电子科技大学 线性代数试题

一. 填空题(21 分)： 1. 设 3 阶矩阵 A 满足| A | = 2, 则 | −(3A* )−1 |= ________.
→
→
2. 设三角形的顶点为原点 O 及 A = (1, 2, − 1), B = (1, 1, 0), 则 OA× OB = _____
___,
面积 SΔOAB = ________.
⎛ 0 1 0 ⎞2005 ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 0 0 1 ⎞2006
3.
⎜ ⎜
1
0
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
4
5
6
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
=_______.
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 8 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 0⎟⎠
4. R3 中, 方程 z − x2 − y2 = 0 所确定的曲面形状称为____ 22
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………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
注意: 在第七、第八题中任选做一题！
七 (7 分 ). 在 R3 中 , 求 线 性 变 换 σ (x1, x2 , x3 ) = (2x1 − x2 , x2 + x3, x1) 在 基 ε1 = (1, 0, 0),
_____.
⎛k 1 1⎞
5.
设矩阵A
=
⎜ ⎜
1
k
1 ⎟⎟的秩R( A) < 3, 则 k = _________.
⎜⎝ 1 1 k ⎟⎠
6. 若二次型 2x12 + x22 + x32 + 2x1x2 + tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围是________.
⎛ 1 2 −2 ⎞
7.
设
A
Ax = 0 的基础解系？(说明理由)
十一(8 分).
已知矩阵
A
=
⎛ ⎜ ⎜
a1b1 a2b1
a1b2 a2b2
a1b3 a2b3
⎞ ⎟ ⎟
，证明：存在数
k，使
A2
=
kA .
⎜⎝ a3b1 a3b2 a3b3 ⎟⎠
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(ai2 + bi2 ≠ 0, i = 1, 2,3) 交于一
九(6 分). 已知三阶矩阵 A 的特征值为1, −1, 2 ， B = A3 − 5A2 ，求| B |.
十 (10 分 ). 设 α1,α2 ,",αs 是 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = 0 的 基 础 解 系 , β1 = t1α1 + t2α2 , β2 = t1α2 + t2α3, ", βs = t1αs + t2α1 , 其中 t1, t2 为实常数. 试问 t1, t2 满足什么条件时, β1, β2 , ", βs 也为
ε2 = (0,1, 0), ε3 = (0, 0,1) 下的矩阵.
八(7 分).
设 α1
=
⎛ ⎜ ⎜
a1 a2
⎞
⎟ ⎟
,
α
2
=
⎛ ⎜ ⎜
b1 b2
⎞
⎟ ⎟
,
α
3
=
⎛ ⎜ ⎜
c1 c2
⎞
⎟ ⎟
,
则三条直线 ai x + bi y + ci = 0
⎜⎝ a3 ⎟⎠
⎜⎝ b3 ⎟⎠
⎜⎝ c3 ⎟⎠
点的充要条件是什么？(说明理由)
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线性代数与空间解析几何课程考试题 A 卷(120 分钟)考试形式: 笔试 考试日期 2010 年 1 月 19 日
课程成绩构成：平时
20 分， 期中
20 分， 实验
分， 期末 60 分
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计
=
⎜ ⎜
2
−1
a
⎟ ⎟
(a
为常数),
B3×3 ≠ 0 , BA = 0, 则 R(B) = ________.
⎜⎝ 3 1 1 ⎟⎠
y−b b b " b
b y−b b " b
二(8 分). 计算行列式 Dn = b "
b y−b " b .
"
""
b b b " y−b
三(8 分).
求直线 L :
x −1 1
=
y 1
=
z −1 在平面π −1
:x−
y + 2z
−1 =
0 上的投影直线 L0 的方程.
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⎛ 1 −2 0 ⎞
四(10 分).
已知 AB − B
=
A,
其中 B
=
⎜ ⎜
2
⎜⎝ 0
1 0
0 2
⎟ ⎟ ⎟⎠,来自求 A.⎛1 1 1 0 0 0⎞
五(10 分).
非齐次方程组的增广矩阵
A
=
⎜ ⎜ ⎜
1 2
1 2
−1 0
−1 −1
−2 −2
1 1
⎟ ⎟ ⎟
,求该方程组的通解
(用基础解系表示)
⎜⎜⎝ 5 5 −3 −4 −8 4 ⎟⎟⎠
六(12 分). 用正交变换化二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + x22 + x32 − 4x1x2 − 4x2 x3 − 4x1x3 为标准形, 并求出相应的正 交矩阵.