2-2动能定理 保守力和非保守力 能量守恒定律
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m'm W G 2 dr rA r
rB
m
dr
m'
r dr
1 1 W Gmm( ) rB rA
rB
B
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
(b) 重力作功
在位移元 功为
y y1
A
D
dr
dr
h
A C
中，重力P做的
y2
P
B
dW P d r
B
ex in nc
机械能 E Ek Ep
W W E E0
ex in nc
——系统的功能定理
系统机械能增量等于外力和非保守内力 作功之和 。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
说明
W W E E0
ex in nc
1）系统能量改变与功的关系； 2）适用惯性系； 3）改变系统机械能方法 外力作功
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
守恒定律的意义
不究过程细节，而能对系统状态下结论。
讨论 下列各物理量中，与参考系有关的物 理量是哪些？（不考虑相对论效应） (1) 质量 (2)动量 (3) 冲量 (4) 动能 (5)势能 ( 6) 功 答 动量、动能、功。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
得 v 2 gl(cos cos 0 )
FT v ds
l
1.53 m s
1
P
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
二
保守力与非保守力 势能
A
rA
m'
1 几种力做功的特点 (a) 万有引力作功
m' 对 m 的万有引力为
r
rB
m
dr
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
3 势能 势能曲线 （a）与质点位置有关的能量． 重力的功 重力势能
W (mgy2 mgy1 ) 引力的功
m' m m' m W ( G ) (G ) rB rA 弹力的功
1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
点A移至B的过程中，重力做的总功
O dy dx
x
W P dr
A
计算得到
W =—（mgy2 -mgy1 )=mgh
重力做功只与质点的起始和终了位置有关，而与所 经过的路径无关。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
( c)
弹性力作功
F
F'
P
o
F kxi
x
x
dW kx dx
Ep 0
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2 保守力与非保守力 保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
m 'm m 'm 引力的功 W (G ) (G ) rB rA 1 2 1 2 弹力的功 W ( kxB kx A ) 2 2
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
W
in
Wi
i
in
in Wc
非保守内 力的功
Wcin ( Epi Epi 0 ) ( Ep Ep0 )
i i
W
ex
in Wnc
( Ek Ep ) ( Ek 0 Ep0 )
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
W W (Ek Ep ) (Ek 0 Ep0 )
0
d
FT v ds
l
P
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
解 dW F d s FT d s P d s P d s mgld cos
mglsin d
0
d
W mgl sin d
非保守内力作功。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2 机械能守恒定律 功能原理 W W (Ek Ep ) (Ek 0 Ep0 )
ex in nc
当W
ex
W
in nc
0 时，有 E E0
－－机械能守恒定律
E Ek Ep
Ek Ep
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
讨论
考虑下列四个实例．你认为哪一个实例中物体
和地球构成的系统的机械能不守恒? (A)物体作圆锥摆运动． (B)抛出的铁饼作斜抛运动（不计空气阻力）．
(C)物体在拉力作用下沿光滑斜面匀速上升．
(D)物体在光滑斜面上自由滑下．
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
3 能量守恒定律 对一个与自然界无任何联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可以相互转换，但是 不论如何转换，能量既不能产生，也不能消 灭。 （1）生产实践和科学实验的经验总结； （2）能量是系统状态的函数； （3）系统能量不变, 但各种能量形式可 以互相转化； （4）能量的变化常用功来量度．
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
解：弹簧、小球和 地球系统
P
R
30
A B 只有保守内力做功
系统 EB E A
o
B
A
取点B为重力势能零点
1 1 2 2 o 即 mv B kR mgR (2 sin 30 ) 2 2 2 2 mg vB 又 kR m g m 所以 k R R
W Fdx
x1
x2
x2
x1
1 2 1 2 kxdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
F
dW
O
x1
x2
dx
x2 x
W Fdx
x1
x2
x1
1 2 1 2 kxdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
v2
W F dr Ft dr Ft ds
A
v1
F
θ
dr
B
v2
W mv dv v1 1 1 2 2 mv2 mv1 2 2
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
1 1 2 2 W mv2 mv1 Ek 2 Ek1 2 2
m'm F G 2 er r
m 移动dr 时，F作元功为
r dr
B
m'm dW F dr G 2 er dr r
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
m从A到B的过程中 F作功：
B m'm W F dr G 2 er dr A A r rA r er dr er dr cos dr
合外力对质点所作的功，等于质点动 能的增量 ——质点的动能定理
注意
功是过程量，动能是状态量；
功和动能依赖于惯性系的选取，
但对不同惯性系动能定理形式相同．
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
例 2 一质量为1.0 kg 的小 球系在长为1.0 m 细绳下端，绳 的上端固定在天花板上．起初 把绳子放在与竖直线成 30o 角 处，然后放手使小球沿圆弧下 落．试求绳与竖直线成 10o 角 时小球的速率．
F d r F d r A ACB ADB l F dr ACB F dr BDA F dr W F dr 0
l
C
D
B
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力 对它所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
Ep mgy
引力势能
m' m Ep G r 弹性势能 1 2 Ep kx 2
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
保守力的功 W ( Ep2 Ep1 ) EP ——保守力作功，势能减少 势能计算
W ( Ep Ep0 ) Ep
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
•
如图所示，子弹射入放在水平光滑地 面上静止的木块而不穿出．以地面为参考系，下列 说法中正确的说法是
v
讨论
（A）子弹的动能转变为木块的动能． （B）子弹─木块系统的机械能守恒． （C）子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的 功． （D）子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产 生的热．
O
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
三
功能原理 机械能守恒定律 和能量守恒定律
1 质点系的功能原理
系统动能定理
W ex W in Ek Ek 0
in Wnc
讨论 势能是状态的函数 Ep Ep ( x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关．
势能是属于系统的． 势能差与势能零点选取无关．
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
（b）势能曲线
Ep mgz
1 2 Ep kx 2
m' m E p G r
Ep
Ep
Ep
利用功能关系解题步骤
1）选系统，看运动； 2）查受力，分析功； 3）审条件，用定理；
4）明状态，列方程。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
例 一轻弹簧, 其一端 P R 系在垂直放置的圆环的顶 30 点P，另一端系一质量为m A o 的小球, 小球穿过圆环并在 环上运动(μ =0)。开始球 静止于点 A, 弹簧处于自然 B 状态，其长为环半径R； 当球运动到环的底端点B时，球对环没有压 力。求弹簧的劲度系数。
0
FT v ds
l
mgl(cos cos 0 )
P
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
m 1.0 kg
0 30
o
l 1.0 m o θ 10
0
d
W mgl(cos cos0 ) 1 2 1 2 由动能定理 W mv mv0 2 2
dri
i
F
B
*
dr
dW F cos ds dr1 1 F 1 * A dW F dr B B W F dr F cos ds
A A
Fi
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
3 质点的动能定理
dv 而 Ft m dt
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
一
F 对 r 积累 W，动能定理 功 动W F cos r F r
F
r
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2 变力的功
dW F cos dr ds dr
rB
m
dr
m'
r dr
1 1 W Gmm( ) rB rA
rB
B
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
(b) 重力作功
在位移元 功为
y y1
A
D
dr
dr
h
A C
中，重力P做的
y2
P
B
dW P d r
B
ex in nc
机械能 E Ek Ep
W W E E0
ex in nc
——系统的功能定理
系统机械能增量等于外力和非保守内力 作功之和 。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
说明
W W E E0
ex in nc
1）系统能量改变与功的关系； 2）适用惯性系； 3）改变系统机械能方法 外力作功
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
守恒定律的意义
不究过程细节，而能对系统状态下结论。
讨论 下列各物理量中，与参考系有关的物 理量是哪些？（不考虑相对论效应） (1) 质量 (2)动量 (3) 冲量 (4) 动能 (5)势能 ( 6) 功 答 动量、动能、功。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
得 v 2 gl(cos cos 0 )
FT v ds
l
1.53 m s
1
P
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
二
保守力与非保守力 势能
A
rA
m'
1 几种力做功的特点 (a) 万有引力作功
m' 对 m 的万有引力为
r
rB
m
dr
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
3 势能 势能曲线 （a）与质点位置有关的能量． 重力的功 重力势能
W (mgy2 mgy1 ) 引力的功
m' m m' m W ( G ) (G ) rB rA 弹力的功
1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
点A移至B的过程中，重力做的总功
O dy dx
x
W P dr
A
计算得到
W =—（mgy2 -mgy1 )=mgh
重力做功只与质点的起始和终了位置有关，而与所 经过的路径无关。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
( c)
弹性力作功
F
F'
P
o
F kxi
x
x
dW kx dx
Ep 0
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2 保守力与非保守力 保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
m 'm m 'm 引力的功 W (G ) (G ) rB rA 1 2 1 2 弹力的功 W ( kxB kx A ) 2 2
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
W
in
Wi
i
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in Wc
非保守内 力的功
Wcin ( Epi Epi 0 ) ( Ep Ep0 )
i i
W
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( Ek Ep ) ( Ek 0 Ep0 )
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
W W (Ek Ep ) (Ek 0 Ep0 )
0
d
FT v ds
l
P
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
解 dW F d s FT d s P d s P d s mgld cos
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0
d
W mgl sin d
非保守内力作功。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2 机械能守恒定律 功能原理 W W (Ek Ep ) (Ek 0 Ep0 )
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当W
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W
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0 时，有 E E0
－－机械能守恒定律
E Ek Ep
Ek Ep
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
讨论
考虑下列四个实例．你认为哪一个实例中物体
和地球构成的系统的机械能不守恒? (A)物体作圆锥摆运动． (B)抛出的铁饼作斜抛运动（不计空气阻力）．
(C)物体在拉力作用下沿光滑斜面匀速上升．
(D)物体在光滑斜面上自由滑下．
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
3 能量守恒定律 对一个与自然界无任何联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可以相互转换，但是 不论如何转换，能量既不能产生，也不能消 灭。 （1）生产实践和科学实验的经验总结； （2）能量是系统状态的函数； （3）系统能量不变, 但各种能量形式可 以互相转化； （4）能量的变化常用功来量度．
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
解：弹簧、小球和 地球系统
P
R
30
A B 只有保守内力做功
系统 EB E A
o
B
A
取点B为重力势能零点
1 1 2 2 o 即 mv B kR mgR (2 sin 30 ) 2 2 2 2 mg vB 又 kR m g m 所以 k R R
W Fdx
x1
x2
x2
x1
1 2 1 2 kxdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
F
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O
x1
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W Fdx
x1
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1 2 1 2 kxdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
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W F dr Ft dr Ft ds
A
v1
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B
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W mv dv v1 1 1 2 2 mv2 mv1 2 2
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
1 1 2 2 W mv2 mv1 Ek 2 Ek1 2 2
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m 移动dr 时，F作元功为
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B
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2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
m从A到B的过程中 F作功：
B m'm W F dr G 2 er dr A A r rA r er dr er dr cos dr
合外力对质点所作的功，等于质点动 能的增量 ——质点的动能定理
注意
功是过程量，动能是状态量；
功和动能依赖于惯性系的选取，
但对不同惯性系动能定理形式相同．
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
例 2 一质量为1.0 kg 的小 球系在长为1.0 m 细绳下端，绳 的上端固定在天花板上．起初 把绳子放在与竖直线成 30o 角 处，然后放手使小球沿圆弧下 落．试求绳与竖直线成 10o 角 时小球的速率．
F d r F d r A ACB ADB l F dr ACB F dr BDA F dr W F dr 0
l
C
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质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力 对它所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
Ep mgy
引力势能
m' m Ep G r 弹性势能 1 2 Ep kx 2
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
保守力的功 W ( Ep2 Ep1 ) EP ——保守力作功，势能减少 势能计算
W ( Ep Ep0 ) Ep
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
•
如图所示，子弹射入放在水平光滑地 面上静止的木块而不穿出．以地面为参考系，下列 说法中正确的说法是
v
讨论
（A）子弹的动能转变为木块的动能． （B）子弹─木块系统的机械能守恒． （C）子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的 功． （D）子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产 生的热．
O
x
O
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O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
三
功能原理 机械能守恒定律 和能量守恒定律
1 质点系的功能原理
系统动能定理
W ex W in Ek Ek 0
in Wnc
讨论 势能是状态的函数 Ep Ep ( x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关．
势能是属于系统的． 势能差与势能零点选取无关．
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
（b）势能曲线
Ep mgz
1 2 Ep kx 2
m' m E p G r
Ep
Ep
Ep
利用功能关系解题步骤
1）选系统，看运动； 2）查受力，分析功； 3）审条件，用定理；
4）明状态，列方程。
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
例 一轻弹簧, 其一端 P R 系在垂直放置的圆环的顶 30 点P，另一端系一质量为m A o 的小球, 小球穿过圆环并在 环上运动(μ =0)。开始球 静止于点 A, 弹簧处于自然 B 状态，其长为环半径R； 当球运动到环的底端点B时，球对环没有压 力。求弹簧的劲度系数。
0
FT v ds
l
mgl(cos cos 0 )
P
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
m 1.0 kg
0 30
o
l 1.0 m o θ 10
0
d
W mgl(cos cos0 ) 1 2 1 2 由动能定理 W mv mv0 2 2
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B
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dW F cos ds dr1 1 F 1 * A dW F dr B B W F dr F cos ds
A A
Fi
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
3 质点的动能定理
dv 而 Ft m dt
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
一
F 对 r 积累 W，动能定理 功 动W F cos r F r
F
r
2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
2 变力的功
dW F cos dr ds dr