多尺度几何分析概论

多尺度几何分析概论

摘要：以函数的稀疏表示为主线，详细介绍了各种多尺度几何分析产生的背景、发展历程和逼近性能，并分析了它们各自存在的优缺点，最后指出了其发展方向。

关键词：多尺度几何分析；奇异性；正则性；非线性逼近；有界变差函数

0引言

自1807年Fourier 提出任意一个周期为2π的函数都可以表示成一系列三角函数的代数和，到今天蓬勃发展的小波分析，科学家们的研究目的是对不同的函数空间提供一种直接、简便的分析方式，即寻求函数在某一特定空间下，在某种基下的最优逼近。逼近的误差体现了用此基表示函数的稀疏程度或是分解系数的能量集中程度。

Fourier分析的思想是将函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加，即将函数用一簇三角基展开，将原函数在时域中的讨论转换为对这个叠加权系数的讨论，即Fourier 变换在频域中的研究。这种三角体系展开方式的局限性促使人们去寻找其他的正交体系——小波分析。小波分析的地位在数学界是独一无二的，它较精确的时频定位特性，成为处理非平稳信号的有利工具；也证明了小波分析比Fourier 分析更能稀疏地表示一段分段光滑或有界变差函数。这是小波分析成功的一个关键原因。但是，由于张量积小波只具有有限方向数，它主要适合表示一维奇异性的对象，当它在处理二维或更高维奇异性时，就显得无能为力。小波在表示这些函数时并不是最优的或者最稀疏的表示方法。为了更好地处理高维奇异性，一类带有方向性的稀疏表示方法——多尺度几何分析应运而生。它的产生符合人类视觉皮层对图像有效表示的要求，即局部性、方向性和多尺度性。它的目的就是为具有面奇异或线奇异的高维函数找到最优或最稀疏的表示方法。目前，已有的多尺度几何分析方法有Emmanuel J Candès等人提出的脊波变换(ridgelet transform)、单尺度脊波变换(monoscale ridgelet transform)、curvelet变换(curvelet transform)，E. Le Pennec等人提出的bandelet 变换，以及M.N.Do 等人提出的contourlet变换。另外，还有一些多尺度分析方法，如David Donoho 提出的wedgelet、beamlet等。本文根据以上方法出现的时间顺序来讨论其逼近性能的异同。

在图像处理方面，图像的稀疏表示在对图像数据的存储、传输中得到了广泛的应用。由于余弦基和小波基能够用较少的系数达到图像较精确的非线性逼近，成为图像稀疏表示的重要方法。如今，多尺度几何分析的出现，又为图像的稀疏表示提供了一个全新而又有效的方法。

1奇异性分析

本文称无限次可导的函数是光滑的或没有奇异性的。若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性。图像的奇异性或非正则结构通常包含了图像的本质信息。例如图像亮度的不连续性表示景物中的边缘部分，这是认识图中最重要的部分。图像的奇异性是常见的，也是重要的。在自然界中光滑物体的边界往往体现为沿光滑曲线的奇异性，并不仅是点的奇异性。在数学上，通常用Lipschitz指数刻画信号的奇异性大小。

3多尺度几何分析

3．1脊波变换

脊波理论的基本框架是由E.J Candès 建立，并与D.L.Donoho等人在其后续工作中逐步拓展和完善。脊波变换是一种非自适应的高维函数表示方法，对含直线奇异的多变量函数能够达到最优的逼近阶。脊波理论的提出在多尺度几何分析史上产生了深远的影响，具有不可估量的价值。脊波变换的核心主要是经过radon变换把线状奇异性变换成点状奇异性。小波变换能有效地处理在radon域的点状奇异性。其本质就是通过对小波基函数添加一个表征方向的参数得到的，所以它不但与小波一样有局部时频分析的能力，还具有很强的方向选择和辨识能力，可以非常有效地表示信号中具有方向性的奇异特征。这是小波方法所不能得到的。

3．1．2数字脊波的实现

在实际应用中，脊波变换的离散化及其算法实现是一个具有挑战性的问题。由于脊波的径向性质，对连续公式直接离散实现时要在极坐标中进行插值。这样的变换结果或者是冗余的，或者不能完全重构。脊波变换数字实现的优劣很大程度上取决于其中radon变换数字实现的重构精度。为此，人们提出了各种各样的方法，大体上可分为在Fourier域利用投影切片定理的方法、多尺度方法和代数方法三类。

近似脊波变换建立在所谓的伪极坐标网格基础上。首先对n×n的离散点列作二维FFT，并对得到的包含n×n个点的频域点列作径向划分；然后估计各个径向直线方向上n个数据点的值。在每个径向方向都有n个节点，再对这n个点列作一维IFFT，从而得到对应于图像域的2n 2个点列，对这些点列作均匀化插值和重组就得到一次radon变换的结果。根据图1即可实现脊波变换。但其有两点不足：在实现频率平面中直角坐标向极坐标变换的过程中引入误差是明显的；它具有总数为四倍的数据冗余性。因此这种脊波变换不适合图像编码压缩。

M.N.Donoho等人提出另一种数字脊波实现方法，称为有限脊波变换(FRIT)。首先用有限radon

变换将一幅图像变换到FRAT域中，再对每一个投影序列进行离散小波变换(DWT),r k[0],r k,…,r k[p-1]。其中方向k是固定的。这种方法可以同时做到可逆性与非冗余性，并且是完全重构的。但由于有限脊波变换是基于有限radon变换构造的，有限radon变换在表达直线时有折叠效应，有限脊波变换在几何上不是真实的。

Donoho和Flesia为了克服有限脊波变换的折叠效应，构造了一种数字脊波变换。它能用真实的脊函数进行分解和合成，并且具有精确重构和框架性质。这种脊波变换采用的radon变换，称做fast slant stack。首先进行fast slant stack运算，然后进行二维快速小波变换。这种构造使得离散物体(离散脊波、离散radon变换、离散伪极坐标Fourier域)具有与连续脊波理论平行的内在联系(脊波、radon变换、极坐标Fourier域)。 Donoho构造的脊波变换在几何上是真实的，即在此处radon 变换的确是沿直线积分的，从而避免了折叠效应。在创建系数矩阵时，它将一个n×n的矩阵变换为2n×2n的矩阵，因此冗余因子为4。这在一定程度上影响了运算速度。这种脊波变换在实现上的缺点是正交脊波系数衰减速度相对较慢。

3．1．3脊波逼近能力

定理4设f是C r的函数，沿某一直线是不连续的，除此之外均为r阶连续。从脊波级数中选取对应于前M个最大系数的项，对f所作的非线性逼近误差为即逼近误差显示似乎不存在间断，这个结果对任意r阶光滑都是成立的。该方法的显著特点是无须知道间断的位置。类似地，一维小波变换也无须先验地知道点奇异的位置。因而对于具有直线奇异的函数，脊波的表示是最优的。

3．1．4小结与展望

从上面的分析可知，脊波在分析直线奇异的分段光滑的高维函数方面是优秀的，脊波已经成功应用于数学中的函数逼近、信号检测、特征提取、目标识别，以及图像恢复、去噪、增强等方面。在脊波分析的框架下，结合二进小波变换的局部脊波变换，用于检测直线的方法，应用于方向性较强的图像获得了良好的检测效果。但是必须看到，对于自然物体而言，奇异的边界是曲线的，经过radon变换后仍然为曲线，而小波对曲线不具备稀疏表示的能力。因此脊波不能够处理曲线奇异的高维函数。另外，脊波的数字化实现仍然是一个有待进一步提高的问题。如何很好地解决冗余度和精度，提高运算速度，是制约着脊波走向广泛应用的主要因素。

拥有广阔的应用前景。