第二章第一节《 函数及其表示》演练知能检测

一、选择题

1．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．y ＝5

x 5与y ＝x 2 B ．y ＝ln e x

与y ＝e ln x

C ．y ＝

(x －1)(x ＋3)

x －1

y ＝x ＋3

D ．y ＝x 0

与y ＝1x

解析：选D y ＝5x 5＝x ，y ＝x 2＝|x |，故y ＝5

x 5与y ＝x 2不表示相等函数；B 、C 选项中的两函数定义域不同；D 选项中的两函数是同一个函数．

2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的

是( )

A ．f ：x →x 3

－1 B ．f ：x →(x －1)2

C ．f ：x →2x －1

D ．f ：x →2x

解析：选C 对于A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，C 符合．

3．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

2x －2，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f (f (－10))＝( )

A.1

2 B.14 C ．1

D ．－1

4

解析：选A 依题意可知f (－10)＝lg 10＝1， f (1)＝2

1－2

＝12

. 4．(2013·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧

x ，x ≥0，

－x ，x <0，

若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )

A ．－3

B ．±3

C ．－1

D ．±1

解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝ 1＝1， ∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，∴a ＝1； 当a <0时，f (a )＝

－a ＝1，∴a ＝－1.

5．(文)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1

D ．3x ＋3

解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.

5．(理)已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝1

3x 2－4x ＋6

C ．f (x )＝6x ＋9

D ．f (x )＝2x ＋3

解析：选B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝

1

3x 2

－4x ＋6.

6．(2013·泰安模拟)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1

x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，

下列函数：

①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1

x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ，0

x x >1.满足“倒负”变换的函数是( )

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．只有①

解析：选B ①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1

x x ＝－f (x )满足． ②f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0

x ＝0＝－f (x )，

x >1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1

x ＝－f (x )满足． 二、填空题

7．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2

＋1x 2，则函数f (3)＝________.

解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －

1x ＝x 2＋1x 2⎝⎛⎭⎫x －1x 2

＋2， ∴f (x )＝x 2

＋2.∴f (3)＝32

＋2＝11. 答案：11

8．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)

f (2 011)＝________.

解析：令b ＝1，∵f (a ＋1)

f (a )

＝f (1)＝1， ∴

f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)f (2 011)

＝2 011. 答案：2 011

9．(文)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x

，x ≤0，

f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为

________．

解析：由题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－20

＝－1. 答案：－1

9．(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2＋1，x ≥0，1，x <0，

则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是

________．

解析：

画出f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2

＋1，x ≥0，

1，x <0的图象，

如图．

由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，

则⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x 2

>0，1－x 2

>2x ， 即⎩⎨⎧

－1

得x ∈(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1) 三、解答题

10．已知f (x )＝x 2

－1，g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x －1，x >0，

2－x ，x <0.

(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0， g (f (2))＝g (3)＝2.

(2)当x >0时，g (x )＝x －1，