受弯构件的正截面受弯承载力计算原理单筋矩形截面

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=
fy As
Mu
=
f y As (h0

x) 2
Mu
=α 1
fcbx(h0

x) 2
① 防止超筋破坏,保证构件破坏时
纵向受拉钢筋首先屈服,应满足:
ξ

ξ b

x

ξ b
h0

ρ≤ρ max
单筋矩形截面梁的最大受弯承载力:
( ) Mu,max
=α 1
fcbh02ξb
1− 0.5ξb

3.
为防止少筋破 坏,应满足:
为应用方便,将计算公式制成表格,简化计算
( ) 简化:重要计算系数
将 式
Mu
Mu
=
=
α 1
f c b h02ξ
f y As h0
σ si
=
Esi
⋅ε si

f

y

σ
si

fy
第i层纵向钢筋的应力
要求纵向受拉和受压钢筋的应力都不大于相应的 强度设计值,从而提供可靠的安全储备
二、 基本方程

1. 受压区砼压应力合力及作用点
筋 矩
假 受定 压: 区1边. 承缘载砼力极极限限压状应态变,εcu
2. 截面受压区高度 x c


面 As
•正截面达到承载力极限状态的另一个标志 1)有屈服点的钢筋:钢筋应变进入屈服台阶后变 形太大(达到0.01以后)而不适用于继续承载 2)没有屈服点的钢筋:限制其强化程度 •要求纵向受拉钢筋的极限拉应变不得小于0.01, 以保证结构构件具有必要的延性
5. 纵向钢筋的应力取钢筋应变与其弹性模量的乘积,
但其值应符合要求
0.576 0.550 0.518 0.482
0.556 0.531 0.499 0.464
0.537 0.512 0.481 0.447
ε cu
ε =ε
s
y
C80 0.518 0.493 0.463 0.429
xc < xcb xc =xcb xc > xcb
判定是否是超筋梁
比较ξ 与ξb 的大小
xb
β1h0
=
ε cu
εcu + ε y

ξ b
=
xb h0
--等效矩形图界限 相对受压区高度
xb
β1h0
=
ε cu
ε +ε
cu
y
ε y
=
fy
ES
ξ=
β 1
b
1+
fy
Es ⋅ ε cu
相对界限受压区高度 ξ 取值 b
种类
≦C50
C60
C70
钢 300MPa 筋 335MPa 强
度 400MPa 等 级 500MPa
α β β1
1 --等效矩形应力图的强度与受压区砼最大应力的比值
--等效矩形应力图的 受压区高度与平截面假
1 = x xc
定的中和轴高度的比值 混凝土受压区等效矩形应力图系数表
≤C50 C55 C60 C65 C70 C75 C80
α1 1.0 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 β1 0.8 0.79 0.78 0.77 0.76 0.73 0.74
④ 按照截面尺寸已知的情形1 步骤进行设计计算
2. 截面复核 已知:截面设计弯矩M、截面尺寸bh、受拉钢筋截 面面积As、砼强度等级及钢筋级别,求正截面承载 力 Mu 是否足够。
复核步骤:
①由 ρ =
As
计算
b h0
ξ =ρ
fy
α 1
fc
③②④检检MA验验su是是==否否αρ1满满mfc足ib足n bhξ02hξ≤A1ξ配s−b 筋≥ξ2若或ρξ修mi>n改bξ截hb ,面M按若重u ξ不新=满设ξ足计b计,算按
矩形截面:的宽度b 一般取为l00、120、150、 (180)、200、(220)、250和300mm,300mm以 上的级差为50mm;括号中的数值仪用于木模
α ② 1 fcbx = fy
ξ 与配筋率相比,
A 两边除以
s bh0
α 1
fc
x h0
=
fy
考虑了受拉钢筋与混凝土
As bh0
的面积的比值及其力学性质指标的比值,能更
2. 不考虑混凝土的抗拉强度 1) 砼的抗拉强度很小;2)中和轴以下砼的合力作用点
离中和轴较近,内力矩的力臂很小 → 忽略受拉区砼的抗拉作用
3. 砼受压的应力-应变 关系曲线
1) 当εc≤ε0时,
σ c
=
f
c
[1

(1

ε ε
c
)
n
]
0
式中
n
=
2

1 60
(
f cu , k

50)

2.0
ε 0
=
=
T = f y As 受压区砼的应力图
f y As
截面的弯矩,即 截面受弯承载 力 Mu:
∫ Mu = Cz =
xc 0
σ cb(h0

xc
+
y)dy
z--C与T之间的距离 ,内力臂
2. 等效矩形应力图
公式复杂,可取等效矩形应力图 形来代替受压区砼应力图形
两个图形满足的等效条件:
1) 受压区砼压应力合力C 的大小相等
ε cu
ξ= x
h0
x>xxb=xbx<xb
ε =ε
s
y
等效矩形应变图
xxc<< xxbcb xxc==xxcb
xc >> xcbb
1.
ξ
>ξ b
2.
ξ ξ
=<ξξbb
α1 fc
x = β1xC
C
=
α 1
fcbx
z
T = f y As
等效矩形应力图
x > xb=ξbh0 x < xb=ξbh0
超筋梁 适筋梁
采用等效矩形应力图,推 导受弯承载力的计算公式

ξ
Mu
=x
=
α 1
h0
fcbx h0

xபைடு நூலகம்2

α1 fc
x = β1xC
C = α1 fcbx
z
等效矩形图相对
T = f y As
受压区高度
等效矩形应力图
Mu
=
α 1
fcbh02ξ
(1− 0.5ξ
)
三、适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率
适筋梁与超筋梁
z xxc==xxcb
xc >> xcbb
T
εs = εy
=
f y As
最大配筋率
ρ max
=
ρ b
=
αξ 1b
fc fy
四、适筋梁与少筋梁的界限及最小配筋率
少筋破坏的特点:一产生裂缝就破坏。所以,确定纵 向受拉钢筋最小配筋率ρmin的理论原则是:按Ⅲa阶段 计算钢筋混凝土受弯构件正截面受弯承载力与由素混 凝土受弯构件计算得到的正截面受弯承载力两者相等

α 1
fcbx
=
f y As
ξ
=x
As
h0

ξ
αb 1 f
值查表
fc bh0
y
•根据理论面积选择实际截面面积,要求两者相差不超过±5%
•检查实际的as选与假定的是否大致相符,如果相差太大,重算
⑤验算是否少筋
要求满足:As ≥ ρminbh
若不满足:A按s = ρminbh配置
或ρ

ρ min
h h0
ε cu
的界限破坏条件:
受拉纵筋屈服:
ε y
=
fy
ES
砼发生ε 受=压ε破坏:
xc < xcb xc =xcb
c
cu
x 设:界限破坏时中和轴高度 cb
xc > xcb
x 等效矩形xhc0图b =界ε限cuε受+cu压ε y区高度
b
εs = εy
平截面假定正截面平均应变图
β=x
1 xc
xb
=
β 1
xcb
在经工济程配实筋践率中 ρ
ρ

ρmin
h h0
或 A≥ s
<
ρ max
才能做到经济合理
ρminbh
( 1 ) 脆性破坏无明显预兆,应杜绝。要求梁在濒临破
坏时具有明显的预兆以及在破坏时具有适当的延性,
就要求
ρ
<
ρ max
(2)
由 Mu
=
fy
As
( h0

x 2
)

Mu
=α 1
fcbx(h0

x) 2
知,已知弯矩设计值M,可以设计出不同截面尺寸的梁。
当配筋率取得小些,梁截面就要大些;当配筋率取得
大些,梁截面就可小些。按照我国经验,板的经济配
筋率约为0.3%~0.8%;单筋矩形梁的经济配筋率约
为0.6%~1.5%。
(2) 截面承截力计算的两类问题及计算方法
截面设计、截面复核两类问题
1. 截面设计 有两种情形:均令正截面弯矩设计值 M 与截面受弯承载力设计值 Mu 相等 情形 1:已知截面设计弯矩M、截面尺寸bh、砼 强度等级及钢筋级别,求受拉钢筋截面面积As 设计步骤: ① 根据环境类别和砼强度等级,查表得砼保护层最
小厚度c, 假定 as ,由砼强度等级定,a1 得到h0 一排纵筋: as = c + m + d 2 h0 = h − as

Mu
=α 1
fcbx h0

x 2

x ξ = x h0
③ 若验算ξ是>否ξ超b 筋则,加要大求截满面足尺ξ寸≤,ξb
或提高砼强度等级,或改用双筋
矩形截面重新计算
y 处纤维的压应变:ε = ε y
受拉钢筋的
c
ε =ε
h0
cu

xc
xc
y
应变:
s
cu xc
xc
h0
ε cu εc
ε s
ε =ε y
fC
c
σ c
cu xc = fc [1 − (1 −
ε c
ε
)n ]
z
则,压应力
0
的合力 C: C =
∫ 力的平衡条件:
∫ C=T
xc 0
σ
c
b
d
y
xc 0
σ cbdy
2) 两图形中受压区合力C的作用点不变
fc
α1 fc
C
=
α 1
fcbx
xc
x = β1xc
z
z
T = f y As
T = fy As 等效矩形应力图
fc
xc
z
α 1
fc
x = β1xc
C = α1 fcbx
z
T = f y As
T = f y As
α1
β 1
等效矩形应力图
-等效矩形应力图系数,用来确定等效矩形应力图
《 规 范 》 混 凝 土 应 力 -应 变 曲 线 参 数
f c u,k
≤ C 50
C60
C70
C80
n
2
1.83
1.67
1.5
ε0
0.002
0.00205
0.0021
0.00215
εu
0.0033
0.0032
0.0031
0.003
曲线随混凝土强度等级不同而有所变化
4. 纵向受拉钢筋的极限拉应变取为 0.01
最小配筋率是少筋梁和适筋梁的界限。
四、适筋梁与少筋梁的界限及最小配筋率
我国《混凝土结构设计规范》规定:
(1) 受弯构件、偏心受拉、轴心受拉构件,其一 侧纵向受拉钢筋的配筋率应满足:纵向受拉钢 筋的配筋率不应小于0.2%和0.45ft/fy中的较大值
ρ min
=
0.45
ft fy
ρ min
=
0.2%
ρ≥ρ h
h min 0
ρ ≥ 0.2% × h
h0
(2) 卧置于地基上的砼板,其受拉钢筋的最
小配筋率可适当降低,但不应小于0.15%。
4.4 单筋矩形截面受弯构件正截面 受弯承载力计算
(1) 基本计算公式及适用条件 1. 基本计算公式
计算简图
力的平衡条件 力矩平衡条件
2. 适用条件
α 1
fcbx
第四章
受弯构件的正截面
受弯承载力
主讲人:胡修文 工程地质与岩土工程系
2017 春
4. 3 正截面受弯承载力计算原理
一、基本假定
试验梁破坏特征→正截面
承载力的五个基本假定:
1. 截面应变保持平面 指梁在荷载作用下,正截面变形规律符合“平均应 变平截面假定”,简称平截面假定。 实验表明:钢筋砼构件受力后,截面各点的砼和钢 筋纵向应变呈沿截面高度方向呈直线变化
按素混凝土受弯构件计算时,混凝土还没有开裂,所以规 范规定的最小配筋是按h而不是按h0计算的
考虑到砼抗拉强度的离散性,以及收缩等因素的影响,最小配 筋率ρmin往往根据传统经验得出的。规范规定的纵向受力钢筋 最小配筋率见附表4-5。为了防止梁“一裂就坏”,适筋梁的配 筋率应不小于ρminh/h0。
要避免少筋破坏发生,必须确定构件的最小配筋率 ρminh/h0
界限梁
求界限配筋率
假 筋定 率:为纵界向限受配拉筋钢率筋的ρb配
力的平衡条件:
α1 fcbxb = f y As
ρb
=
As bh0
ρb
=
α 1
fcbxb
bh0 f y
= α1
fc fy
xb h0
= α1ξb
fc fy
αε
1 fc
cu
xx>=xxb=βx1bxxC<xb
C
=
α 1
fcbx
xxc<< xxbcb
ξ
=
ρ
fy
α 1
fc
全面地反映纵向受拉钢筋与混凝土有效截面
面积的匹配关系,因此,又其称为配筋系数

Mu
= α1
fcbx(h0

x) 2
h0 =
M
α 1
fcbξ
(1−0.5ξ
)
检查 h = h0 + as
取整后,是否满足构造要求,h / b 是否合适,如不合适,需要重
新调整,直至符合要求
矩形截面梁: h / b= 2.0~3.5
0.002
+
0.5(
f cu , k

50) ×10−5

0.002
fc --砼轴心抗压强度设计值
ε − − 相应于峰值应力的应变,即峰值应变 0
2) 当ε0≤εc≤εcu时,
σc = fc
式中 εcu = 0.0033 − ( fcu,k − 50) ×10−5 ≤ 0.0033
ε cu
−−
砼的极限压应变
Mu
=
f y AS

h0

x 2
Mu = fyAsh0 1−ξ2
Mu
当 Mu ≥ M 满足要求,否则认为不安全 若 M u大于M 过多,则认为该截面设计不经济
( 3 ) 正截面受弯承截力的计算系数及其计算方法
按式
αMM1 ufucb==xαf=1yfAcfbsy(xAh(s0h0−−2x2x)) 计算时,需解二次方程
情形 2:已知截面设计弯矩M、砼强度等级及钢筋 级别,求构件截面尺寸bh和受拉钢筋截面面积As
设计步骤:
① 需要b增,加h 条, A件s 和,x通均常为假未定知配数筋,率解ρ有和多梁组宽。计b 算时
配筋率的经济取值: 板的约为0.3%~0.8%; 单筋矩形梁的约为0.6%~1.5%。 梁宽按构造要求确定
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