密度算子的保真度的向量表示
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定理 ２ 设 Ａ ， Ｂ（ 一１ ２ … ， ， ， Ｎ）为二 阶密 度算 子 ，
… Ａ ， — Ｂ Ｂ Ｂｚ … Ｂ ，
则
Ｆ（ ， Ａ Ｂ）
１ ｌ ｌ ＋…＋ｄ … ．Ｉ ＃ ＋。＋ ｒ １ 『 ＋ｄ ‘Ｉ Ｉ Ｎ‘Ｎ Ｉ（Ｔ ）２・）＋‘ … Ｔ （ ＋Ｉ … ｂＴ Ｉ＋ｂ ＋Ｔ （￡２ Ｔ ｚ１｛ ＋ ｒ ＋ ＋Ｉ ； ＋Ｉ Ｊ ２ 。 （ Ｔ 。Ｔ 。 … ， ， ，
Ａ ÷Ｉ√ ，— （ ・ ， 一 （ ・ Ｂ ＋ ） １＋ ）
则它 们之 间 的保真 度 为表示 为
１＋ ２ ・ｂ
研
成元 ．
．
研
’
其中 Ｊ ３ 为 ×３单位 矩 阵 ， ｂ为 ８维 Ｂｏ ｈ向量 ， 一 （ ， ， ， ） （ 一１ ２ … ， ） Ｓ ３ ， ｌｃ … ， ， ， ８ 为 Ｕ（ ）的 自伴生
从 而有
（ 一 ，
一
推 论 １ 当 Ｎ 一２时 ， Ｂ可表 示为 Ａ，
Ａ
则 它们 之 间的保 真度 可表 示 为
…
Ｆ （ ， ）一 Ａ Ｂ Ａ — Ａ Ａｚ
￣ ＋（ ） ｌ・ １ 丽 １ ｌ ｌ ／ 一１Ｊ 。 ￣ ＋（ １ Ｎ ／ Ｎ一 ） ５ ．
个 态之 间的二择 一保 真度 测 量 ，给出 了这种 保真 度 的几何 解 释 ， 证 明了 当 Ｎ＝２时 ， 并 二择 一保 真 度等价 于 Ｂ ｒｓ ｕ ｅ 保真 度．算 子理论 是 量子信 息 与计算 的基础 与工 具 ， 也是 泛 函分析 的核 心 内容．在量 子力 学 中，
不 同的算子 代表 不 同 的物 理量 ，算子 的不 同代 数运 算 ， 味 着不 同的 物理 规 律 ，所 以研 究算 子 之 间 的差 意 异 是必 要 的．文献 ［ ］ 出了算 子保真 度 的定 义 ，为 研 究算 子 差 异 提供 了一 个重 要 方 法．本 文 研究 Ｎ 维 ２给
一
￣ＴｒＡ。 ￣ＴｒＢ ） ／ （ ）・ ／ （
２ 算 子保真 度 的表示 引理 １。 任意 一个 Ｎ ×Ｎ 密度矩 阵 Ａ 都 可 以表 示 为 Ｅ
『
Ｎ
Ａ Ｈ 一（√
２ … ， 一 １ 为 Ｓ Ｎ）的 自伴 生成元 ． ， Ｎ ） Ｕ（ 引理 ２ 任 意一个 形如 Ａ—Ａ
） ， 一 １ ２， ； ）ｉ ， ３ Ｄ ） ｉ ， ｚ １， ， ， ｉ 一 ２ ３；
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一 Ｔｒ Ａ （ （ 巩
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一
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Ｊ 屯
wk.baidu.com
… 。
『
） ，Ｎ １ ｉ ） ｉ－ ，Ｎ一 １ ２ ３； ，， … ， ），ｉ ，２ ｉ 一 １， ， ） １ ｉ ，。 ２ ３；
２１ ０ ２年 ４月
文 章 编 号 ：０ ０ ５ １ （ ０ ２ ０ — １ ５ ０ １ ０ ８ １ ２ １ ）２０ ０—５
密 度 算 子 的保 真 度 的 向量 表 示
张 坤 利 ，曹 怀 信 ，王 敏
（ 西 师 范 大学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ，陕 西 西 安 ７ ０ ６ ） 陕 １０ ２
Ｆ Ａ， ） （ Ｂ 一
为 Ａ， 之 间的保 真度 ． Ｂ
＊
ｌ ！ ：旦 ！ Ｉ
、ＴｒＡ。Ａ）・ ／ （ Ｂ） ／ （＿ ／ ￣ＴｒＢ
收稿 Ｅ期 ： ０ １ １ — ５ ｌ ２ １ － ２２ 基 金 项 目： 国家 自然 科 学 基 金 项 目（ ０ ７ １ ，１ ８ １ ２ ） １５１１ ３ ０ ７２ ４
Ｎ Ｔ Ｎ ）＃
Ｉ Ｉ ；
Ｉ＋…＋ Ｉ ＃ Ｉ Ｉ Ｉ ＋…＋ Ｉ 。； Ｔ Ｉ 其 中 ， （ ６ 一１ ２ … ， ， ， ， ） ， “ Ｔ 同 引理 ３ ．
Ａ （ … 十 ・
ｒ
・ ）
其 中 为 Ｎ ×Ｎ 单 位 矩阵 ， 为 Ｎ。 １ 实 向量 ， 为 Ａ 的 Ｂ ｏ ｈ向量 ， ＝ （ ，２ … ， ｚ ） （ 一１ 一 维 称 ｌｃ ＝ ， 一 ， ｉ ， ＝ Ａ …… Ａ 的 ２＇ 阶密度矩 阵都 可 以表示 为 ３
０ 引 言
近 年来 ， 子信 息光 学 引起 了 人们 的极 大 兴 趣 ，保 真度 是 量 子 光 学 和信 息 科 学 领 域 的一 个 重 要 概 量 念 ， 表示信 息 在传输 过 程 中保 持 原来 状态 的程 度 ， 广 泛应 用 于量 子 通 讯 和量 子 汁算 理 论 研究 中．随 它 并
下面 我们 给 出能用 以上形式 表示 的密 度算子 的保 真度 的 Ｂｏ ｈ向量形式 ． ｌｃ 定理 １ 设 Ａ， Ｂ是 Ｎ × Ｎ 阶密度矩 阵 ， 则它们 之 间的保 真度 可表示 为
Ｆ（ ， Ａ Ｂ）一 ＿＝— — — — — — ＝＝ ＝
￣１ Ｎ一１ ｌ ・ ／ ＋（ ／ ＋（ ）ｌ ￣１ Ｎ一１ Ｉ Ｉ ） 。
，Ｂ 一 （ ＋ ，
Ｆ（ ， Ａ Ｂ）一
— — — — — — — — — — — — —
１＋ ・ ｂ
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 一
●
、
一
其 中 为 ２× ２单位矩 阵 ， ｂ为 ３维 Ｂ ｏ ｈ向量 ， ＝ （ ， ， ） （ 一１ ２ ３ ， ｌｃ 口 ＝ ， ｉ ， ，）为 Ｐ ｕｉ 阵． ＝ ａ ｌ矩 推论 ２ 当 Ｎ 一３时 ， Ｂ为表 示 为 Ａ，
・
口 …
）
ｊ ＿ Ｊ … … ） ， 一 １ ２， ； ）ｉ ， ３ Ｄ ） ｉ １ ２， ； ， 一 ， ３
其 中 Ｊ为 ２ ２单位 矩 阵 ， （ × 一１ ２ ３ ， ，）为 Ｐ ｕｉ 阵 ， １ ２ … ， ａ ｌ矩 Ａ （ 一 ， ， Ｎ）为二 阶密度 算子 ，
着量 子信 息和 量子 计算 理论 的不 断发 展 和完 善 ，它 的研究 领域 不 断扩 大 ，对保 真 度 的相 关研 究 引起 了来
自不 同领 域学 者 的广泛 关 注．文献 ［ ３ １ 引入 了量子 信 道 的保 真 度测量 ，并描 述 了信道 保真度 的性 质 ， 讨论 了信道 保 真度在 量 子信 息科 学方 面 的应用 ； 献Ｅ ］ 出 了 Ｈｉ ｅｔ ｃ ｍｉｔ 文 ２给 ｌ ｒ— ｈ ｄ 内积下 Ｎ 量 子系 统上 的两个 ｂ Ｓ 密度算 子及 纯态 之 间 的信 道保 真度 的二择 一保 真度 定义 ， 义 了两个 线 性算 子 之 间 的算 子 保 真度 ，并证 定 明 了算 子保 真度 除 了一个 规 范化 因子 也满 足所 有 的 Ｊ ｚａＳ四公理 ； ｏｓ 文献 ［ ］ 明了 』一 ３证 ＼ 态量 子 系统 上的两 ，
第 ２期
张 坤 利 等 ： 度 算 子 的 保 真 度 的 向量 表 示 密
１ ）为 Ｓ Ｎ）的 自伴 生成元 ． Ｕ（ 因为 （ 一 １ ２ … ， 一 １ ｉ ， ， Ｎ ）为 Ｓ Ｎ）的 自伴 生成元 ， 以我们 有 Ｕ（ 所
Ｔｒａ ）一 ０， （ ）一 ２ ， ， （ Ｔｒ２ ８ ｉＪ一 １ ２， ， ， … Ｎ 一 １ ．
１ （ ａ ２ ａ ３ ，ａ 一 Ｔｒ Ａ （ 一 ｎ １ ， １） １ （ ａ ｚ （ ， ２， ２） ２ Ｔｒ Ａ （ 一 ｎ ｌ口 ２ ａ ３ ，ｎ 一 ｚ （ Ｉ
；
Ｎ一 （ Ｎ ， Ｎ ， Ｎ ） Ｎ 口 １ 口 ２ ａ ３ ，ａ — Ｔｒ Ａ （ （ ，
一
『
… …
其 中 为 Ｎ ×Ｎ 单 位矩 阵 ， ｂ为 Ａ， 的 Ｎ。 １ Ｂ ｏ ｈ向量 ． ， Ｂ 一 维 ｌｃ
证 明 因为 Ａ， Ｂ是 Ｎ × Ｎ 阶密度算 子 ， 以 Ａ， 所 Ｂ可 以表示 为
Ａ 卜 一 （√ 卜
・，＝（ √ Ｂ 卜 ） 卜
若） ・，
其 中 为 Ｎ ×Ｎ单 位矩 阵 ， ｂ Ａ， ， 为 Ｂ的 Ｎ １ Ｂ ｏ ｈ向量 ， ，２ … ， ｚ ） （一１ ２ … ， 一 一 维 ｌｃ 一（ １ ， 一 ， ， ， Ｎ。
摘 要 ： 论 了 Ｎ 维 Ｈｉ ｅｔ 间 Ｈ 上 密度 算子 的 保 真度 与 它 们 的 Ｂｏ ｈ向量之 间 的 关 系， 讨 ｌ ｒ空 ｂ ｌｃ
进 而给 出了两个 密度 算子 的保 真度 的 向量表 示形 式．
关键 词 ： 算子保 真度 ；密度 算子 ； ｌｃ Ｂ ｏ ｈ向量
中 图 法 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ７ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ
作 者 简 介 ： 坤 利 （ ５ ） 女 ，陕 西 省 宝 鸡 市 人 ， 读 硕 士 生 ， 究 方 向 ： 子 理 论 张 １８ 一 ， ９ 在 研 算
・
１６・ ０
注 当 Ａ， ∈ Ｄ（ 时 ， Ｂ Ｈ） 有
陕 西科 技 大 学 学报
第３ 卷 Ｏ
Ｆ（ ， Ａ Ｂ）一 — —
… Ｉ＋ ｚ・工 ａ Ｉ … 卜 卜…
・
， Ｊ … ｊ ＋∑ ￡ ・
。
＋
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… 卜＿ ｝ …
＋ ∑
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∑
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＋…＋ ∑ ￡
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＋… ＋ Ｉ Ｉ
事实 上 ， 意一 个密 度算 子 Ａ＝Ａ 任 ＝ ＝ 矩阵 ， ， 个 ３ … ｃ 个元 素矩 阵唯一 确定 ．
Ｉ ２ Ｉ ≤ 一 １ 孚 ．
Ａｚ … Ａ 是 由 Ｃ１个 三维 向量 ， 个 ３ 阵 ， 个 ３ 个元 素 ￣ Ｃ 矩 Ｃ 。
Ｈｉ ｅｔ 间 Ｈ 上 密 度 算 子 的 保 真 度 的 具 体 表 示 形 式 ． ｌ ｒ空 ｂ
以下 Ｈ 表 示 Ｈ 维 Ｈｉ ｅｔ 间 ， Ｈ） 示 Ｈ 上 所有 有界 线性 算子 之集 ． ｌ ｒ空 ｂ Ｂ（ 表 １ 算 子保真 度 对 任 意的 Ａ， Ｂ∈ Ｂ（ ， 义 内积为 （ Ｂ） Ｈ） 定 Ａ， 一Ｔ （ Ｂ）， 得 到 Ｂ（ 上 的一个 内积 ． ｒＡ 则 Ｈ） 我们 称这种
第 ３ ０卷
第 ２ 期
陕 西科 技 大 学 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ａ ｘ ｉ ｅ ｓｔ ｆ Ｓ ｉｎ ｅ＆ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ａ ｎ ｉＵｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｃｅ ｃ ｙ ｅ ｈ ｏｏ ｙ
Ｖ ｏ１ ０ Ｎ ｏ． ．３ ２ Ａ ｐ ． ０１ ｒ２ ２
，
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；
一
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） “ 一 Ｔｒ Ａ （ ｉ ，￡ （
…
） ｉ ，２ … ， Ｎ一 １， ， ），１ ｉ ， ２ ３；
且
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１ ＋ Ｉ Ｉ
Ｉ｝＋ Ｉ 屯Ｉ ＋ … ＋ １Ｔａ Ｉ Ｉ Ｉ
…
Ｉ ＋ Ｉ Ｉ Ｉ
内积 为 Ｈｉ ｅｔ ｃ ｍｉｔ 积 ． 由 此 导 出 的 范 数 为 ｌ ｒ— ｈ ｄ 内 ｂ Ｓ
ｌ 一， Ｘ， Ｉ ｌ ｌ Ａ ／ Ｔ Ａ）一￣ＴｒＡ ） ／ （
若 Ａ 是 Ｈｉ ｅｔ 间 Ｈ 上 的一 个半 正定 线性 算子 ， 满足 ＴｒＡ） ， 称 Ａ是 Ｈ 上 的一个 密度算 ｌ ｒ空 ｂ 且 （ 一１ 则 子 ．我们把 Ｈ 上 的所 有 密度算 子组 成 的集合 记 为 Ｄ（ ， Ｈ） 即 Ｄ（ 一 ｛ ∈ Ｂ（ Ｈ） Ａ Ｈ）『 （ 一１Ａ ≥ ０ ＴｒＡ） ， ） 定 义 １２ 设 Ａ， ［ Ｂ是 Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ 空间 Ｈ 上 的 任意两 个 非零线 性算 子 ， 称 ｂ 则
… Ａ ， — Ｂ Ｂ Ｂｚ … Ｂ ，
则
Ｆ（ ， Ａ Ｂ）
１ ｌ ｌ ＋…＋ｄ … ．Ｉ ＃ ＋。＋ ｒ １ 『 ＋ｄ ‘Ｉ Ｉ Ｎ‘Ｎ Ｉ（Ｔ ）２・）＋‘ … Ｔ （ ＋Ｉ … ｂＴ Ｉ＋ｂ ＋Ｔ （￡２ Ｔ ｚ１｛ ＋ ｒ ＋ ＋Ｉ ； ＋Ｉ Ｊ ２ 。 （ Ｔ 。Ｔ 。 … ， ， ，
Ａ ÷Ｉ√ ，— （ ・ ， 一 （ ・ Ｂ ＋ ） １＋ ）
则它 们之 间 的保真 度 为表示 为
１＋ ２ ・ｂ
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成元 ．
．
研
’
其中 Ｊ ３ 为 ×３单位 矩 阵 ， ｂ为 ８维 Ｂｏ ｈ向量 ， 一 （ ， ， ， ） （ 一１ ２ … ， ） Ｓ ３ ， ｌｃ … ， ， ， ８ 为 Ｕ（ ）的 自伴生
从 而有
（ 一 ，
一
推 论 １ 当 Ｎ 一２时 ， Ｂ可表 示为 Ａ，
Ａ
则 它们 之 间的保 真度 可表 示 为
…
Ｆ （ ， ）一 Ａ Ｂ Ａ — Ａ Ａｚ
￣ ＋（ ） ｌ・ １ 丽 １ ｌ ｌ ／ 一１Ｊ 。 ￣ ＋（ １ Ｎ ／ Ｎ一 ） ５ ．
个 态之 间的二择 一保 真度 测 量 ，给出 了这种 保真 度 的几何 解 释 ， 证 明了 当 Ｎ＝２时 ， 并 二择 一保 真 度等价 于 Ｂ ｒｓ ｕ ｅ 保真 度．算 子理论 是 量子信 息 与计算 的基础 与工 具 ， 也是 泛 函分析 的核 心 内容．在量 子力 学 中，
不 同的算子 代表 不 同 的物 理量 ，算子 的不 同代 数运 算 ， 味 着不 同的 物理 规 律 ，所 以研 究算 子 之 间 的差 意 异 是必 要 的．文献 ［ ］ 出了算 子保真 度 的定 义 ，为 研 究算 子 差 异 提供 了一 个重 要 方 法．本 文 研究 Ｎ 维 ２给
一
￣ＴｒＡ。 ￣ＴｒＢ ） ／ （ ）・ ／ （
２ 算 子保真 度 的表示 引理 １。 任意 一个 Ｎ ×Ｎ 密度矩 阵 Ａ 都 可 以表 示 为 Ｅ
『
Ｎ
Ａ Ｈ 一（√
２ … ， 一 １ 为 Ｓ Ｎ）的 自伴 生成元 ． ， Ｎ ） Ｕ（ 引理 ２ 任 意一个 形如 Ａ—Ａ
） ， 一 １ ２， ； ）ｉ ， ３ Ｄ ） ｉ ， ｚ １， ， ， ｉ 一 ２ ３；
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２１ ０ ２年 ４月
文 章 编 号 ：０ ０ ５ １ （ ０ ２ ０ — １ ５ ０ １ ０ ８ １ ２ １ ）２０ ０—５
密 度 算 子 的保 真 度 的 向量 表 示
张 坤 利 ，曹 怀 信 ，王 敏
（ 西 师 范 大学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ，陕 西 西 安 ７ ０ ６ ） 陕 １０ ２
Ｆ Ａ， ） （ Ｂ 一
为 Ａ， 之 间的保 真度 ． Ｂ
＊
ｌ ！ ：旦 ！ Ｉ
、ＴｒＡ。Ａ）・ ／ （ Ｂ） ／ （＿ ／ ￣ＴｒＢ
收稿 Ｅ期 ： ０ １ １ — ５ ｌ ２ １ － ２２ 基 金 项 目： 国家 自然 科 学 基 金 项 目（ ０ ７ １ ，１ ８ １ ２ ） １５１１ ３ ０ ７２ ４
Ｎ Ｔ Ｎ ）＃
Ｉ Ｉ ；
Ｉ＋…＋ Ｉ ＃ Ｉ Ｉ Ｉ ＋…＋ Ｉ 。； Ｔ Ｉ 其 中 ， （ ６ 一１ ２ … ， ， ， ， ） ， “ Ｔ 同 引理 ３ ．
Ａ （ … 十 ・
ｒ
・ ）
其 中 为 Ｎ ×Ｎ 单 位 矩阵 ， 为 Ｎ。 １ 实 向量 ， 为 Ａ 的 Ｂ ｏ ｈ向量 ， ＝ （ ，２ … ， ｚ ） （ 一１ 一 维 称 ｌｃ ＝ ， 一 ， ｉ ， ＝ Ａ …… Ａ 的 ２＇ 阶密度矩 阵都 可 以表示 为 ３
０ 引 言
近 年来 ， 子信 息光 学 引起 了 人们 的极 大 兴 趣 ，保 真度 是 量 子 光 学 和信 息 科 学 领 域 的一 个 重 要 概 量 念 ， 表示信 息 在传输 过 程 中保 持 原来 状态 的程 度 ， 广 泛应 用 于量 子 通 讯 和量 子 汁算 理 论 研究 中．随 它 并
下面 我们 给 出能用 以上形式 表示 的密 度算子 的保 真度 的 Ｂｏ ｈ向量形式 ． ｌｃ 定理 １ 设 Ａ， Ｂ是 Ｎ × Ｎ 阶密度矩 阵 ， 则它们 之 间的保 真度 可表示 为
Ｆ（ ， Ａ Ｂ）一 ＿＝— — — — — — ＝＝ ＝
￣１ Ｎ一１ ｌ ・ ／ ＋（ ／ ＋（ ）ｌ ￣１ Ｎ一１ Ｉ Ｉ ） 。
，Ｂ 一 （ ＋ ，
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、
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其 中 为 ２× ２单位矩 阵 ， ｂ为 ３维 Ｂ ｏ ｈ向量 ， ＝ （ ， ， ） （ 一１ ２ ３ ， ｌｃ 口 ＝ ， ｉ ， ，）为 Ｐ ｕｉ 阵． ＝ ａ ｌ矩 推论 ２ 当 Ｎ 一３时 ， Ｂ为表 示 为 Ａ，
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ｊ ＿ Ｊ … … ） ， 一 １ ２， ； ）ｉ ， ３ Ｄ ） ｉ １ ２， ； ， 一 ， ３
其 中 Ｊ为 ２ ２单位 矩 阵 ， （ × 一１ ２ ３ ， ，）为 Ｐ ｕｉ 阵 ， １ ２ … ， ａ ｌ矩 Ａ （ 一 ， ， Ｎ）为二 阶密度 算子 ，
着量 子信 息和 量子 计算 理论 的不 断发 展 和完 善 ，它 的研究 领域 不 断扩 大 ，对保 真 度 的相 关研 究 引起 了来
自不 同领 域学 者 的广泛 关 注．文献 ［ ３ １ 引入 了量子 信 道 的保 真 度测量 ，并描 述 了信道 保真度 的性 质 ， 讨论 了信道 保 真度在 量 子信 息科 学方 面 的应用 ； 献Ｅ ］ 出 了 Ｈｉ ｅｔ ｃ ｍｉｔ 文 ２给 ｌ ｒ— ｈ ｄ 内积下 Ｎ 量 子系 统上 的两个 ｂ Ｓ 密度算 子及 纯态 之 间 的信 道保 真度 的二择 一保 真度 定义 ， 义 了两个 线 性算 子 之 间 的算 子 保 真度 ，并证 定 明 了算 子保 真度 除 了一个 规 范化 因子 也满 足所 有 的 Ｊ ｚａＳ四公理 ； ｏｓ 文献 ［ ］ 明了 』一 ３证 ＼ 态量 子 系统 上的两 ，
第 ２期
张 坤 利 等 ： 度 算 子 的 保 真 度 的 向量 表 示 密
１ ）为 Ｓ Ｎ）的 自伴 生成元 ． Ｕ（ 因为 （ 一 １ ２ … ， 一 １ ｉ ， ， Ｎ ）为 Ｓ Ｎ）的 自伴 生成元 ， 以我们 有 Ｕ（ 所
Ｔｒａ ）一 ０， （ ）一 ２ ， ， （ Ｔｒ２ ８ ｉＪ一 １ ２， ， ， … Ｎ 一 １ ．
１ （ ａ ２ ａ ３ ，ａ 一 Ｔｒ Ａ （ 一 ｎ １ ， １） １ （ ａ ｚ （ ， ２， ２） ２ Ｔｒ Ａ （ 一 ｎ ｌ口 ２ ａ ３ ，ｎ 一 ｚ （ Ｉ
；
Ｎ一 （ Ｎ ， Ｎ ， Ｎ ） Ｎ 口 １ 口 ２ ａ ３ ，ａ — Ｔｒ Ａ （ （ ，
一
『
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其 中 为 Ｎ ×Ｎ 单 位矩 阵 ， ｂ为 Ａ， 的 Ｎ。 １ Ｂ ｏ ｈ向量 ． ， Ｂ 一 维 ｌｃ
证 明 因为 Ａ， Ｂ是 Ｎ × Ｎ 阶密度算 子 ， 以 Ａ， 所 Ｂ可 以表示 为
Ａ 卜 一 （√ 卜
・，＝（ √ Ｂ 卜 ） 卜
若） ・，
其 中 为 Ｎ ×Ｎ单 位矩 阵 ， ｂ Ａ， ， 为 Ｂ的 Ｎ １ Ｂ ｏ ｈ向量 ， ，２ … ， ｚ ） （一１ ２ … ， 一 一 维 ｌｃ 一（ １ ， 一 ， ， ， Ｎ。
摘 要 ： 论 了 Ｎ 维 Ｈｉ ｅｔ 间 Ｈ 上 密度 算子 的 保 真度 与 它 们 的 Ｂｏ ｈ向量之 间 的 关 系， 讨 ｌ ｒ空 ｂ ｌｃ
进 而给 出了两个 密度 算子 的保 真度 的 向量表 示形 式．
关键 词 ： 算子保 真度 ；密度 算子 ； ｌｃ Ｂ ｏ ｈ向量
中 图 法 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ７ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ
作 者 简 介 ： 坤 利 （ ５ ） 女 ，陕 西 省 宝 鸡 市 人 ， 读 硕 士 生 ， 究 方 向 ： 子 理 论 张 １８ 一 ， ９ 在 研 算
・
１６・ ０
注 当 Ａ， ∈ Ｄ（ 时 ， Ｂ Ｈ） 有
陕 西科 技 大 学 学报
第３ 卷 Ｏ
Ｆ（ ， Ａ Ｂ）一 — —
… Ｉ＋ ｚ・工 ａ Ｉ … 卜 卜…
・
， Ｊ … ｊ ＋∑ ￡ ・
。
＋
工 …
… 卜＿ ｝ …
＋ ∑
Ｎ— ｌ ’ Ｎ ＝ ｌ ３
∑
ｌ’ ’ ＝ ｌ ２ ３
嵋
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１・ ２ ・ ， Ｎ １ … ｉ
。ｆ ｌ 孚
＋… ＋ Ｉ Ｉ
事实 上 ， 意一 个密 度算 子 Ａ＝Ａ 任 ＝ ＝ 矩阵 ， ， 个 ３ … ｃ 个元 素矩 阵唯一 确定 ．
Ｉ ２ Ｉ ≤ 一 １ 孚 ．
Ａｚ … Ａ 是 由 Ｃ１个 三维 向量 ， 个 ３ 阵 ， 个 ３ 个元 素 ￣ Ｃ 矩 Ｃ 。
Ｈｉ ｅｔ 间 Ｈ 上 密 度 算 子 的 保 真 度 的 具 体 表 示 形 式 ． ｌ ｒ空 ｂ
以下 Ｈ 表 示 Ｈ 维 Ｈｉ ｅｔ 间 ， Ｈ） 示 Ｈ 上 所有 有界 线性 算子 之集 ． ｌ ｒ空 ｂ Ｂ（ 表 １ 算 子保真 度 对 任 意的 Ａ， Ｂ∈ Ｂ（ ， 义 内积为 （ Ｂ） Ｈ） 定 Ａ， 一Ｔ （ Ｂ）， 得 到 Ｂ（ 上 的一个 内积 ． ｒＡ 则 Ｈ） 我们 称这种
第 ３ ０卷
第 ２ 期
陕 西科 技 大 学 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ａ ｘ ｉ ｅ ｓｔ ｆ Ｓ ｉｎ ｅ＆ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ａ ｎ ｉＵｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｃｅ ｃ ｙ ｅ ｈ ｏｏ ｙ
Ｖ ｏ１ ０ Ｎ ｏ． ．３ ２ Ａ ｐ ． ０１ ｒ２ ２
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…
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内积 为 Ｈｉ ｅｔ ｃ ｍｉｔ 积 ． 由 此 导 出 的 范 数 为 ｌ ｒ— ｈ ｄ 内 ｂ Ｓ
ｌ 一， Ｘ， Ｉ ｌ ｌ Ａ ／ Ｔ Ａ）一￣ＴｒＡ ） ／ （
若 Ａ 是 Ｈｉ ｅｔ 间 Ｈ 上 的一 个半 正定 线性 算子 ， 满足 ＴｒＡ） ， 称 Ａ是 Ｈ 上 的一个 密度算 ｌ ｒ空 ｂ 且 （ 一１ 则 子 ．我们把 Ｈ 上 的所 有 密度算 子组 成 的集合 记 为 Ｄ（ ， Ｈ） 即 Ｄ（ 一 ｛ ∈ Ｂ（ Ｈ） Ａ Ｈ）『 （ 一１Ａ ≥ ０ ＴｒＡ） ， ） 定 义 １２ 设 Ａ， ［ Ｂ是 Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ 空间 Ｈ 上 的 任意两 个 非零线 性算 子 ， 称 ｂ 则