2020年贵州省中考数学基础知识复习课件：第27讲 尺规作图

基础点对点
2.（过一点作已知直线的垂线）如图，已知△ABC，用尺规作出BC边上的高 AD.(保留作图痕迹，不写作法)
解：线段AD即为所求.
3.（利用圆的性质作图）如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外；请仅用无刻 度的直尺按要求画图,在图中画出△ABC的三条高线的交点.
解：如图，点P即为所求.
4.（作一个角等于已知角，作已知角的平分线）如图，已知∠α.
3.（2019·菏泽）如图，四边形ABCD是矩形. （1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法， 保留作图痕迹）； （2）若BC=4，∠BAC=30°，求BE的长.
解：（1）如图所示. （2）∵四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线， ∴AE=EC，∠CAB=∠ACE=30°， ∴∠CEB=60°，∴∠ECB=30°.
作法：(1)分别以点A，B为圆心，大于
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AB的长为半径在线段AB上下两侧画弧，
交点分别为点M，N；
(2)作直线MN.则直线MN为线段AB的垂直平分线(直线MN与AB的交点C即为
线段AB的中点).
5.过一点作已知直线的垂线 (Ⅰ)“已知直线l及直线外一点P，作直线l的垂线且经过点P”, 其作图痕迹和作法： 作法： (1)以点P为圆心，大于P到直线l距离的长为半径画弧，与直线l相交于点A,B；
解：如图所示，PQ即为所求.
3.(2019·无锡)按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹. (1)如图1，A为⊙O上一点，请用直尺(不带刻度)和圆规作出⊙O的内接正方形； (2)我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分 线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所 在直线相交于一点. 请运用上述性质，只用直尺(不带刻度)作图.
(1)画一个∠AOB=∠α; (2)画∠AOB的平分线OC. 解：（1）如图，∠AOB为所作. （2）如图，OC为所作.
焦点1 尺规作图
样题1 如图，AB∥CD，以点A为圆心、小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、
AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于12EF的同样长为半径作圆弧，两弧交
于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，则∠CMA的度数为( B )
3.作已知角的平分线 “已知∠AOB，作∠AOB的平分线”， 其作图痕迹和作法： 作法： (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA,OB于点M，N；
(2)分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相 交于点P； (3)画射线OP.则OP为∠AOB的平分线.
4.作线段的垂直平分线(中点) “已知线段AB，作线段AB的垂直平分线(或中点)”， 其作图痕迹和作法：
2.作一个角等于已知角 “已知∠A，作一个角，使它等于∠A”,其作图痕迹和作法：
作法： (1)以点A为圆心，任意长为半径画弧，交∠A的两边于点M，N； (2)画射线OP，以点O为圆心，AN(或AM)长为半径画弧，交OP于点G； (3)以点G为圆心，MN长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点H； (4)画射线OH.则∠GOH为所求作的角.
(2)由(1)可知:PA+PB的最小值即为A′B的长,连接OA′、OB、OA. ∵A′点为点A关于直线MN的对称点,∠AMN=30°， ∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°. 又B为A෢N的中点， ∴A෢B=B෢N，
∴∠BON=∠AOB=12∠AON=12×60°=30°， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°.
则符合要求的作图痕迹是( D )
焦点2 利用网格的特性作图
样题2 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度 的直尺分别在图1、图2中画出△ABC的AB边上的高.
解：图1、图2中的线段CD即为所求.
变式训练
2.请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作 图，过点P向线段AB引平行线.
(2)分别以点A，B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧交于点M； (3)作直线PM.则直线PM为所求作直线l的垂线.
(Ⅱ)“已知直线l及直线上一点P，作直线l的垂线且经过点P”, 其作图痕迹和作法：
作法： (1)以点P为圆心，以适当长为半径画弧，与直线l相交于点A,B； (2)分别以点A，B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N； (3)作直线MN.则直线MN为所求作直线l的垂线且经过点P.

方法指导
在正方形网格中作图，需根据正方形的性质，结合勾股定理或者三角函 数求相关线段或角，再根据所求结果作图.
体验贵阳中考
命题点1 尺规作图（10年2考）
1.(2018·贵阳)如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD= 3，P是BC边上的一点， 且BP=2CP. (1)用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE (保留作图痕迹，不写作法)； (2)如图②，在(1)的条件下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；
圆心在边AC上.
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(1)线段AB的长等于___2___；
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足
∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明).
解：（1）
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(2)如图，取圆与网格线的交点E，F，连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格
EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，
∴AP平分∠CAB，∴∠CAM=∠BAM=35°.
∵AB∥CD，∴∠CMA=∠MAB=35°.
［点评］此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，
正确得出∠CAM=∠BAM是解题关键.
变式训练
1.已知△ABC(AC<BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，
又MN=4,∴OA′=OB=12MN=12×4=2. ∴在Rt△A′OB中，A′B= 22+22=2 2, 即PA+PB的最小值为2 2.
命题点2 创新作图(10年1考)
5.（2010·贵阳）如图，方格纸中每个小正方格都是边长为1的正方形，我们把 以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，图中四边形ABCD就是一个格 点四边形. （1）图中四边形ABCD的面积为__1_2___. （2）在所给的方格纸中画一个格点三角形EFG， 使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积.
解：（1）12［∵AD∥BC，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴面积为4×3=12.］ (2)如图，△EFG即为所求.
延伸训练
6.(2019·天津)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格
点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A，B的圆的
(3)如图③，在(2)的条件下，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不 添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？ 如果能，说明理由，并写出两种方法(指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移 距离).
解：(1)依题意作出图形如图所示.
(2)EB平分∠AEC.理由： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=3.
线相交于点D，连接DO并延长，交⊙O于点Q，连接QC并延长，与点B，O的
连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB.
培养核心素养
7.德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形是尺规作图法，并给出了 可用尺规作图的正多边形的条件.下面是高斯正十七边形作法的一部分：“如图， 已知AB是圆O的直径，分别以A，B为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点C，
∵点E是CD的中点，∴DE=CE=12CD=1.
AD=BC， 在△ADE和△BCE中，ቐ∠C=∠D=90°，
DE=CE， ∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴∠AED=∠BEC.
在Rt△ADE中，AD= 3，DE=1，
∴tan∠AED=ADDE= 3， ∴∠AED=60°， ∴∠BEC=∠AED=60°. ∵∠AEB=180°-∠AED-∠BEC=60°=∠BEC， ∴EB平分∠AEC.
∵BC=4，∴BE=433.
4.(2017·六盘水)如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上， ∠AMN=30°，B为A෢N的中点，P是直径MN上一动点. (1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕 迹); (2)求PA+PB的最小值.
解：(1)如图，P点即为所求作的点. (找B点关于直径MN的对称点也可，或用尺规过直线外一点作已知直线的垂线， 找A点或B点的对称点均可.)
基础点对点
1.(尺规作图的定义)尺规作图是指( D )
A.用直尺和圆规作图 B.用直尺规范作图 C.用刻度尺和圆规作图 D.用没有刻度的直尺和圆规作图
考点2 五种基本尺规作图
1.作一条线段等于已知线段 “已知线段a，作一条线段，使它等于a”，其作图痕迹和作法：
作法： (1)作射线OP； (2)以点O为圆心，线段a的长为半径画弧，与OP交于点M.则OM为所求作的线 段.
①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F. ②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶 点上，作△ABC的高AH.
解：(1)如图1，连接AO并延长交⊙O于点C， 作AC的中垂线交⊙O于点B，D，则四边形ABCD即为所求. (2)①如图2，连接AC，BD交于点O，连接EB交AC于点G， 连接DG并延长交CB于点F，F即为所求. ②如图3，AH即为所求.
第七单元 图形的变化
第27讲 尺规作图
思维导图
考点导学
考点1 尺规作图
1.尺规作图:限定用直尺(没有刻度)和圆规作图. 2.作图题的一般步骤 (1)已知； (2)求作； (3)分析； (4)作法； (5)证明； (6)讨论. 其中步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
(3)∵BP=2CP，BC= 3，
∴CP= 33，BP=233.
在Rt△CEP中，tan∠CEP=CCPE= 33， ∴∠CEP=30°， ∴∠BEP=30°，∴∠AEP=90°. ∵CD∥AB，∴∠F=∠CEP=30°.
在Rt△ABP中，tan∠BAP=ABPB= 33， ∴∠PAB=30°，∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB. ∵CB⊥AF，∴AP=FP， ∴△AEP≌△FBP(AAS)， ∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形. 变换的方法为：将△BPF绕点P顺时针旋转120°和△EPA重合，然后①沿PE折叠; ②沿AE折叠.
D两点…”.若AB长为2，则图中弧CAD的长为( C )
A.13π C.43π
B.23π D.83π
A.30° B.35° C.70° D.45°
［解析］直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出∠CAM=∠BAM=35°，即 可得出答案. ∵AB∥CD，∠ACD=110°，∴∠CAB=70°. ∵以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F
为圆心，大于
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延伸训练
2.（2019·花溪区一模）下面是一道确定点P位置的尺规作图和作图过程. 如图1，直线l1与l2相交于点O，A，B是l2上两点，点P是直线l1上的点，且 ∠APB=30°，请在图中作出符合条件的点P，作法：如图2. （1）以AB为边在l2上方作等边△ABC； （2）以C为圆心，AB长为半径作⊙C交直线l1于P1，P2两点， 则P1，P2就是所作出的符合条件的点P. 请回答：该作图的依据是 _等___边__三__角__形__的___定__义__，__到___圆__心__的__距___离__等__于__半___径__的__点__在___圆__上_ .