧坐标法、直角坐标 法、矢径法，另外还有如极坐标法、柱坐标法等。
x
M

v
y
v vx v 2 y v 2 Z r 2 2 u2
cos vz
2 2 vx v2 vz y
常数

u r 2 2 u 2
N (x,y)
速度与圆柱母线的交角 不变。
z
vx r sin t
r
vz
v y r cos t
a v m
y
z
解： 1. M点的运动方程和轨迹。
2π M 0ON t T
2π x r cos( t ) , T 2π y r sin( t ) , T
r
z ut
x
O M0
M
N (x,y) y
M点的轨迹（螺旋线）方程
z x r cos( ) , u z y r sin( ) u
2. M点的速度
运动学部分
1.运动学的研究内容和意义
运动学纯粹从几何的角度来研究物体的运动
规律 ，而不涉及物体的受力和惯性。
意义: 工程实际中的应用机构运动分析. 动力学的基础分析运动与力的关系.
2.运动的相对性及参考系 运动规律是指物体在空间的位置随时间变化的规律。 物体位置的描述必须指明相对的物体。运动学中， 把后者称为确定前者位置的参考体。固连于参考体
§7-3 刚体的基本运动
刚体的基本运动:平动和定轴转动
研究刚体基本运动的目的:
研究复杂运动的需要
研究参考系的运动 内容: 1. 刚体整体运动的描述(物理量)
2. 刚体上各点的运动描述(速度,加速度)
1
刚体的平动
定义
刚体在运动过程
中,如果其上任一
直线始终与的初 始位置平行，这
种运动称为平动。
（直线平动和曲 线平动） ♦ 如何识别? ♦ 正确区分点的直线运动与刚体平动
2.直角坐标法
•运动方程
r xi yj zk
z
k
x f1 t y f 2 t z f 3 t
轨迹方程
M ( x, y , z )
r
j
z
x
y
f ( x, y, z ) 0
x
O i
y
速度 v
dr dx dy dz i j k dt dt dt dt dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
P
a
思考1：点M沿螺线自外向内 运动，如图所示。它走过 的弧长与时间的一次方成 正比，问点M 。 A 加速度越来越大 B 加速度越来越小 C 越跑越快 D 越跑越慢
思考2：当点作曲线运动 时，点的加速度a是恒 矢量，如图所示。则 点的运动 曲线 匀变速运动（是或不 是）。
例：炮弹射出，直角坐标运动方程为
dτ dτ d vτ n dt d dt
•加速度
dvτ vτ2 a τ n a τ τ an n a τ a n dt
dv a s dt
切向加速度:
表示速度矢量大小的变化率；

法向加速度:
an
v 2

表示速度矢量方向的变化率；

当0时， 的极限方向垂直于 ，亦即n方向。 dτ n d
•加速度

P
s
dvτ dτ a τ vτ dt dt
P'
dτ dτ d dt d dt
dτ n d

/2


d ds d 1 vτ dt dt ds
d 1 曲率 其中： ds
-切向单位矢量,正向与弧坐标正向一致
n -主法线单位矢量,正向指向曲线内凹一侧
b -副法线单位矢量 b n b
M
n
密切面

(3) 速度与加速度
•速度
r dr v lim t 0 t dt dr ds ds ds dt dt
方向沿轨迹 切线方向
n
M
密切面
1.矢量法
z
M M
r
O
x
•运动方程
r
y
r r t
•速度(velocity)
z
M
v
r
M
v lim
t 0
r dr r t dt
r
O
r
y
方向沿t时刻轨迹切线
•加速度(acceleration)
x
dv a v r dt
方向沿t时刻速度矢端图的切线

v
(3) 速度与加速度
•加速度
v
dvτ dv d dτ a (v τ τ ) τ vτ vτ τ dt dt dt dt dτ dτ d s dt d dt P'
P
/2
sin 2 sin τ dτ τ 2 1 2 lim lim lim 0 0 0 d 2
2π 2π x r cos( t ), y r sin( t ), T T
z ut
dy dz dx r cos t, v Z u vx r sin t, v y dt dt dt
z
速度在平面Oxy上的投影大小等于
r
2
2 2 vx v y r
O M0
x R(t sin t ) y R(1 cos t ) dx vx R (1 cos t ) dt dy vy R sin t ) dt
a x R 2 sin t x a y R 2 cos t y
(5)求M点的加速度
2.各实体间具有确定的相对运动 运动副
固定件 —支承运动构件的构件 组成机构的各 相对运动实体 – 构件 主动件 —驱动力作用的构件
member
从动件 —随主动件运动 而运动的构件
两构件组成有确定 —运动副 相对运动的可动联接 高副—通过点、线接触 移动副 低副—通过面接触 转动副
平面运动副及构件的表示方法
的坐标系称为参考系。
对于不同的参考系，同一物体的运动的表现形 式是不一样的, 称为运动的相对性。 两个时间概念：瞬时、时间间隔 运动的描述方法
几何法
分析法
瞬时 全过程
3.运动学的研究对象及其运动形式
•研究对象： 点(或动点):可忽略大小的物体 或刚体上的指定点 刚体:刚体整体的运动 研究卫星轨道 时，卫星可以看作 一个点。 研究卫星运动 姿态时，卫星不再 是一点，而应看作 刚体。
3. 自然法
★自然法适用于描述非自由质点运动（轨迹已知） (1) 弧坐标 (+)
O
(-)
M
s
规定:原点、正向
s称为弧坐标, 是代数量
运动方程
s f (t )
(2) 自然轴系 •密切面
M
M
轨迹曲线上任两点 的切向量所决定平 面的极限位置.
平面曲线上任一 点的密切面就是 曲线所在平面.
(2) 自然轴系 •自然轴系（游动坐标系）
平面运动副及构件的表示方法
移动副
平面运动副及构件的表示方法
转动副
平面运动副及构件的表示方法
平面运动副及构件的表示方法
平面运动副及构件的表示方法
平面运动副及构件的表示方法
构件
平面机构的运动简图
用简单的符号和线条表达机构的组成和 构件之间的相对运动机构运动简图
平面机构的运动简图
平面机构的运动简图