初中数学精讲讲练《二次函数综合题》PPT课件

【思维教练】要求GD＋GB的值最小，解决方法为找 其中一点的对称点，将两条线段转化成一条线段求解， 即先找点B关于y轴的对称点B′，再连接B′D，则B′D 与y轴的交点即为所求的G点，可先求直线B′D的解析 式，再求其与y轴的交点即可．
(3)存在．如解图②，取点B关于y轴的对称点B′，则
点B′的坐标为(－1，0)．连接B′D，直线B′D与y轴的
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(4)在直线l上是否存在一点F，使 得△BCF的周长最小，若存在，求 出点F的坐标及△BCF周长的最小 值；若不存在，请说明理由；
【思维教练】因为BC的长为定值，要使△BCF的周长最 小，即要使CF＋BF的值最小，由点A，B关于直线l对称， 可知AC与l的交点即为点F，即可得CF＋BF最小．
(4)存在．要使△BCF的周长最小，即BC＋BF＋CF
(2)如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，
0)，连接CE，
则EA＝4－e.
在Rt△COE中，根据勾股定理得
CE2＝OC2＋OE2＝22＋e2， ∵AE＝CE，
例1题解图①
∴(4－e)2＝22＋e2，
解得e＝ 3 ，则点E的坐标为( 3 ，0)．
2
2
(3)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GD＋ GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在， 请说明理由；
22
又由抛物线y＝－ 1 x2＋ 5 x－2得：
22
y＝－ 1 (x2－5x)－2＝－ 1 (x－ 5 )2＋ 9 ，
2
2
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∴抛物线顶点D的坐标为( 5 ，9 )．
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(2)设点E为x轴上一点，且AE＝CE，求点E的坐标；
【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为(e， 0)，要求点E的坐标，已知AE＝CE，需先分别用含 e的式子表示出AE和CE，由于A点坐标(1)中已求得， 则EA＝4－e，由题图可知O、E、C三点可构成 Rt△COE，结合C点坐标，利用勾股定理即可表示 出CE的长，建立方程求解即可．
(1)求抛物线的解析式 及顶点D的坐标；
【思维教练】已知直线y＝ 1 x－2经过点A、C，结 2
合题干，可求得A、C两点的坐标，结合B(1，0)，代 入即可求出抛物线解析式，将抛物线解析式配方成
顶点式，即可求得顶点D的坐标．
解：(1)对于直线 y＝ 1 x－2，令y＝0，得x＝4， 2
令x＝0得y＝－2，
形三边关系得SD－SB<BD，
当S与D、B在同一条直线上时，SD－SB＝BD，
∴SD－SB≤BD，即当S
在DB的延长线上时，
SD－SB最大，最大值为BD.
如解图④，
例1题解图④
∵B(1，0)，D( 5 ， 9 )，
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∴易得直线BD的解析式为y＝ 3 x－ 3 ，
4
4
当x＝0时，y＝－ 3 ，
4
即当点S的坐标为(0，－ 3 )时，SD－SB的值最大． 4
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∴点A(4，0)，点C(0，－2)，
已知点B(1，0)，将A、B、C三点的坐标代入抛物
线的解析式得：
16a 4b c 0 a b c 0 , c 2
解得
a
=
-
1 2
b
=
5 2
,
c = -2

∴抛物线的解析式为y＝－ 1 x2＋ 5 x－2.
(6)若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作 y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h，线 段HK＝d.
①求d关于h的函数关系式； ②求d的最大值及此时H点的坐标．
【思维教练】由题可得点H的横坐标为h，①分 别将h代入抛物线及直线AC的解析式中，即可得 到点H、K的纵坐标，再由点H在点K的上方，表 示出HK，可得到d关于h的函数关系式；②利用二 次函数的性质求最值，即可得d的最大值．
二次函数综合题
类型一 与线段、周长有关的问题 类型二 与面积有关的问题 类型三 与特殊三角形有关的问题 类型四 与特殊四边形有关的问题
类型一 与线段、周长有关的问题
典例精讲
例 1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于 点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝ 1 x－2经过
2 点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.
【思维教练】要使SD－SB的值最大，则需分两种情 况讨论：①S、B、D三点不共线时构成三角形，由 三角形三边关系得到SD－SB<BD；②当三点共线时， 有SD－SB＝BD.从而得到当点S在DB的延长线上时 满足条件，求出直线BD的解析式后，求出直线BD 与y轴的交点坐标即可．
(5)存在．当S与D、B不在同一条直线上时，由三角
(6)①如解图⑤，∵点H在抛物线上， ∴设点H的坐标为(h，1 h2 5 h 2 )，
22 ∵HK∥y轴，交AC于K，
∴点K的坐标为(h，1 h 2)， 2
∵点H在点K的上方，
∴HK= d ( 1 h2 5 h 2)
22
(1 h 2) 1 h2 2h
2
2
2
2
得 y 1523，
22
4
∴点F的坐标为( 5 ，－ 3 )．
2
4
在Rt△AOC中，AO＝4，OC＝2，根据勾股定理得
AC＝2 5 ， ∴△BCF周长的最小值为BC＋AC＝ 5 2 5 3 5.
(5)在y轴上是否存在一点S，使得SD－SB的值最大， 若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；
最小，在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理
得BC＝ 12 22 5 为定值，
∴当BF＋CF最小时，C△BCF最小． ∵点B与点A关于直线l对称，
∴AC与对称轴l的交点即为所
求的点F，如解图③所示．
例1题解图③
根据抛物线解析式可得对称轴l为直线 x＝ 5 .
2
∴将x＝ 5 代入直线 y＝ 1 x－2，
例1题解图⑤
②由 d 1 h2 2h 1 (h2 4h) 1 (h 2)2 2
交点G即为所求的点．
设直线B′D 的解析式为
y＝kx＋d(k≠0)，其中
D( 5 ， 9 )，
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k d

5 2
k

d
0 9
8
,
解得
k d

9 28 9 28
.
例1题解图②
∴直线B′D的解析式为y＝ 9 x＋ 9 ， 28 28
令x＝0，得y＝ 9 ， ∴点G的坐标为2(08，9 )．