AHP层次分析法解析

第一单元 层次分析法—AHP 简介
(The Analgtic Hierarachy Process----AHP)
前言
最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。

事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：——人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP 产生的背景。

匹兹堡大学Saaty 教授于七十年代中期提出层次分析法A HP 。

于80年代初由Saaty 的学生介绍到我国。

层次分析AHP 的特点：
1. 输入信息主要是决策者的选择和判断。

决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；
2. 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；
3. 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析；
4. 系统性：
人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP 把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP 原理，需要深刻的数学背景。

好在我们只重应用，并不过多涉及AHP 的数学背景。

AHP 的主要不足在于：
1. AHP 只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。

规划论——采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。

AHP ——从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP 的结果显然靠不住，所以，AHP 中通常是群组判断方式。

尽管AHP 在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP 简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。

§1 AHP 预备知识（一）
1. 特征根与特征向量
设()n m ij a A ⨯=为n 阶方阵，若存在常数λ和非零n 维向量),,,(21n g g g g
=，使得
g g A
λ= (1)
则称，λ是矩阵A 的特征根（或特征值），非零向量g
是矩阵A 关于特征根λ的特征向量。

1.1 特征根的求法
由（1）得()00=-⇒=-g E A g g A
λλ，这是一个n 元一次线性齐次方程组，按题意该方程组有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即
0=-E A λ （2）
称（2）式为矩阵A 的特征方程，它是一个一元n 次方程，由代数基本定理知，该方程有且只有n 个根。

2. 重量模型
设n u u u ,,,21 为n 个物体，重量分别是n g g g ,,,21 。

但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值：
j i ij g g a =
设准则C 为重量，问题是：
已知),1(n j i a ij ≤≤，在准则C 下对元素n u u u ,,,21 排序，也就是按其重量大小排序已知。

()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==⨯n
n n n n n m
n ij g g g g g g g g g g g g g g g g g g a A
2
1
2221212111 显然ij a 满足（1）（2）： （1）0>ij a
（2）ji
ij a a 1
=
（3）ik jk ij a a a =⋅
但是，（3）式通常不被满足，满足（1）、（2）的A 为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的()ij a 称为一致性判断矩阵。

问题是：已知判断矩阵A ，在准则C 下对n 个物体排序。

即按重量大小排序。

如果，j i ij g g
a =是，i g ，j g 是重量的精确值，此时（3）式必定成立，即A 是一致
性矩阵。

令
()T
n g g g g 21=
则ng Ag =
显见n 是方阵A 的特征根，g 是A 的与n =λ对应的特征向量；事实上此时不难验证：n 是方阵A =(a ij )的最大特征根，其余n -1个特征根全为零，而g 是A 的与最大特征根n 对应的特征向量。

（证明见附录）g 的n 个分量是物体的相对重量，因此，可按此对n u u u ,,,21 排序。

如果对矩阵A 有一个小的扰动，即ij a 不再是真实重量的比值，这时显然A 不满足一致性条件，此时A 的最大特征根m ax λ不再是n ；因扰动很小，自然m ax λ离n 不远，这时m ax
λ对应的特征向量虽然不会是n 个物体的真实重量()T
n g g g g ,,,21 =，但是，变动也不会太大。

我们设想：如果扰动不大，则m ax λ离n 就不远，此时m ax λ对应的特征向量g '与g 差不多，如果g '不改变g 的各分量的大小次序，则g '同样给出n 个物体n u u u ,,,21 按重量大小的真实排序。

这样，对不满足一致性的正互反矩阵n n ij a A ⨯=)(，我们求其最大特征根m ax λ，再求与m ax λ对应的特征向量g ，则可按g 对n 个物体n u u u ,,,21 按重量大小排序。

但是，这一番理论有几个疑点：①当A 不满足一致性时，A 还有没有最大正的特征根；②既使A
有最大特征根，那么，这个最大特征根m ax λ对应的特征向量的全部分量能否还是正数？因为，该特征向量的各个分量对应的是n 个物体的相对重量（特征向量乘一个非零常数仍是特征向量）。

因为矩阵代数中Perro —Frobineus 理论明确地回答了这个问题。

Perro-Frobineus 定理：
1. 正矩阵存在重数为1重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是帷一的。

（证明略）
Perron 定理明白地告诉我们，对正的互反矩阵A ，既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是帷一的。

但是，我们能否按这个“归一化”后是帷一的特征向量对n 个物体按重量大小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A 的最大特征根m ax λ=n 对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？这个问题太难了，人们简直难于正面明确地回答，而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答。

那就是对判断矩阵()ij a A =的一致性满意程度进行检验：
我们说过，由于对A 不大的扰动，最大特征根离n 不应太远，所以一致性检验自然与n 有关。

我们可以证明：只要A 的一致性不被满足，那么A 的最大特征根m ax λ一定比n 大，即m ax λ–n >0。

（证明略） 令
1..max --=
n n
I C λ
显然，我们希望..I C 尽量小；但是，..I C 小到什么程度，才能使
m ax λ与n 对应的特征向
量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回答这个问题。

为此，Saaty 给出了平均一致性检验值..I R 。

我们重复1000次，对随机判断矩阵A 的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下：
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 R.I . 0
0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
令 .
..
...I R I C R C =
当1.0..<R C 时，认为判断矩阵A 的一致性是可以被接受的。

亦即当
..1.0..1.0..I R I C R C <<即时，就是说，当给定的判断矩阵)(ij a A =的一致性指标C .I.不超
过平均随机一致性指标R.I.的0.1倍时，认为判断矩阵)(ij a A =的一致性是可以被接受的。

言外之意：此时的A 的m ax λ对应的特征向量“归一化”后，能给出n 个物体n u u u ,,,21 按重量大小的真实排序。

明显看出这个回答不是正面的，也有些令人难以置信。

但是，这已是目前为止最好的回答了，这也是A HP 理论上不够严谨的问题。

不过，从应用角度讲，当C .R.<0.1时，排序的正确性已为所有应用例子所证实。

但是，当C .R.>0.1时，AHP 不再适用，这时，只能回头考虑，变更递阶层次结构，或对判断矩阵A 重新赋值。

由此得层次分析法AHP 的步骤如下。

结论：
1. 给了A 后求m ax λ及相应特征向量；
2. 将特征向量“规一”后，即得排序向量；
3. 排序向量是否可信，须进行一致性检验，若检验难过则可信；否则重新检验A 。

§2 AHP 的基本步骤
用AHP 解决问题，有四个步骤： 1. 建立问题的递阶层次结构； 2. 构造两两比较判断矩阵；
3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重；
4. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。

下面通过一个应用实例说明A HP 的每个步骤的实施。

A HP 决策方法应用实例
例：某闹市区一商场附近交通拥挤。

目标G ：改善该街区交通环境。

有三种方案可供选择：1A ：修天桥或修高架桥；2A ：修地道；3A ：商场搬迁。

选择方案的准则有5个：1c ：通车能力；2c ：方便市民；3c ：改造费用；4c ：安全性；5c ：市容美观。

试用AHP 方法决策
决策步骤：
一、建立递阶层次结构：
递阶层次结构中，每一层的每一个元素均是下一层中每个元素的准则。

二、构造两两比较判断矩阵
n n ij a A ⨯=)(
在单准则下分别构造，即在G 下对1c 2c 3c 4c 5c ，构造A ；分别在1c 2c 3c 4c 5c 下对
1A 2A 3A 构造A
2. 准则层
3. 方案层
1. 目标层
在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵)(ij a A =呢？即如何具体确定比值ij a 呢？在A HP 中采用1–9比例标度法。

2.1 关于1–9比例标度
n 个元素n u u u ,,,21 ，两两比较其重要性共要比较
2
)
1(-n n 次。

第i 个元素i u 与第j 个元素j u 重要性之比为ij a 。

问题是如何得出ij a 的值。

A HP 采用1–9比例标度来确定ij a ；这是A HP 的特点，也是优点。

本来，n 个元素比较n –1次，即可确定顺序，为什么要比较2
)1(-n n 次呢？这是由事物的复杂性和决策人的局限性决定的，事实证明，n 个元素按
重要性只有两两比较，才能揭示重要性的内在规律，仅仅比较n –1次是决然不行的，因为只比较n –1次，其中若有一次失误，则排序就将遭到破坏。

而两两比较可减少失误。

1–9 比例标度表
=ij a 1 表示i u 与j u 重量相同，或重要性相同； =ij a 3 表示i u 比j u 稍重； =ij a 5 表示i u 比j u 明显重； =ij a 7 表示i u 比j u 强烈重； =ij a 9 表示i u 比j u 极端重；
数2、4、6、8则为上述判断的中值。

两两比较两个元素的重要性，总是在某种准则（准则层比较是以总目标G 为准则，方案层比较，分别以准则层中各元素为准则）下进行的。

至于为什么取1–9比例标度，而不取别的，是因为人们直觉最多只能判断出9个等级的差异，再细的差异，人的直觉是分辨不出来的，而两两比较判断矩阵是领域专家靠感觉去分辨和构造的。

从理论上讲，用1–15比例标度也未尝不可，只是人的直觉分辨不出。

对n 个物体，两两比较其重要性得判断矩阵n n ij a A ⨯=)(，显然ij a 满足：
0>ij a ，ji
ij a a 1
=
，1=ii a 共计)1(2
1
-n n 个判断，所以A 是正的互反矩阵，且对角线上元素为1，这样的n 阶
矩阵可表示为上三角或下三角矩阵。

但A 的元素ij a 通常不具有传递性，即
ik jk ij a a a ≠⋅
这是由事物的复杂性和人的认识的局限性造成的。

如果
ik jk ij a a a =⋅
成立，则称A是一致性矩阵。

从判断矩阵A出发到导出元素在某种准则C下按重要性大小的排序，矩阵A的一致性起着至关重要的作用。

按着1–9比例标度的上述说明，具体构造应用举例的六个准则下的两两比较判断矩
三、计算单一准则下各元素的相对权重
对给出的共6个正互反矩阵，分别求
λ
(1)
m ax
λ对应的特征向量并归一化得排序相对权重向量。

(2)与
m ax
λ后，都要进行一致性检验。

(3)每个矩阵求
m ax
例如：
c作准则的判断矩阵为：
1. 以
1
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=15/15/1511511
A 因阶数低，可直接求出最大特征根。

由于A 是一致的，知m ax λ=3，
其它的特征根均为0。

下面来验证这一点：
λ
λλλ
λλ
λλ
λ---+--=---=-15/15
1)
(15
/15
/151151115
/15
/1511511||E A
⎩⎨
⎧===⇒=--=-=--+--=0
30)
2()()()2)((00005
1132max 222λλλλλλλλλλ
λ
2．考虑：准则2c 下的A ，显然A 不满足一致性，如5623132312=≠=⨯=⋅a a a 。

⇒⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=12/15/1213/1531
A 由
λ
λλλ
λ
λλλ
λ---+--=---=-12/12
1)
(12
/15
/1213/153112/15
/1213
/1531||E A
)2()(30
1
)()
2)((10/103/10
5
31222λλλλλλλλλ
--=++
-=--+---=
30
1
3)2(30
1
)(2322=++-=-++
=λλλλλ
由于A 出现一个小的扰动而不满足一致性，此时不能再有m ax λ=3，而是m ax λ>3，这是，通常用迭代算法求解出m ax λ再进行一致性检验。

3.1 补充：求最大特征根的迭代算法 步骤1：对n n ij a A ⨯=)(，设初值向量为：
⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n
n W 1,,1
,10
步骤2：计算
),2,1(1
==-k AW W k k
迭代过程中，每一个1-k W 均是“归一化”了的。

步骤3：对预先设定的阀值0>ε，计算使
ε<--i i k k W W )1(max
时，则停止，否则继续。

其中，i k W 是向量k W 的第i 个分量。

步骤4：计算
∑
=-=n i k k i
i
W W n 1)1(max
1λ 由此求出最大特征根m ax λ，以备作一致性检验用。

在此，归一化后的k W 便是排序向量。

关于用迭代法求m ax λ的思路 1. 由W AW max λ=
设W 是“归一化”了的，由Perro n 定理知与m ax λ对应的特征向量归一化后是帷一的，所以，令
⎪⎩
⎪⎨
⎧==⎪⎭⎫
⎝⎛=- ,2,11,,1
,110k W AW n n n W k k 每迭代一次得k W ，将k W 归一化后作为下一次迭代初值，直到
ε<--i i k k W W )1(max
为止，则k w 就是帷一的归一化后的特征向量。

由1max 1--==k k k W AW W λ
i i k k W W )1(max -=λ
故 ∑
=-=n i k k i
k
W W n 1)1(max
1λ
结合上述具体例子，进行A HP 的第四步 四、计算各层元素的组合权重
1. 设第一层元素相对于总目标的排序权重向量为：
T
m a a a a ),,,(112111 = （本例中m =5）
第2层在第一层j 元素准则下的排序向量为：
),,2,1()
,,,(2
22212m j b b b b j j j n j == （本例中n =3）
令),,,(222
212m b b b B = (m =5) 则第2层n (n =3)个元素相对于总目标的组合权重向量为：
122a B a ⋅=
在本例中为：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*********************** 最后得到的()T
*,*,*就是方案A 、B 、C 在总目标G 下的排序向量。

2. 对于递阶层次组合判断的一致性检验
我们要逐层计算..I C ，若得到第一层的计算结果为：
1..I C ，1..I R ，1..R C
则第二层的相应指标为：
()
1
222122..,,..,....a I C I C I C I C m = ()
1222122..,,..,....a I R I R I R I R m =
本例中m =5，则
2
2
12........I R I C R C R C +
= 上面i I C 2..和i I R 2..分别是第一层第i 个准则下判断矩阵的一致性指标和平均随机一致性指标。

当1.0..2<R C 时
认为递阶层次在2层水平上整个判断有满意的一致性。

请按本文给的例题，补齐A HP 的四个求解步骤。

最后求出方案A 、B 、C 在总目标G 下的权重排序，以此作为本单元的考核。

§3 层次分析模型A HM
与无结构决策的层次分析法AHP 相近的一种层次分析模型是AHM （Analytic Hierarachincal Model ）
层次分析法AHP 是一个重量模型
元素n u u u ,,,21 为n 个物体，其重量n g g g ,,,21 不知，只知其两两比较的比值
),1(n j i g g a j i ij ≤≤=，()
n n ij a A ⨯=
由比例标度测度矩阵A 求导出标度T n w w w w ),,,(21 =，则w 给出物体n u u u ,,,21 按重量大小的排序，从w A →，由特征根法求取，并进行一致性检验，一致性检验是特征根法要求的。

下面给出一种球赛模型：
球塞模型：
元素n u u u ,,,21 为n 个球队，每两队进行一场比赛，共赛()12
1
-n n 场，每场比赛为
1分，i u 和)(j i u j ≠比赛得分分别为ij μ和ji μ。

准则c 为得分，在准则c 下对元素
n u u u ,,,21 按得分多少排序。

ij μ与ji μ满足：
00≥≥ji ij μμ，
j i ji ij ≠=+1
μμ
0=ii μ （表明一个队无法与自己比赛）
在实际问题中，ij μ可取到[0,1]上的一切实数。

ij μ称作i u 和)(j i u j ≠的相对测度
()n n ij ⨯=μμ
为两两比赛判断矩阵。

如果ji ij μμ>，则称i u 比j u 强，记为i u >j u ，含意是两者比赛完后i u 得分ij μ比j u 得分ji μ多，即i u 胜了；若判断矩阵（ij μ）满足：
当k j j i u u u u >>,时，有k i u u >, 则称判断矩阵()
μμ=⨯n
n ij
具有一致性。

注意：k j j i u u u u >>,，而i k u u >在此并不罕见，即甲胜乙、乙胜丙，而丙胜甲的连环套是常有的。

一致性矩阵的含意是：全部比赛未出现“连环套”的情况，允许甲大胜乙，乙大胜丙，而甲仅仅小胜丙的情况出现。

此时重量模型的一致性不被满足，但是球赛的一致性却可以被满足，故球赛型比重量模型的两两比较判断矩阵的一致性要求要低很多。

i u 的总得分∑==n
j ij i f 1μ，显然
)1(211
-=
∑=n n f
n
i i
总共比赛)1(21-n n 场，共得)1(2
1
-n n 分。

令()T
c
u c u c u c n
w w w w ,,,21 =
∑=-=n
j ij c u n n w i
1)1(2
μ （在得分准则下）
称c w 为相对权向量，以上讨论可由下表给出：
从(n
n ij
⨯μ由于两两比较测度判断矩阵()
n
n ij
⨯μ的一致性是j i u u >；两两比较比例标度判断矩阵
()
n
n ij a ⨯的一致性要求ik jk ij a a a =⋅，显然在A HP 的判断矩阵的一致性要求高，通常的判
断矩阵的一致性不被满足；而AHM 的判断矩阵的一致性要求很低，只要甲比乙强、乙比丙强，则甲比丙强，至于强多少没有具体要求，所以一致性要求低，在AHP 中一致性不被满足时，对应到AHM 时一致性却经常可以被满足，并且一致性可从()
n n ij ⨯μ自身
中观察检验，通常有下述定理：
定理（一致性判定定理）若
⎩
⎨
⎧≤>=5.0,05
.0,1)(x x x g {
}
n j g j I ij i ≤≤==1,1)(μ
则比较判断矩阵()n n ij ⨯μ具有一致性的必要充分条件是：对任何i ，为i I 非空时
())1(0)(n k g g i I j jk ik ≤≤≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∑∈μμ (1) 符号解释：i I 非空是指对给定的i ，至少有一个j 使5.0>ij μ，即i 比j 强，所以，i
I 非空是指i 不是最小者。

证明：必要性，若一致性成立，即k j j i u u u u >>,，则k i u u >成立。

因此k i u u >知
1)(5.0=⇒>ik ik g μμ，所以（1）成立。

充分性：若i I 非空是，())1(0)(n k g g i I j jk ik ≤≤≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∑∈μμ，试证当k j j i u u u u >>,是，有k i u u >。

证：因为i I 非空，i I j ∈知，j i u u >，又因为k j u u >知j I 非空，且5.0>jk μ，知()1)(1=⇒=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∑∈ik I j jk g g i μμ，所以k i u u >，证毕。

应用中不必用此定理，对（u ij ）进行逐行检验即可验证。

注：比赛模型有两类：一类如田径、游泳、跳水、体操…运动员的成绩可以单独测量出来；另一类如击剑、拳击、球赛，只有通过两队比赛才能定出来。

重量模型、球赛模型反映了这两类不同的比赛。

模型不同，处理方法不同：AHP 用特征根法，A HM 则不用。

用特征根法则要求判断矩阵()
n n ij a A ⨯=的一致性被允许条件下，由比较测度矩阵A 转化换后求出导出测度w ，
才是重要性排序权向量。

AHM 中的比较判断矩阵)(ij μμ=通常是难以求出的，但可由AHP 中的比较判断矩阵)(ij a A =中导出：转模公式为：
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≠==+=+=j i a j i a k a k k a j k ij ij ij ij ij 1015.01111βββμ或 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧==≠==+=+=j i a j i a k a k k a k k ij ij ij ij ij 1015.01121122μ 当∞→β时⎪⎩⎪⎨⎧→→01
ji
ij μμ，相当于两队比赛，一队胜得1分，另一队败得0分，当β取
定，如2=β如上右式。

k =9，9474.0=ij μ，这相当于全胜，极端强；
k =2，8.0=ij μ，微强； k =3，=ij μ0.857，稍强； k =5，=ij μ0.909，明显强； k =6，=ij μ0.923，特别强；
通常情况下2=β比较合适。

有了上述定理（或从)(ij μ中直接）检验一致性，就可以应用AHM 。

实际上当)(ij μ一致性成立，就可用
()
T
c n c c c w w w w )()2()1(,,, =
来按分量大小对u i 排序；综合得分率最高者认为名次在前。

事实上，当判断矩阵μ不满足一致性时，仍然可以计算各队的得分率，并按得分率对各队排序也是可以的，故一致性检验是非本质的。

AHM 层次决策例
仍用“AHP ”的例子，某闹市区一商场附近交通拥挤。

目标G ：为改善该街区交通环境。

有三种方案可供选择：1A ：修天桥或修高架桥；2A ：修地道；3A ：商场搬迁。

选择方案的准则有5个：1c ：通车能力；2c ：方便市民；3c ：改造费用；4c ：安全性；
5c ：市容美观。

两两比较的比例标度判断矩阵如前。

问题：选择哪种方案？
解：1、建立递阶层次结构：
2、单一准则下的相对权向量 转换公式：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧==≠==+=+=j
i a j i a k
a k k a k k ij ij ij ij ij 1015.01
121122μ
比如计算准则
12345件。

3、计算各方案对目标的合成权重
G c c c GA W w w w W ),,,(521 =
即：
3
21182.0406.0412.0052.0236.0123.0236.0353.0453.0453.006.0097.006.0433.0433.0333.0314.047.0114.0114.0607.0589.047.0A A A W GA ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
由此知，方案1A 的权重最大，故决策1A ，此结论与文献[1]中用AHP 所得结论相同。

结论：层次分析AHP ，与层次分析模型A H M 是两种不同模型，AHP 基于重量模型，A H M 基于球赛模型，本质区别在于1=ii a ，而0=ii μ，ij a 是正整数或其倒数，而ij μ可在[0,1]上取连续数ji ij μμ-=1，但是应用上，两两比较确定ij μ较困难，而用1–9比例标
度确定ij a 直观且易操作，故两两比较测度ij μ常从两两比较标度中转换得来。

二者最本质判别是：A HP 用特征根法求导出排序向量，而特征根法要求必须对n n ij a ⨯)(作一致性检验：
ik jk ij a a a =⋅
严格满足一致性条件，几乎是不可能的，所以，只是近似满足，认为当C .R.<0.1时，一致性是可以被接受的。

这是一种难令人满意的间接检验，使之理论上存有不足。

而转化成A H M 后，因A H M 不是用最大特征权法排序，条件要求放宽很多，一致性条件只要k j j i u u u u >>,时，就有k i u u >即可。

从本质上讲，不进行一致性检验，由得分率仍然给出n u u u ,,,21 在准则C 下的一种排序。

且运算简单，仅用加乘，故是一种简单的决策方法。

关于一致性检验：
1. AHP 中，一致性检验；
2. AHM ，本质上没有一致性检验的条件限制。

附录：关于特征方程的补充
设两两比较相对重量的精确测度为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n
n n n W W W W
W W W W W W W W W W W W W W A
21
22
21212
1
1
1 则特征方程0||=-E A κ，有一重实根n =λ及n –1重0根。

证明：
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=λλλλλn n n n n n n W W W W W W W W W W W W W W W W W W E A f
21222121211
1
||)(
()()
λλλλλλ112
1
22
2
12121
11
)
()(---+=-+⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=n n n n
n n n n f B f W W W W W W W W W W W W W W W W W W
()()1
12112
1
11000000---=-=⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=n n n W W W W W W W W B λλλλλ ()()()()()()[]
()()()λλλλλλλλλ22
12212------+-=-+--+-=∴n n n n n n f f f
()()()
()
()λλλλ22
1
2f n f n n n ---+--=⇒
()()λλλλλλ2112211
1
2-=--=⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=---n n
n n
n n n n W W W W W W W W f ()()()()()221
1+-⋅-+--=∴--λλλλn n n n f
()()()01
=-⋅-=-λλλn f n n
故n =λ为一重特征根，0=λ为n –1重特征根。

证毕！。