基于状态空间模型进化算法的全局收敛性分析

基于状态空间模型进化算法的全局收敛性分析

王鼎湘;李茂军;李雪;成立

【摘要】基于状态空间模型进化算法(SEA)是一种新颖的实数编码进化算法,在工程优化问题中具有广阔的应用前景.为了完善SEA的理论体系,促进SEA在工程优化问题中的应用研究,利用齐次有限Markov链对SEA的全局收敛性进行分析,证明了SEA不是全局收敛的.通过限定SEA状态进化矩阵内元素的取值范围,同时引入弹力搜索得到改进型弹力状态空间模型进化算法(MESEA).分析结果表明,弹力搜索能提高SEA的搜索效率.最后得到了MESEA全局收敛的结论,为算法在工程优化问题中的应用提供了理论依据.

【期刊名称】《计算机应用》

【年(卷),期】2014(034)010

【总页数】4页(P2816-2819)

【关键词】状态空间模型;进化算法;弹力搜索;收敛性;搜索效率

【作者】王鼎湘;李茂军;李雪;成立

【作者单位】长沙理工大学电气与信息工程学院,长沙410004;长沙理工大学电气与信息工程学院,长沙410004;长沙理工大学电气与信息工程学院,长沙410004;长沙理工大学电气与信息工程学院,长沙410004

【正文语种】中文

【中图分类】TP301.6

0 引言

遗传算法是一种经典的仿生进化算法，该算法从Holland教授提出以来，得到了非常广泛的应用，对算法理论基础的研究也得到不断完善［1-2］。同时，国内外许多专家针对不同问题对遗传算法作出了很多改进，为遗传算法的更广泛应用打下了基础。如:Rigal 等［3］提出基于选择和变异的一种遗传算法，并对其收敛性进行了证明;郑金华等［4］提出了基于空间交配的遗传算法，在遗传算法中增加空间交配遗传算子，把整个搜索空间划分成不相交子空间;李茂军等［5］提出了采用序号编码的单亲遗传算法(Partheno Genetic Algorithm，PGA)，通过一条染色体中基因的换位等操作来取代遗传算法中的交叉操作。这些方法在很大程度上提高了算法性能，推进了遗传算法的发展。随着遗传算法应用领域的不断扩大，对遗传算法的改进和优化仍然在不断进行。

基于状态空间模型的进化算法(Evolutionary Algorithm based on State-space model，SEA)［6］82是一种基于离散系统状态空间模型的进化算法。该算法引入遗传算法的思想，采用实数编码方式，通过构造一个状态进化矩阵来实现算法的搜索功能，使算法具有很强的搜索能力和较高的搜索精度，能快速地找到问题的全局最优解。SEA 在电力市场竞价［6］82-84 和电力系统无功优化［7］等实际应用中取得了良好的优化效果，但由于其编码和搜索过程的复杂性，该算法的全局收敛性仍未得到严密的数学分析。

本文通过对SEA 寻优过程的分析，得到了SEA 不具有全局遍历性和全局收敛性的结论。基于此，通过适当改进SEA的状态进化矩阵来确保算法的遍历性，同时引入弹力搜索对SEA 搜索到的可行域外的个体进行约束处理，得到改进型弹力状态空间模型进化算法(Modified Elastic Evolutionary Algorithm based on State-space model，MESEA)。应用齐次有限马尔可夫(Markov)链证明了MESEA 是全

局收敛的，并基于Markov 链对算法搜索效率进行了初步分析，同时提出算法后续研究方向的建议。

1 问题描述及SEA

1.1 问题描述

本文考虑连续域S1 内的参数优化问题:

其中:x 是可行域内的任意可行解，f(x)是S1内的连续函数。通过对x 寻优精度的限定，可以将闭区域S1离散化。针对函数f(x)提出如下假设:

①x 为实数编码的变量，编码长度为L，其位于区域S1 内时可定义为式(1)的可行解。

②∃x* ∈S1，f(x)在S1 内的极大值为max f(x)=f(x* )，且f(x)满足- ∞ ＜

f(x)≤f(x* )＜∞。

③可行解x 的编码串内各元素取值范围确定且相等，即有xi ∈［ai，bi］= ［a，b］，i = 1，2，…，L，且0 ＜a ≤b ＜∞。

④以精度ξ(ξ≤b-a)在S1 区域内进行寻优，可知［a，b］内xi 可能取值的个数为「(b - a)/ξ⏋+1，「.⏋表示向下取整。当xi ∈［a + nξ，a + (n +1)ξ)时，xi = a + nξ。

假设条件①表明S1 区域维数L 不限定，即x 编码串长度为L，该假设使得问题的提出不失一般性。假设条件②在实际中遇到的绝大部分函数都是符合的。假设条件③限定了S1 区域各维的边界有限且对称，无限区域内的寻优用任何现有的搜索优化方法都难以解决［8］，故这一假设是合理的;虽然常见问题中可行域各维不一定对称，但不对称区域可以通过某种函数映射到对称区域中来，故假设条件③中对S1 区域各维边界的限定并不影响算法收敛性的分析。

1.2 SEA 及其基本参数设定

SEA 是一种基于离散系统状态空间模型的进化算法［6］82，该算法引入进化计算的基本思想，构造算法表达式如下:

其中:G 为状态进化矩阵，X(k)表示第k 代种群，X(0)表示初始种群。状态进化矩阵G 构造方式如下:

其中

利用SEA 求解式(1)所示问题的基本步骤为:

步骤1 在可行域内随机构造种群规模为N 的初始种群X(0)。

步骤2 根据式(3)生成状态进化矩阵G。

步骤3 根据式(2)生成下一代种群X(k + 1)，同时将X(k +1)与X(k)结合生成选种池。

步骤4 对选种池内个体进行约束处理，并计算选种池内各个体的适应度。

步骤5 在选种池内选择适应度较高的N 个个体，设为X(k)。

步骤6 满足终止条件，转步骤7;否则转步骤2。步骤7 算法终止。

2 马尔可夫链相关定义和定理

定义1［9］随机过程可能取到的值(状态)λk+1，λk，…，λ0 组成的集合记为S，称为随机过程的状态空间。随机序列{Xk，k = 0，1，2，…}称为Markov 链，如果这些随机变量都是离散的，而且对于∀k ≥0 及任意状态λk+1，λk，…，λ0，都有:

这个性质称为Markov 性(无后效性)。

条件概率P(Xk+1 = λj | Xk = λi)= Pij(k，k +1)表示随机序列{Xk，k = 0，1，2，…}在k 时刻处于状态λi 的条件下，经一步转移在k +1 时刻处于状态λj 的概