5-1微分方程模型cpdf

第五章微分方程模型

5.1传染病模型

5.2经济增长模型

5.3减肥A计划模型

5.4油画赝品鉴定模型

5. 1 传染病模型

问题•2003年的非典SARS令人谈虎色变

•描述传染病的传播过程

•分析受感染人数的变化规律

•预报传染病高潮到来的时刻

•掌握预防传染病蔓延的手段

•按照传播过程的一般规律，

用机理分析方法建立模型

已感染人数(病人infective) 为i (t )•每个病人每天传染的人数为λ

模型1指数增长

假设

()()i t t i t +∆-=事实上若病人接触的也是病人，则病人数并未增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模：病人增量为传染人数在时间段内的累积

∞

→⇒∞→i t t

e

i t i λ0)(=病人趋向无穷多，是否全都变成病人?世界末日?分离变量方程()i t λ()()i t t i t t

+∆-=∆()i t λ(类似人口增长模型!)(常微分方程初值问题IVP!)

di dt 0

(0)i i

=设初始病人数

(取极限)⎧⎨⎩t ∆i λ=

di dt =s =模型2区分已感染者(病人infective)和未感染者(健康人susceptible)假设令Δt 趋向于0取极

限得分离变量方程[()()]i t t i t +∆-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=)0()1(i i i i dt

di λλ~ 日接触率

SI 模型

0(),()1,i t s t <<()()s t i t +=1）总人数N 不变，病人数为2）每个病人每天有效接触人数为λ, 且使接触的

病人比例为i (t )Ni ,Ns

λs 个健康人致病，λs Ni λs Ni Δt ，同时等于总人数N 乘以比例增量:

()i t t

λ∆N ()Ns t 1(100%!)0i (初值!)有Ni 个病人，每天感染Δt 天中病人人数增量为健康人比例为s (t )健康人数

个健康人，(对比指

数模型!)1i -si λ(消元!)

()i t =⎪⎩⎪⎨⎧=-=0

)0()1(i i i i dt

di

λSI 模型

1/2m i

i 0

101

2

=

t m ~传染病高潮时刻λ(日接触率)↓→t m t i →∞⇒→Logistic 模型，分离变量求解忽略了事实:病

病人比例为1!难道依然全是病人?末日重现?i =01111t

e

i λ-⎛⎫+- ⎪⎝⎭

1/2时, di /dt = λi (1-i )最大, 此时设t=t m (可用初等不等式定极值!)(拐点!)01

1ln 1i λ⎛⎫- ⎪⎝⎭01111m t e

i λ-⎛⎫+- ⎪⎝⎭反解并取对数得1病人比例为i (t )

m

t =(阻滞增长模型S 型曲线!)

2=(代入!)↑(用隔离措施延

迟!)

模型3传染病无免疫性如感冒——病人治愈

成为健康人，健康人可再次被感染增加假设

SIS 模型3）Ni 个病人每天治愈的比例为μμ~日治愈率[()()]N i t t i t +∆-=建模

/σλμ

=定义σ~ 传染率(有效接触率)比治愈率，称为接触数.()()s t Ni t λ()Ni t μΔt 天中病人人数增量为λs Ni 个健康人，有Ni 个病人，每天感染λ~ 日

传染率健康人比例s

(感染者!)(治愈者!)

di dt =i λi μ0(0)i i =⎧⎨

⎩令Δt 趋向于0取极限得分离变量方程t ∆t ∆-s =1i -(代入!)(1)i --1σ>(传染得快!)1σ<(治愈得快!)

di dt =模型3

i 0

i 0μλσ/=1-1/σ

i 0

i i i dt di μλ--=)1(i

di/dt

1σ>1

0i σ>1

1-1/σ

i

t σ≤1恒有di /dt < 0()i ∞=(代入接触率!)i λ模型3的图解(解曲线)分析:是抛物线，非零驻点(阈yù值)是i =的增函数，增长速度先快后慢，呈阻滞增长形式的S 形曲线.同理i >1-1/σ时i 为t 的减函数.11,σ

-模型2(SI 模型)如何看作模型3(SIS 模型)的特例?

治愈率μ=0!1-1/ σ. 0,⎧⎨⎩(定驻点!)i =i

λσ

(驻点!)

显然di/dt 仍然是i 的二次函数，图象而i 的极限为:(极限渐近线!)

(极限渐近线!)

0>1(1)i σ--1[(1)]i i λσ---(提公因子!)(变形!)0,11,σ-若σ>1，则当i <1-1/ σ时i 为t (增!)

1σ>1

σ≤1

σ≤

5.2经济增长模型

增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术•建立产值与资金、劳动力之间的关系

•研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大1. 道格拉斯(Douglas)生产函数

产值Q (t )

))

(),(()(0t L t K F f t Q F 为资本与劳动力的待定函数

资金K (t )劳动力L (t )

技术f (t )= f 0