2020-2021学年高考数学(理)考点：二项分布与正态分布

需对当天的生产过程进行检查？剔除 ( 3 , 3 ) 之外的数据，用剩下的数据估计 和
（精确到 0.01) ．
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P( 3 Z 3 ) 0.9974 ，
0.997416 0.9592 ， 0.008 0.09 ． 【解析】（1）由题可知尺寸落在 ( 3 , 3 ) 之内的概率为 0.9974，
4 落入阴影部分的点的个数的估计值为 40000 0.1359 1359 ．
4 故选 B ．
7．（2020•辽宁三模）已知随机变量 X 服从正态分布 N (2, 2 ) ，且 P(0„ X„ 2) 0.3 ，则
P( X 4) ( )
A．0.6 【答案】B
B．0.2
C．0.4
【解析】由随机变量 X 服从正态分布 N (2, o2 ) ，
这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.26
9.91
10.13 10.02
9.22
10.04 10.05
10.04 9.95
真题演练
1．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机 抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm) ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状 态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N (, 2 ) ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的 零件数，求 P( X…1) 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在
(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A 与 B 相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每
一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p， 则 P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)，
C． 65 81
【答案】B
【解析】随机变量 ~ B(2, p) ， P(…1) 5 ， 9
1
C20
p0 (1
p)2
5 9
，
P 1 ， 3
~
B(4,
1 )
，
3
P(…
2)
C42
(
1 3
)2
(2)2 3
C43
(
1 3
)3
( 2)1 3
C44
(
1 3
)4
(
2 3
)0
11 27
，
故选 B ．
D． 16 81
A．906 【答案】B
B．1359
C．2718
D．3413
【解析】 X ~ N (2, 4)
阴影部分的面积 S P(0„ X„ 2) 1 [P(6„ x„ 2) P(1„ x„ 0)]
2 1 (0.9545 0.6827) 0.1359 ，
2 则在正方形中随机投一点， 该点落在阴影内的概率为 P 0.1Leabharlann 59 ，经计算得x
1 16
16 i 1
xi
9.97
，
s
1 16
16
( xi
i 1
x)2
1 16
(
16 i 1
xi 2
16 x
2)
0.212
，其中
xi
为抽取的
第 i 个零件的尺寸， i 1 ，2， ，16．
用样本平均数 x 作为 的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值判断是否
则 D(Y ) ( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解析】随机变量 X ， Y 满足： Y 3X 1 ， X ~ B(2, p) ， P( X…1) 5 ， 9
P( X
0)
1
P( X…1)
C20 (1
p)2
4 9
，
解得 p 1 ， X ~ B(2, 1) ，
3
3
D( X ) 2 1 (1 1) 4 ， 3 39
3)
C63
(
1 2
)3
(
1 2
)3
20 26
5 16
故选 B ．
3．（2019•道里区校级三模）已知随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ．若 E( X ) 2 ， D( X ) 4 ，则 3
p ( )
A． 3 4
B． 2 3
C． 1 3
D． 1 4
【答案】C
【解析】由随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ．
零件的尺寸在 (ˆ 3ˆ, ˆ 3ˆ ) 之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除 (ˆ 3ˆ, ˆ 3ˆ ) 之外的数据 9.22，剩下的数据的平均数为 1 (16 9.97 9.22) 10.02 ， 15 因此 的估计值为 10.02．
16
xi2 16 0.2122 16 9.972 1591.134 ，
所以 E( X ) 16 0.0026 0.0416 ；
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在 (ˆ 3ˆ, ˆ 3ˆ ) 之外的概率只有 0.0026，一天
内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 (ˆ 3ˆ, ˆ 3ˆ ) 之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率 很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常 情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． （ⅱ）由 x 9.97 ， s 0.212 ，得 的估计值为 ˆ 9.97 ， 的估计值为ˆ 0.212 ，由样本数 据可以看出一个
又 E(X ) 2 ， D(X ) 4 ， 3
所以
np 2 np(1
p)
4 3
，
解得： p 1 ， 3
故选 C ．
4．（2019•道里区校级一模）设随机变量 ~ B(2, p) ， ~ B(4, p) ，若 P(…1) 5 ，则 P(… 2) 的值 9
为 ( )
A． 32 81
B． 11 27
所以正态曲线的对称轴是 x 2 ，
又 P(0„ X„ 2) 0.3 ，
D．0.35
所以 P( X 4) P( X 0) 0.5 0.3 0.2 ． 故选 B ． 8．（2020•运城模拟）在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N (1 ， 2 )( 0) ，若 在 (0, 2) 内
取值的概率为 0.6，则 在 (2, ) 内取值的概率为 ( )
A．0.8
B．0.4
C．0.3
【答案】D
【解析】 ~ N (1, 2 ) ， P( 2) P( 0) ，
D．0.2
又 P(0 2) 0.6 ， P( 2) 1 0.6 0.2 ．
2 故选 D ． 9．（2020•益阳模拟）若随机变量 服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P( „ ) 0.6827 ，
P( 2 „ 2 ) 0.9545 ，设 ~ N (1, 2 ) ，且 P(… 3) 0.15865 ，在平面直角坐标系
xOy 中，若圆 x2 y2 2 上恰有两个点到直线12x 5y c 0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围
为 ( )
A． (26 ， 13) (13 ， 26)
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
概念方法微思考 1．条件概率中 P(B|A)与 P(A|B)是一回事吗？ 提示 不一样，P(B|A)是在 A 发生的条件下 B 发生的概率，P(A|B)是在 B 发生的条件下 A 发生的概 率． 2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？ 提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事 件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
①0≤P(B|A)≤1； ②如果 B 和 C 是两个互斥事件，
则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件 A，B，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A，B 是相互独立事件．
(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝P(B)． (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与B，A与 B，A与B也都相互独立．
5．（2020•江西模拟）已知随机变量 服从正态分布 N (, 2 ) ，若 P( 2) P( 8) 0.15 ，则
P(2„ 5) ( )
A．0.3
B．0.35
C．0.5
D．0.7
【答案】B 【解析】根据题意，正态分布 N (, 2 ) ， 若 P( 2) P( 8) 0.15 ，则 5 ， 即这组数据对应的正态曲线的对称轴 x 5 ，则 P( 5) 0.5 ， 又由 P( 2) 0.15 ，得 P(2„ 5) 0.5 0.15 0.35 ． 故选 B ． 6．（2020•红岗区校级模拟）在如图所示的正方形中随机投掷 40000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N (2, 4) 的密度曲线）的点的个数的估计值为 ( ) （附: x ~ N (, 2 ) ，则 P( X„ ) 0.6827 ， P( 2 X„ 2 ) 0.9545 ． )
并称 p 为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
1
(x )2
(1)正态曲线：函数 φμ，σ(x)＝ 2πσ e 2 2 ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ 为参数
i 1
剔除 (ˆ 3ˆ, ˆ 3ˆ ) 之外的数据 9.22，剩下的数据的样本方差为 1 (1591.134 9.222 15 10.022 ) 0.008 ， 15 因此 的估计值为 0.008 0.09 ．
强化训练
1．（2020•青羊区校级模拟）设随机变量 X ， Y 满足： Y 3X 1 ， X ~ B(2, p) ，若 P( X…1) 5 ， 9
则落在 ( 3 , 3 ) 之外的概率为1 0.9974 0.0026 ， 因为 P( X 0) C106 (1 0.9974)0 0.997416 0.9592 ， 所以 P( X…1) 1 P( X 0) 0.0408 ，
又因为 X ~ B(16, 0.0026) ，
考点 11.5 二项分布与正态分布
考点梳理
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用 PAB
符号 P(B|A)来表示，其公式为 P(B|A)＝ PA (P(A)>0)． nAB
在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A)＝ nA . (2)条件概率具有的性质
(σ>0，μ∈R)．我们称函数 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； 1
③曲线在 x＝μ 处达到峰值σ 2π； ④曲线与 x 轴之间的面积为 1； ⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； ⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
B． (26, 26)
C． (39 ， 13) (13 ， 39)
D(Y ) 9D( X ) 9 4 4 ． 9
故选 A ．
2．（2020•奎文区校级模拟）设随机变量 X 服从 B(6, 1) ，则 P( X 3) 的值是 ( ) 2
A． 3 16
B． 5 16
C． 3 8
D． 5 8
【答案】B
【解析】随机变量 X 服从 (6, 1) ， 2
P( X