多目标规划ppt

f1 x 2x1 1.5x2 f2 x x1 x2
x1 x2 120 2x1 1.5x2 300 x1 60 x2 0
多目标规划问题的典型实例
• 例3 生产计划问题
某工厂生产 A1、A2 和 A3 三种产品以满足市场的需要，该厂每周生产的时间为 40h， 且规定每周的能耗都不得超过 20t 标准煤，其数据表如表 8-1 所示。现在的问题时， 每周生产三种产品各多少小时，才能使得该厂的利润最多，而能源消耗最少？
多目标规划问题的数学模型
上述问题可以归结为标准形式：
V- min s.t.

Fx gi x 0 (i 1,2,...,m) hi x 0 (i 1,2,...,l)
其中： x x1 x2
xn T ；Fx f1 x f2 x
f p x, p 2
多目标规划问题的典型实例
• 例1 木梁设计问题 用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大，
问截面的宽和高应取何尺寸？
假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
x12 x22 1
且此时木梁的截面面积为 x1x2 。同时根据材料力学的知识，木梁的强度取决于截面矩
根据各个产品的生产效率，可得生产 A1、A2 和 A3 的生产数量分别为： qA1 20x1, qA2 25x2 , qA3 15x3
故在生产过程中产生的能耗可以表达为：
f2 x 24103 20x1 26103 25x2 28103 15x3
0.48x1 0.65x2 0.42x3 那么根据最优化问题的目标，我们需要使得才利润最多且能耗最少，即在极大化
令 R x | gi x 0, i 1,2,...,m，则称 R 为问题的可行域，V-min Fx指的是
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数F x和约束函数 gi x 、hi x 可以
是线性函数也可以是非线性函数。
多目标规划问题域线性规划和非线性规划问题的主要区别就在于，它所追求的
f1 x的同时极小化 f2 x 。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周
f1 x 500x1 400x2 600x3 f2 x 0.48x1 0.65x2 0.42x3
x1 x2 x3 40 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 20x1 700 25x2 800 15x3 500 x1, x2 , x3 0
第八章 多目标规划
概述
• 什么是多目标规划问题
– 在前面所述的最优化问题，无论是线性规划、 整数规划还是非线性规划，其目标函数都只有 一个。但在实际问题中，衡量一个设计方案的 好坏往往不止一个标准，常常要考虑多个目标。 例如研究生产过程时，人们既要提高生产效率， 同时还要考虑产品质量，又要考虑成本以降低 生产费用，可能还希望生产过程中的环保问题， 即废渣、废水、废气造成的污染小。在设计导 弹的过程中，既要射程远，又要燃料省，还要 重量轻且打击精度高。在进行投资决策时，既 希望回报高的同时又希望降低投资风险，如此
量
1 6
x1
x22
，故若要使得重量最轻，实际上目标即为横截面积最小，又要强度最大，故目
标为截面矩量最大，于是容易列出如下数学模型：
min max
f1 x x1x2
f2
x

1 6
x1x22
x12 x22 1
x1, x2 0
多目标规划问题的典型实例
• 例2 工厂采购问题 某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。
设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 x 2x1 1.5x2 购得的原料总量为： f2 x x1 x2
那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f1 x的同时 极大化 f2 x 。
多目标规划问题的典型实例
同时要满足所花的总费用不得超过 300 元，原料的总重量不得少于 120kg，A 原料
不得少于 60kg，于是得到约束条件如下：
x1 x2 120 2x1 1.5x2 300
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1 已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min max
的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下
述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
产品
A1 A2 A3
产品生产销售数据表
生产效率
利润
最大销量
能耗
（m/h） （元/m） （m/周） （t/1000m）
20
500
700
Байду номын сангаас
24
25
400
800
26
15
600
500
28
多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1, x2, x3 ，则我们根据各种产品的单位
利润得到其总利润 f1 x 为： f1 x 500x1 400x2 600x3