交通流分配

二分法
• • 1.高等数学微积分知识： 求函数 ( x) 极小值，且函数 ( x) 连续可微，如果找到一个区间[a,b](a<b) 使 (a) 0 且 (b) 0 ，则在啊a，b之间一定有一个 点 ( x) ，使得 ( x * ) 0 • • 2.思路
x*
Frank－wolfe算法求解Beckmann 模型
• 1.已知迭代起点 X an 求决定下一步迭代方向线性规划问题
•
n min : Z n (Y ) t a ya a rs st. g k q rs , r , s k rs gk 0, k , r , s
• 该模型实际是在路段阻抗已知的情况下，使网络的总阻抗最 小的交通流分配问题，即将OD交通量全部沿OD间的最短路径
进行分配即可使目标函数最小化
Frank－wolfe算法求解Beckmann 模型
• 1.已知迭代起点 X an 求决定下一步迭代方向线性规划问题
•
n min : Z n (Y ) t a ya a rs st. g k q rs , r , s k rs gk 0, k , r , s
平衡分配理论的发展
• 1.1952年，Wardrop提出了道路网平衡的概念和定义 • 2.1956年，Beckmann提出了描述平衡交通流分配的数 学规划模型 • 3.1975年，LeBlanc设计出了求解Beckmann模型的算法
平衡分配理论在交通分配上占有重要的地位，大部分商业 软件的交通分配程序都是平衡分配程序。
t a ( xa ) ——为弧a对网络总阻抗的边际贡献；即
xa承担的额外阻抗 ；
——是连接OD对子r－s的路径k对网络总阻抗 的边际贡献；
c krs
系统最优（SO）与用户最优（UE）
UE在平衡点，连接每个OD对的路径可以分成两类，一 类路径上有流量，对应的路径阻抗是相等的；另一类 路径上没有流量，其阻抗大于第一类路径的阻抗
平衡分配方法
1.平衡分配模型 2.平衡分配算法
符号定义
• N——网络节点的集合； • A——网络有向弧（即路段）的集合 • R——产生出行量的起点集合，R∈N； • F——吸收出行量的终点集合，F ∈N,F∩R不一定是空集 • r——代表一个起点节点，r ∈R； • s——代表一个终点节点，s ∈F； • Krs——连接OD对rs的所有路径的集合； • qrs——所研究的时段内从r到s的交通需求量； • q——OD矩阵（qrs），r∈R，s∈F；
在网络处于DUE平衡时，司机不能简单的通过改变路径 来减少出行时间，也就是说这时候从出行者角度来说， 网络的出行时间时最小的。
DUE问题的数学规划模型—— beckmann交通平衡分配模型
• 目标函数
min Z ( x) t a x dx
xa a 0
（1） （2） （3） （4）
• 约束条件
符号定义
ars , k——如果弧a在连接O-D对r-s的路径k上，其值为1；否则
为零
•
rs rs △ ——矩阵（ a ,k
）， a ∈A， k ∈Krs；
• △——向量（…, △rs , … ）， r ∈R， s ∈F ；
路段与路径之间的流量和阻抗之间的关系
xa f krs ars ,k
衡（User Equilibrium，UE）或用户最优
• 用户平衡说明不存在司机能单方面改变其路径能减少 其出行时间
Wardrop平衡原理
• Wardrop第二原理，系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该
按照平均或总的出行成本最小为依据来分配。——系统最优原理 （System Optimization，SO） • 第一原理主要是建立每个道路利用者使其自身出行成本（时间） 最小化的行为模型；反映了道路用户选择路线的一种准则，因此 按照第一原理分配的结果应该是路网上用户实际径路选择的结果； • 第二原理则是达到出行成本最小的系统平衡；反映了一种目标， 即按照什么样的方式分配是最好的，第二原理为交通管理人员提 供了一种决策方法
Beckmann模型解的唯一性
• 当所有路段的阻抗函数是单调递增函数时，目标函数 是严格凸的，所以beckmann模型有唯一的最小点，也
就是说，当达到平衡是，分配到各路段上的流量是唯
一的。
系统最优公式(SO)
• 1.在UE规划中，每位司机只从自身利益出发去寻找最 小阻抗的路径，司机之间互不协商，经过不断的系统
• SO达到系统最优时，路径分为两类：一类路径上有流 量，路径阻抗边际量总是互相等值的，另一类路径上 没有流量，路径总阻抗边际值大于或等于第一类路径
的阻抗边际量
UE与SO之间的比较
• 1.当网络上略去拥挤效应时，UE和SO时相等的 • 2.如果在UE规划中令阻抗函数为 t a ( xa ) ，其解与SO的 解相同； •
r s k
a A
rs ck t a ars ,k a
k K rs , r R, s F
DUE平衡的定义
DUE定义：在平衡点，连接每个O－D对的所有被使用的路 径有相同的阻抗，且小于或等于任何未被适用的路径阻抗。 在平衡点，连接每个OD对的路径可以分成两类，一类路 径上有流量，对应的路径阻抗是相等的；另一类路径上 没有流量，其阻抗大于第一类路径的阻抗
0
t a ( )d
Z n n n n n 0, 得： ( y x ) t x ( y x a a a a a a) 0 a
n 1 • 由二分法求出迭代的步长λ，因此，下一步迭代的起点 xa


n 1 n n n xa xa ( ya xa )
• 设OD之间交通量为q＝2000辆，有两条路径a和b，路径a行驶时间 短，但通行能力小，路径b行驶时间长，但通行能力大，假设各 自的行驶时间（min）与流量的关系是：
t a 10 0.02 q a t b 15 0.005 q b
• 1.UE平衡分配的结果 • 2.非平衡分配的结果：最短路径、容量限制－增量加载
• 该模型实际是在路段阻抗已知的情况下，使网络的总阻抗最 小的交通流分配问题，即将OD交通量全部沿OD间的最短路径
进行分配即可使目标函数最小化
Frank－wolfe算法求解Beckmann 模型
• 2.确定第n次迭代时沿最速下降方向的最佳迭代步长
min : Z ( )
a
n n n xa ( ya xa )
• 在道路的利用者都确切知道网络的交通状态并试图选择最短径路
时，网络将会达到平衡状态。在考虑拥挤对行驶时间影响的网络 中，当网络达到平衡状态时，每个OD对的各条被使用的路径具有
相等而且最小的行驶时间，没有被使用的 路径的行驶时间大于
或等于最小行驶时间。
Wardrop平衡原理
• Wardrop第一原理，在实际交通流分配中也称为用户均
rs f k qrs r, s k
f
rs k
0k , r , s
s k
xa f krs ars , k a
r
DUE问题的数学规划模型
• 目标函数（1）是所有弧阻抗函数积分的和； • 约束（1）代表路径流量与OD流量之间的守恒关系； • 约束（2）保证所有的路径流量一定是正值； • 约束（3）是弧流量与路径流量之间的关联关系； • 模型中有两个假设：弧阻抗仅仅是该弧流量的函数， 与其它弧上的流量没有联系；弧阻抗是流量的严格增 函数
的极小值
/2 ( x0 ) 0，则 ( x) 在区间[a,x0]中必有极小点， 取 x0 (a b) ，若
平衡分配理论的书籍
• 1.YOSEF SHEFFI，Urban Transportation Networks:Equilibrium Analysis with Mathematical Programming Methods,Prentice-Hall,INC • 2.黄海军，城市交通网络平衡分析——理 论与实践，人民交通出版社，1994年
内部调整后，达成一个平衡状态。
• 2.系统最优的原则假设司机能接收统一的调度，大家 的共同目的是使系统的总的阻抗最小。
系统最优公式（SO）
• 目标函数
min Z ( x) xa t a ( xa )
a
（1） （2） （3） （4）
• 约束条件
rs f k qrs r, s k
f
rs k
符号定义
• xa——在弧a上的交通流量，a ∈A； • x——向量（…, xa , … ）， a ∈A； • ta——弧a上的阻抗（时间）， a ∈A， ta＝ ta（ xa ）；
• t——向量（…, ta , … ）， a ∈A；
符号定义
• f krs——O-D对r-s之间路径k上的流量，k ∈ Krs ； • frs——向量（…,
f krs
, … ）， k ∈Krs；
• f——向量（…, frs , … ）， r ∈R， s ∈F ；
rs ——O-D对r-s之间路径k上的阻抗，k ∈ K • ck rs；
• crs——向量（…, •
c krs ,
… ）， k ∈Krs；
c——向量（…, crs , … ）， r ∈R， s ∈F ；
平衡分配的引出
• 1.问题
A 2 1 B
• 且每条路段上的运行时间t是流量v的函数 • 问，假设出行者对路径出行信息有清楚 的了解，问OD量在路径1、2上如何分配 才达到平衡，或者说达到最优？
Wardrop平衡原理
• 1.1952年著名学者Wardrop提出了交通网络平衡分配的第一、第 二原理； • 2.Wardrop第一原理
dta ( x a ) 3.当网络拥挤程度较低时， dxa
很小，UE与SO十分接
近。
• 4.当网络上交通需求量较大时，拥挤产生，UE与SO的
差别就很明显
UE与SO之间的比较
• 1.SO解通常不是UE解，但SO解是使网络总阻抗最小的 一个可行解 • 2.UE解中司机独立行动，只关心寻找对自己有利的路 径， • 3.SO解中司机服从统一指挥，寻找对整体系统有利的
0k , r , s
s k
xa f krs ars , k a
r
SO一阶条件的变量说明
t a ( xa ) xb t b ( xb ) x a b t a ( xa ) —— 是当弧上流量为xa 时，新增一个出行单位 经该弧时遇到的阻抗；
xa dta ( xa ) / dxa —— 新增的一个出行单位使该弧现有流量
路径，即司机之间存在协作。
练习
• 已知网络结构如图所示，出行起终点为1和3，其OD量为4，网络
中每个路段的路阻函数分别为:
t1 2 x12
2 t 3 1 2 x3
t 2 3 x2 t 4 2 4 x4
• 求平衡分配时路段的流量
1 1 2
3 3
2
4
DUE平衡分配模型的求解
• 1.DUE规划是一个非线性凸规划问题 • • 目标函数是严格凸的，且是非线性的 约束是线性的 对某些特殊的模型才有可靠的解法，DUE模型就是一种
• 2.非线性规划模型即使现在也没有通用的解法，只是
特殊的非线性规划模型
求解方法
• 1.采用Frank-Wolfe算法，算法要求是约束条件必须是线性的 • 2.实质是用线性规划逐步逼近非线性规划的方法； • 3.步骤： • ①在每步迭代中确定搜索方向，利用一个线性规划的最优解确定 下一步的迭代方向 • ②确定搜索的最优步长，根据目标函数的一维极值问题求最优迭 代步长
来自百度文库
UE平衡的简单的例子
1
A 2 B
UE定义：在平衡点，连接每个O－D对的所有被使用的路径 有相同的阻抗，且小于或等于任何未被使用的路径阻抗。 在平衡点，连接每个OD对的路径可以分成两类，一类 路径上有流量，对应的路径阻抗是相等的；另一类路 径上没有流量，其阻抗大于第一类路径的阻抗
UE平衡分配和非平衡分配
Beckmann模型与wardrop第一原 理的一致性
• 如图所示，一个有两条径路（同时也是路段）、连接 一个出发地和一个目的地的简单交通网络，两个路段 的阻抗函数分别为：
t1 2 x1 , t 2 1 2 x2
OD量为q＝5，分别求该网络的Beckmann模型的解和 平衡状态的解