第二章第一节《 函数及其表示》演练知能检测
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一、选择题
1.下列各组函数中,表示相等函数的是( ) A .y =5
x 5与y =x 2 B .y =ln e x
与y =e ln x
C .y =
(x -1)(x +3)
x -1
y =x +3
D .y =x 0
与y =1x
解析:选D y =5x 5=x ,y =x 2=|x |,故y =5
x 5与y =x 2不表示相等函数;B 、C 选项中的两函数定义域不同;D 选项中的两函数是同一个函数.
2.设A ={0,1,2,4},B =⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
12,0,1,2,6,8,则下列对应关系能构成A 到B 的映射的
是( )
A .f :x →x 3
-1 B .f :x →(x -1)2
C .f :x →2x -1
D .f :x →2x
解析:选C 对于A ,由于集合A 中x =0时,x 3-1=-1∉B ,即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应,所以选项A 不符合;同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射,C 符合.
3.已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪
⎧
2x -2,x ≥0,lg (-x ),x <0,则f (f (-10))=( )
A.1
2 B.14 C .1
D .-1
4
解析:选A 依题意可知f (-10)=lg 10=1, f (1)=2
1-2
=12
. 4.(2013·杭州模拟)设函数f (x )=⎩⎨⎧
x ,x ≥0,
-x ,x <0,
若f (a )+f (-1)=2,则a =( )
A .-3
B .±3
C .-1
D .±1
解析:选D ∵f (a )+f (-1)=2,且f (-1)= 1=1, ∴f (a )=1,当a ≥0时,f (a )= a =1,∴a =1; 当a <0时,f (a )=
-a =1,∴a =-1.
5.(文)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (x )=( ) A .x -1 B .x +1 C .2x +1
D .3x +3
解析:选B 由题意知2f (x )-f (-x )=3x +1.① 将①中x 换为-x ,则有2f (-x )-f (x )=-3x +1.② ①×2+②得3f (x )=3x +3, 即f (x )=x +1.
5.(理)已知函数f (x )满足f (x )+2f (3-x )=x 2,则f (x )的解析式为( ) A .f (x )=x 2-12x +18 B .f (x )=1
3x 2-4x +6
C .f (x )=6x +9
D .f (x )=2x +3
解析:选B 由f (x )+2f (3-x )=x 2可得f (3-x )+2f (x )=(3-x )2,由以上两式解得f (x )=
1
3x 2
-4x +6.
6.(2013·泰安模拟)具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1
x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,
下列函数:
①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1
x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
x ,0<x <1,0,x =1,-1
x x >1.满足“倒负”变换的函数是( )
A .①②
B .①③
C .②③
D .只有①
解析:选B ①f ⎝⎛⎭⎫1x =1
x x =-f (x )满足. ②f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x )不满足. ③0<x <1时,f ⎝⎛⎭⎫1x =-x =-f (x ), x =1时,f ⎝⎛⎭⎫1
x =0=-f (x ),
x >1时,f ⎝⎛⎭⎫1x =1
x =-f (x )满足. 二、填空题
7.已知f ⎝⎛⎭⎫x -1x =x 2
+1x 2,则函数f (3)=________.
解析:∵f ⎝⎛⎭⎫x -
1x =x 2+1x 2⎝⎛⎭⎫x -1x 2
+2, ∴f (x )=x 2
+2.∴f (3)=32
+2=11. 答案:11
8.若f (a +b )=f (a )·f (b )且f (1)=1,则f (2)f (1)+f (3)f (2)+…+f (2 012)
f (2 011)=________.
解析:令b =1,∵f (a +1)
f (a )
=f (1)=1, ∴
f (2)f (1)+f (3)f (2)+…+f (2 012)f (2 011)
=2 011. 答案:2 011
9.(文)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
,x ≤0,
f (x -1)-f (x -2),x >0,则f (3)的值为
________.
解析:由题意得f (3)=f (2)-f (1)=f (1)-f (0)-f (1)=-f (0)=-20
=-1. 答案:-1
9.(理)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2+1,x ≥0,1,x <0,
则满足不等式f (1-x 2)>f (2x )的x 的取值范围是
________.
解析:
画出f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
+1,x ≥0,
1,x <0的图象,
如图.
由图象可知,若f (1-x 2)>f (2x ),
则⎩
⎪⎨⎪⎧
1-x 2
>0,1-x 2
>2x , 即⎩⎨⎧
-1<x <1,-1-2<x <-1+ 2.
得x ∈(-1,2-1). 答案:(-1,2-1) 三、解答题
10.已知f (x )=x 2
-1,g (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
x -1,x >0,
2-x ,x <0.
(1)求f (g (2))和g (f (2))的值; (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式. 解:(1)由已知,g (2)=1,f (2)=3, 因此f (g (2))=f (1)=0, g (f (2))=g (3)=2.
(2)当x >0时,g (x )=x -1,
故f (g (x ))=(x -1)2-1=x 2-2x ; 当x <0时,g (x )=2-x ,
故f (g (x ))=(2-x )2-1=x 2-4x +3.
所以f (g (x ))=⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2-2x ,x >0,x 2-4x +3,x <0.
当x >1或x <-1时,f (x )>0, 故g (f (x ))=f (x )-1=x 2-2; 当-1<x <1时,f (x )<0, 故g (f (x ))=2-f (x )=3-x 2
.
所以g (f (x ))=⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2-2,x >1或x <-1,
3-x 2
,-1<x <1. 11.二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1. (1)求f (x )的解析式; (2)解不等式f (x )>2x +5.
解:(1)设二次函数f (x )=ax 2
+bx +c (a ≠0). ∵f (0)=1,∴c =1.
把f (x )的表达式代入f (x +1)-f (x )=2x ,有 a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x . ∴2ax +a +b =2x . ∴a =1,b =-1. ∴f (x )=x 2
-x +1.
(2)由x 2-x +1>2x +5,即x 2-3x -4>0, 解得x >4或x <-1.
故原不等式解集为{x |x >4或x <-1}.
12.规定[t ]为不超过t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任意实数x ,令f 1(x )=[4x ],g (x )=4x -[4x ],进一步令f 2(x )=f 1[g (x )].
(1)若x =7
16
,分别求f 1(x )和f 2(x );
(2)若f 1(x )=1,f 2(x )=3同时满足,求x 的取值范围. 解:(1)∵x =
716时,4x =74
, ∴f 1(x )=⎣⎡⎦⎤7
4=1.
∵g (x )=74-⎣⎡⎦⎤74=3
4
.
∴f 2(x )=f 1[g (x )]=f 1⎝⎛⎭⎫
34=[3]=3. (2)∵f 1(x )=[4x ]=1,g (x )=4x -1, ∴f 2(x )=f 1(4x -1)=[16x -4]=3.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤4x <2,3≤16x -4<4,∴716x <12.。