反常积分--无穷积分教案
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引入复习
定积分dx x f b
a )(⎰满足：
（1）[]b a ,是有限闭区间 （2）)(x f 是[]b a ,上的有界函数
则称此积分为常积分.当这两个条件至少有一个不满足时称为反常积分. 其中无限区间上的反常积分称为无穷积分，无界函数的反常积分称为瑕积分。 新课讲授
1.无穷积分的定义：设函数)(x f 在区间[)+∞,a 上有定义,符号dx x f a
)(+∞⎰表示函数)(x f 的无穷积分.对R b ∈∀,且a b >,函数)(x f 在[]b a ,上可积.若极限
dx x f b a b )(lim ⎰+∞
→
存在（不存在）,则称无穷积分dx x f a )(+∞⎰收敛（发散）,其极限称为无穷积分dx x f a
)(+∞⎰（的值）,即 =⎰+∞dx x f a )(dx x f b a b )(lim ⎰+∞
→
同理可定义 =⎰∞-dx x f b
)(dx x f b
a a )(lim ⎰-∞
→
=⎰+∞∞-dx x f )(+⎰∞-dx x f c
)(dx x f c
)(+∞⎰(c 为任意取定的常数)
并且只有当无穷积分dx x f c )(∞-⎰和dx x f c )(+∞
⎰都收敛时，才称无穷积分dx x f )(+∞∞-⎰
收敛,否则称为发散。
2.无穷积分的计算：（以无穷积分dx x f a
)(+∞
⎰的计算为例）
（1）定义法：先计算定积分dx x f b a )(⎰，再令+∞→b ，求出dx x f a )(+∞
⎰
（2）推广的牛顿-莱布尼兹公式：
)()(lim )()(a F x F x F dx x f x a a -=⎰=⎰+∞
→+∞+∞
=⎰∞-dx x f b )()(lim )()(x F b F x F x b -∞
→∞--=⎰
=⎰+∞∞-dx x f )()(lim )(lim )(x F x F x F x x -∞
→+∞
→+∞∞--=⎰
例题剖析
例1、 计算下列无穷积分 （1）dx x 20
11+⎰∞- （2）dx x x 1sin 12
2∞+⎰π
例2、证明无穷积分)0(1
>⎰∞
+a dx x
p a 当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.
巩固练习
判断下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.
(1) dx e x -+∞⎰0 (2) dx xe x
-+∞⎰0
(3) dx x x ln e
1
∞
+⎰ (4) dx x x 4
01+⎰∞
+
课堂小结
同学们需要理解无穷积分的概念，并能够运用定义或推广的牛顿-莱布尼兹公式计算无穷积分。
试讲教案
试讲题目：反常积分
应聘岗位：公共基础学院-数学教师
应聘者：郑艳影