第二章第一节《 函数及其表示》演练知能检测

一、选择题
1．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．y ＝5
x 5与y ＝x 2 B ．y ＝ln e x
与y ＝e ln x
C ．y ＝
(x －1)(x ＋3)
x －1
y ＝x ＋3
D ．y ＝x 0
与y ＝1x
解析：选D y ＝5x 5＝x ，y ＝x 2＝|x |，故y ＝5
x 5与y ＝x 2不表示相等函数；B 、C 选项中的两函数定义域不同；D 选项中的两函数是同一个函数．
2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的
是( )
A ．f ：x →x 3
－1 B ．f ：x →(x －1)2
C ．f ：x →2x －1
D ．f ：x →2x
解析：选C 对于A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，C 符合．
3．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
2x －2，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f (f (－10))＝( )
A.1
2 B.14 C ．1
D ．－1
4
解析：选A 依题意可知f (－10)＝lg 10＝1， f (1)＝2
1－2
＝12
. 4．(2013·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ，x ≥0，
－x ，x <0，
若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )
A ．－3
B ．±3
C ．－1
D ．±1
解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝ 1＝1， ∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，∴a ＝1； 当a <0时，f (a )＝
－a ＝1，∴a ＝－1.
5．(文)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1
D ．3x ＋3
解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.
5．(理)已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝1
3x 2－4x ＋6
C ．f (x )＝6x ＋9
D ．f (x )＝2x ＋3
解析：选B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝
1
3x 2
－4x ＋6.
6．(2013·泰安模拟)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1
x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，
下列函数：
①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1
x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，0<x <1，0，x ＝1，－1
x x >1.满足“倒负”变换的函数是( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．只有①
解析：选B ①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1
x x ＝－f (x )满足． ②f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－x ＝－f (x )， x ＝1时，f ⎝⎛⎭⎫1
x ＝0＝－f (x )，
x >1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1
x ＝－f (x )满足． 二、填空题
7．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2
＋1x 2，则函数f (3)＝________.
解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －
1x ＝x 2＋1x 2⎝⎛⎭⎫x －1x 2
＋2， ∴f (x )＝x 2
＋2.∴f (3)＝32
＋2＝11. 答案：11
8．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)
f (2 011)＝________.
解析：令b ＝1，∵f (a ＋1)
f (a )
＝f (1)＝1， ∴
f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)f (2 011)
＝2 011. 答案：2 011
9．(文)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
，x ≤0，
f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为
________．
解析：由题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－20
＝－1. 答案：－1
9．(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋1，x ≥0，1，x <0，
则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是
________．
解析：
画出f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0，
1，x <0的图象，
如图．
由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
>0，1－x 2
>2x ， 即⎩⎨⎧
－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.
得x ∈(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1) 三、解答题
10．已知f (x )＝x 2
－1，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1，x >0，
2－x ，x <0.
(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0， g (f (2))＝g (3)＝2.
(2)当x >0时，g (x )＝x －1，
故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，
故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.
所以f (g (x ))＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.
当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2
.
所以g (f (x ))＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2，x >1或x <－1，
3－x 2
，－1<x <1. 11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.
解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.
把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2
－x ＋1.
(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.
故原不等式解集为{x |x >4或x <－1}．
12．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．
(1)若x ＝7
16
，分别求f 1(x )和f 2(x )；
(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 解：(1)∵x ＝
716时，4x ＝74
， ∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤7
4＝1.
∵g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝3
4
.
∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫
34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716x <12.。