高三一轮复习课件：二项式定理
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(2)x y－y x4＝x2y2( x－ y)4，只需求( x－ y)4 展开式 中的含 xy 项的系数：C42＝6.
[答案] (1)D (2)6
(1)求( x＋ 1 )8 展开式中系数最大的项； 4
2· x (2)求( x－ 1 )8 展开式中系数最大的项和系数最小的
4 2· x 项．
[解] (1)( x＋ 1 )8 展开式中系数最大的项为第 r＋1 4
(1)(2008·北京卷理)若(x2＋x13)n 展开式的各项系数之和 为 32，则 n＝________.其展开式中的常数项为________．(用
数字作答)；
(2)(2006·浙江卷)若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x ＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝( )
A．9
(4)(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)37的展开式中x3的 系数＝________.
[解析] (1)令x＝1得2n＝32，所以n＝5.由二项式展开式得 Tr＋1＝C5r·(x2)5－r·(x－3)r＝C5r·x10－5r，令10－5r＝0得r＝2，所以 常数项为T3＝C52＝10.
a．当
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
为偶数时，中间一项
n C2n
最大；
b．当 n 为奇数时，中间两项 Cn－2 1n，Cn＋2 1n 相等且最
大．
3．项的系数
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二
项式系数不同．
1
．
(2010·四
川
，
13)
2－ 1 3 x
6
的展开式中的第四项是
________．
[解析] T4＝T3＋1＝C63·23·－31x3＝－16x0. [答案] －16x0
(1)(2009·重庆卷理)(x2＋2x)8 的展开式中 x4 的系数是(
)
A．16
B．70
C．560
D．1120
(2)(2009·全国卷Ⅱ理)x y－y x4 的展开式中 x3y3 的系数 为________．
[解析] (1)设含 x4 的为第 r＋1，Tr＋1＝C6r(x2)6－r(2x)r＝ C6r2rx16－3r,16－3r＝4，所以 r＝4，故系数为：C6424＝1120， 选 D.
1．二项式定理
(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2＋…＋Cnran－rbr＋…＋ Cnnbn.(n∈N＋)
通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，(r＝0,1,2，…，n)． 2．二项式系数 (1)定义： Cn0，Cn1，Cn2，…Cnk，…Cnn 叫做二项式系数．
(2)性质 ①Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝ 2n . ②Cn0＋Cn2＋…＝Cn1＋Cn3＋…＝ 2n－1. ③对称性：Cnk＝Cnn－k. ④二项式系数最值问题．
[点评与警示] 设(a＋b)n 展开式中系数最大的项是第 r
＋1 项，其系数为 tr＋1.则满足于ttrr＋ ＋11≥ ≥ttrr＋2 ，(r＝0,1,2,3，…， n)．若求(a－b)n 展开式中系数最大的项或系数最小的项，可 转化为求(a－b)n 展开式中系数绝对值最大的项，再根据展开 式中各项系数的符号求解．
(2)由 Tr＋1＝Cnr(2x)n－r·(1x)r＝2n－r·Cnr·xn－2r，得 2n－2·Cn2＝ 2×2n－3·Cn3，所以解得 n＝5.
[答案] (1)15 (2)5
[点评与警示] 利用二项展开式的通项公式求展开式中指 定项的系数、常数项等具有某种特殊性的项是二项式定理的基 本问题．其通常解法是确定通项公式中r的值或取值范围．在应 用通项公式Tr＋1＝Cnran－rbr时应注意：(1)Tr＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r项；(2)对于(a－b)n展开式的通项公式要特别 注意符号问题．
2· x 项，通项公式为
Tr＋1＝C8r(
x)8－r·( 1 4
)r＝21rC8r·x4－34r，(r＝0,1,2，…，
2· x
8) 则C28rr≥C28r＋r＋11，且C28rr≥C28r－r－11，
由C28rr≥C28r＋r＋11得r！88－！r！2r≥r＋1！87！－r！2r＋1，即
8－1 r≥2r＋1 1，
(1)(2011·惠州二模)在(x2＋21x)10 的二项展开式中，x11 的系数是________；
(2)(2008·湖南高考题)记(2x＋1x)n 的展开式中第 m 项的系 数为 bm，若 b3＝2b4，则 n＝________.
[解析] (1)Tk＋1＝C10k(x2)10－k(2x)－k＝2－kC10kx20－3k，解 20 －3k＝11 得 k＝3.故 x11 的系数为 2－3·C103＝15.
已知(1＋3x)n展开式中末三项的二项式系数的和等于121， 求展开式中系数最大的项．
[解] 由题意得：Cnn－2＋Cnn－1＋Cnn＝121，整理得n2＋n －240＝0，解得n＝15，或n＝－16(舍去)．∴展开式通项公式Tr ＋1＝C15r3rxr
设第 r＋1 项是展开式中系数最大的项， 则CCr1r15533rr≥≥CC1r1r＋－55 1133rr＋－11 解得 r＝11 或 r＝12 ∴展开式中系数最大的项为第 12 项和第 13 项， 即 T12＝C1115311x11，T13＝C1125312x12.
B．10
C．－9
D．－10
(3)设(x2＋x－1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2n(x－1)2n， 则a0＝________，a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝________，a0＋a2＋a4 ＋…＋a2n＝________，a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝________；
解得 r≥2 同理，由C28rr≥C28r－r－11得21r≥9－1 r，解得 r≤3，故 r＝2 或 r ＝3 ∴展开式中系数最大的项为第 3 项和第 4 项，即 T3＝ 7x52，T4＝7x74.
(2)由于( x－ 1 )8 展开式中奇数项的系数为正，偶数 4
2· x 项的系数为负，由问题(1)知展开式中第三项的系数最大，第 四项的系数最小，即 T3＝7x52，T4＝－7x74.
(2)解法一：展开式中x10的系数满足1＝a10C100 ∴a10＝1 展开式中x9的系数满足0＝a9C90＋a10C101，∴a9＝－10.故选 D.
[答案] (1)D (2)6
(1)求( x＋ 1 )8 展开式中系数最大的项； 4
2· x (2)求( x－ 1 )8 展开式中系数最大的项和系数最小的
4 2· x 项．
[解] (1)( x＋ 1 )8 展开式中系数最大的项为第 r＋1 4
(1)(2008·北京卷理)若(x2＋x13)n 展开式的各项系数之和 为 32，则 n＝________.其展开式中的常数项为________．(用
数字作答)；
(2)(2006·浙江卷)若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x ＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝( )
A．9
(4)(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)37的展开式中x3的 系数＝________.
[解析] (1)令x＝1得2n＝32，所以n＝5.由二项式展开式得 Tr＋1＝C5r·(x2)5－r·(x－3)r＝C5r·x10－5r，令10－5r＝0得r＝2，所以 常数项为T3＝C52＝10.
a．当
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
为偶数时，中间一项
n C2n
最大；
b．当 n 为奇数时，中间两项 Cn－2 1n，Cn＋2 1n 相等且最
大．
3．项的系数
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二
项式系数不同．
1
．
(2010·四
川
，
13)
2－ 1 3 x
6
的展开式中的第四项是
________．
[解析] T4＝T3＋1＝C63·23·－31x3＝－16x0. [答案] －16x0
(1)(2009·重庆卷理)(x2＋2x)8 的展开式中 x4 的系数是(
)
A．16
B．70
C．560
D．1120
(2)(2009·全国卷Ⅱ理)x y－y x4 的展开式中 x3y3 的系数 为________．
[解析] (1)设含 x4 的为第 r＋1，Tr＋1＝C6r(x2)6－r(2x)r＝ C6r2rx16－3r,16－3r＝4，所以 r＝4，故系数为：C6424＝1120， 选 D.
1．二项式定理
(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2＋…＋Cnran－rbr＋…＋ Cnnbn.(n∈N＋)
通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，(r＝0,1,2，…，n)． 2．二项式系数 (1)定义： Cn0，Cn1，Cn2，…Cnk，…Cnn 叫做二项式系数．
(2)性质 ①Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝ 2n . ②Cn0＋Cn2＋…＝Cn1＋Cn3＋…＝ 2n－1. ③对称性：Cnk＝Cnn－k. ④二项式系数最值问题．
[点评与警示] 设(a＋b)n 展开式中系数最大的项是第 r
＋1 项，其系数为 tr＋1.则满足于ttrr＋ ＋11≥ ≥ttrr＋2 ，(r＝0,1,2,3，…， n)．若求(a－b)n 展开式中系数最大的项或系数最小的项，可 转化为求(a－b)n 展开式中系数绝对值最大的项，再根据展开 式中各项系数的符号求解．
(2)由 Tr＋1＝Cnr(2x)n－r·(1x)r＝2n－r·Cnr·xn－2r，得 2n－2·Cn2＝ 2×2n－3·Cn3，所以解得 n＝5.
[答案] (1)15 (2)5
[点评与警示] 利用二项展开式的通项公式求展开式中指 定项的系数、常数项等具有某种特殊性的项是二项式定理的基 本问题．其通常解法是确定通项公式中r的值或取值范围．在应 用通项公式Tr＋1＝Cnran－rbr时应注意：(1)Tr＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r项；(2)对于(a－b)n展开式的通项公式要特别 注意符号问题．
2· x 项，通项公式为
Tr＋1＝C8r(
x)8－r·( 1 4
)r＝21rC8r·x4－34r，(r＝0,1,2，…，
2· x
8) 则C28rr≥C28r＋r＋11，且C28rr≥C28r－r－11，
由C28rr≥C28r＋r＋11得r！88－！r！2r≥r＋1！87！－r！2r＋1，即
8－1 r≥2r＋1 1，
(1)(2011·惠州二模)在(x2＋21x)10 的二项展开式中，x11 的系数是________；
(2)(2008·湖南高考题)记(2x＋1x)n 的展开式中第 m 项的系 数为 bm，若 b3＝2b4，则 n＝________.
[解析] (1)Tk＋1＝C10k(x2)10－k(2x)－k＝2－kC10kx20－3k，解 20 －3k＝11 得 k＝3.故 x11 的系数为 2－3·C103＝15.
已知(1＋3x)n展开式中末三项的二项式系数的和等于121， 求展开式中系数最大的项．
[解] 由题意得：Cnn－2＋Cnn－1＋Cnn＝121，整理得n2＋n －240＝0，解得n＝15，或n＝－16(舍去)．∴展开式通项公式Tr ＋1＝C15r3rxr
设第 r＋1 项是展开式中系数最大的项， 则CCr1r15533rr≥≥CC1r1r＋－55 1133rr＋－11 解得 r＝11 或 r＝12 ∴展开式中系数最大的项为第 12 项和第 13 项， 即 T12＝C1115311x11，T13＝C1125312x12.
B．10
C．－9
D．－10
(3)设(x2＋x－1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2n(x－1)2n， 则a0＝________，a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝________，a0＋a2＋a4 ＋…＋a2n＝________，a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝________；
解得 r≥2 同理，由C28rr≥C28r－r－11得21r≥9－1 r，解得 r≤3，故 r＝2 或 r ＝3 ∴展开式中系数最大的项为第 3 项和第 4 项，即 T3＝ 7x52，T4＝7x74.
(2)由于( x－ 1 )8 展开式中奇数项的系数为正，偶数 4
2· x 项的系数为负，由问题(1)知展开式中第三项的系数最大，第 四项的系数最小，即 T3＝7x52，T4＝－7x74.
(2)解法一：展开式中x10的系数满足1＝a10C100 ∴a10＝1 展开式中x9的系数满足0＝a9C90＋a10C101，∴a9＝－10.故选 D.