非平稳随机信号处理

《非平稳信号分析与处
理》
组长：戚伟世
讲课安排：
第一小组：(1-4节)
戚伟世胡春静望育梅喻小红宋卫林第二小组：（5-8节）
张闯程卫军孙纲黄平牧吕尧新冯瑞军
2 时频表示与时频分布
本章主要内容：讨论非平稳信号的时－频分析，包括分析的有关概念短时傅立叶变换、Wigner 分布及Cohen类分布。

重点是Wigner的性质、Wigner 分布的实现、Wigner分布中交叉项的行为及Cohen分布中核函数对交叉项的抑制等。

时频表示与时频分析的提出
分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。

它建立了信号从时域到频域变换的桥梁。

它表征了信号从时域到频域的一种整体（全局）变换。

在许多实际应用中，信号大多是非平稳的，其统计量（如均值、相关函数、功率谱等）是时变的，这时采用传统的Fourier变换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而引入的。

时频表示：用时间和频率的联合函数来表示信号，记作T（t，f）。

时频分析：能够描述信号的能量密度分布的时频表示称为时频分析，记作P（t，f）。

典型的线性时频表示有：短时Fourier变换、小波变化和Gabor变
换。

2．1 基本概念
1．传统的Fourier 变换及反变换：
S （f ）=dt e t s tf j ⎰∞
∞--π2)( s （t ）=⎰∞
∞-df
e f S tf j π2)(
2．解析信号与基带信号
⑴定义（解析信号）：与实信号s （t ）对应的解析信号（analytic signal ）z （t ）定义为z （t ）=s （t ）+j н[s （t ）]，其中н[s （t ）]是s （t ）的Hilbert 变换。

实函数的Hilbert 变换的性质：
若
x(t)= н[s(t)]
则有
s(t)=- н[x （t ）]
s(t)=- н2
[x （t ）] ⑵实的调频信号a （t ）cos )(t φ对应的解析信号为
z （t ）=a （t ）cos )(t φ+j н[a （t ）cos )(t φ]=A （t ）)(t j e φ
（2.1）
⑶任何一个实调幅-调频信号a （t ）cos )(t φ的解析信号若满足一定的条件，就可写成式(2.1)所示的形式。

⑷实窄带高频信号s （t ）=a （t ）cos[2πf 0t+)(t φ]的解析信号为
z （t ）=a （t ）
)
(t j e φt f j e 02π
（2.2）
将上式乘以t f j e 0
2π-，即经过向左频移f 0成为零载频，其结果称
为基带信号
z B （t ）= a （t ）)(t j e φ
它是解析信号的复包络，也是解析信号的频移形式，因此在时频分析中和解析信号具有相同的性质。

⑸高频窄带信号的实信号、解析信号和基带信号的比较及其转换。

3．瞬时频率和群延迟
⑴ 瞬时频率f i
信号s （t ）=a （t ）cos )(t φ的瞬时频率定义为 )](arg[21t z dt
d
f i
π=
可以看出它为解析信号的相位的导数。

物理意义：把解析信号z （t ）表示为复平面的一向量，则瞬时频率即为向量幅角的转速。

⑵群延迟τg （f ）
频率信号的群延迟定义为 τg （f ）=)](arg[21f Z df
d
π-
物理意义：设零相位的信号加有一线性相位，则信号做不失真延迟，其延迟时间为该线性相位特性的负斜率。

需要指出的是，瞬时频率和群延迟可以描述非平稳信号的时频局域特性，但它们只能用于理想的单分量信号场合。

4．不确定性原理
对有限能量的零均值复信号z （t ），其有限宽度T=t ∆和频谱Z （f ）的有限宽度B=f ∆分别称为该信号的时宽和带宽，并定义为：
T 2
=2)(t ∆=⎰
⎰∞
∞
-∞
∞-dt
t z dt t z t 2
2
2)()( 和 B 2=2)(f ∆=⎰
⎰∞
∞
-∞
∞-df
f Z df f Z f 2
2
2)()(
对信号z （t ）沿时间轴做拉伸z k （t ）=z （kt ），由时宽定义可求得拉伸信号是原信号时宽的k 倍，即z z kT T k
=；类似地，可求
出拉伸信号的带宽是原信号带宽的
k
1
,即z z
B k
B k
1=。

由此可见
k z T k
z B =z T z B =常数，这一结论说明对任何信号恒有
TB=常数的可能
性。

命题：（不确定性原理）
对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总满足不等式：
时宽-带宽乘积=TB=t ∆f ∆≥
π
41
或TB=t ∆ω∆≥2
1
不确定性原理也称测不准原理或Heisenberg 不等式，式中的Δt 和Δf 分别称为时间分辨率和频率分辨率，表示两时间点和两频率点之间的区分能力。

重要意义：既有任意小的时宽，又有任意小的带宽的窗函数是根本不存在的。

2．2 短时Fourier 变换
线性时频表示：满足叠加原理或线性原理，如：
z （t ）=c 1z 1（t ）+c 2z 2（t ）→T z （t ，f ）=c 1T z1（t ，f ）+c 2T z2
（t ，f ）
1．连续短时Fourier 变换
⑴ 定义： 给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t ），令窗滑动，则信号z （t ）的短时Fourier 变换定义为
STFT z （t ，f ）=')]'()'(['2dt e t t t z ft j πγ-∞
∞-*-⎰ （2.3）
可以看出，由于窗函数γ（t ）的移位使短时Fourier 变换具有选择局域的特性，它既是时间的函数，又是频率的函数，对于一定的时刻t ，STFTz （t ，f ）可视为该时刻的“局部频谱”。

⑵信号完全重构的条件：重构就是由STFTz （t ，f ）求出原信号z （t ）的过程 p （u ）=
dtdf
e t u g
f t STFT fu j z π2)(),(-⎰⎰
∞∞-∞
∞
-
（2.4）
= dt dt t u g t t t z df e
u t f ')()'()'(][)
'(2--*
∞∞-∞∞-∞
∞---⎰⎰⎰γπ
=dt dt u t t u g t t t z ')'()()'()'(---⎰⎰∞
∞-∞
∞-*δγ =z(u)dt t u g t u )()(--⎰∞
∞-*γ =z(u)⎰∞∞-*dt t g t )()(γ
显然，为了实现信号的“完全重构”，则需窗函数满足如下条件：
⎰∞
∞-*dt t g t )()(γ=1
（2.5）
才能使p(u)=z(u)。

可以看出，满足式（2.5）的窗函数很多，如何选择将取决于所研究信号的局域平稳特性。

这里有三种最简单的选择：
① g(t)=γ(t) ② g(t)=δ(t) ③ g(t)=1
当取条件①时，完全重构条件成为
⎰
∞
∞
-dt t 2
)(γ=1
即所谓能量归一化，这时式（2.4）可写成： z(t)='')'()','('2dt df e t t f t STFT t f j z πγ-⎰⎰
∞∞-∞
∞
-
（2.6）
与维数相同的正、反Fourier 变换形成对照的是，短时Fourier 正变换是一维变换，而它的反变换是则为二维变换。

以上讨论表明：短时Fourier 变换式（2.3）相当于信号分析，通过分析窗得到二维的时频分布STFT Z （t,f ），它在任一时刻t 的切片即是信号在该时刻的“局部频谱”。

短时Fourier 反变换即式（2.6）相当于信号的综合，它通过综合窗从STFT z （t,f ）恢复或综合得到原信号z(t)。

2．短时Fourier 变换的基本性质
⑴ 频移和时移特性：
),(),()'()'(0'2~
~
f f
t STFT f t STFT e t z t z z z t f j -=→=π
（2.7）
f
t j z z
e f t t STFT f t STFT t t z t z 0~200~
),(),()'()'(π--=→-=
（2.8）
以上两式表明，STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性。

不过，在相差一相位因子范围内可以保持时移不变性。

⑵将（2.3）式在时域的加窗实现变换为频域的滤波实现，则有
STFT
Z （t，f）=tf j eπ2-'
)
'
(
)'
('2df
e
f
f
f
Z t f jπ
-
Γ
⎰∞∞-*
（2.9）
其中，谱窗)
(f
Γ是时间窗)(tγ的Fourier变换。

式（2.9）可以解释为信号)'(t z通过频率响应为)
'
(f
f-
Γ*的滤波器输出乘以ft j eπ2-得到，它是一个带通滤波器，中心频率为f。

将式（2.9）做变量代换：f
f
f-
='
'',可得
STFT
Z （t，f）='
)'
(
)
'
('
2df
e
f
f
f
Z t f jπ
⎰∞∞-*Γ
+
（2.10）
式（2.10）可视为短时Fourier的低通滤波器实现，与带通实现等价。

3．窗函数g（t）的选择
如前所述，满足能量归一条件的窗函数很多，然而描述局部特性的时间分辨率和频率分辨率相互制约，即不可能同时获得具有高分辨率的时宽和高分辨率的带宽。

如 g(t)= δ(t)和g(t)= 1即为两个极端的情况：
当g(t)= δ(t)时，时宽为零，频率带宽为无穷大，所以相应的STFT具有理想的时间分辨率，但此时没有频率分辨率；当g(t)= 1时，相应的STFT虽可获得理想的频率分辨率，但却丧失了时间
分辨率。

综上所述，局部谱的正确表示应考虑窗函数g （t ）的宽度与信号的局域平稳长度相适应。

在实际应用中，我们希望选择的窗函数具有很好的时间和频率聚集性（即能量在时频平面是高度集中的），使得STFT Z （t ，f ）能够有效地对应为信号z （t ）在时频点（t ，f ）附近的“内容”。

4．离散短时Fourier 变换
对应于连续的短时Fourier 变换，离散的短时Fourier 变换和反变换分别为：
),(n m STFT =∑∞
-∞=-*-k k nF j e mT kT k z )(2)()(πγ
z(k)= ∑∑∞-∞=∞
-∞
=-m k nF j n e mT kT g n m STFT )(2)(),(π
其中，T>0和F>0分别是时间变量和频率变量的采样周期，m ，n 为整数。

与（2.5）相对应的约束条件为：
∑
∞
-∞
=*∀=--+m n k mT kT mT F
n
kT g F
,)()1
(1
δγ 2.3 时频分布的一般理论
1.信号的双线性变换和局部相关函数
对非平稳信号)(t z 进行时频分析的主要目的是要设计时间和频率的联合函数，用它表示每单位时间和每单位频率的能量。

这
种时间和频率的联合函数),(f t P 称为信号的时频分布。

类似于平稳信号中自相关函数和功率谱密度的关系：
⎰∞
∞--=dt t z t z R )()()(*ττ
⎰∞∞--=ττπτd e R f S f j 2)()( （2.12）
我们定义非平稳信号的双线性变换为
⎰∞
∞--+-=du u z u z t u t R )2
()2(),(),(*τττφτ
（2.13）
上式中使用对称形的双线性变换)2
()2
(*ττ-+t z t z 更能表现出非平稳信
号的某些重要性质。

其中Φ（t,τ）为沿t 轴滑动的窗函数，同时沿τ加权，),(τt R 称为“局部相关函数”。

对局部相关函数作Fourier 变换，可得到时变功率谱，即
信号能量的时频分布：
⎰∞
∞--=ττπτd e t R f t P f j 2),(),( （2.14）
这表明，时频分布),(f t P 也可用局部相关函数),(τt R 来定义，而且取不同的局部相关函数形式，就可得到不同的时频分布。

取窗函数),(τφt u -＝)(t u -φ，则有
)2
()2()2()2()(),(),(**ττττδττ-+=-+-==⎰∞
∞-t z t z du u z u z t u t k t R z
（2.15）
称为瞬时相关函数。

它的Fourier 变换就是著名的Wigner-Ville 分布：
⎰∞∞---+==τττπτd e t z t z f t W f t P f j z 2*)2()2(),(),(
（2.16）
Wigner-Ville 分布是时频分布中最基本的一种，在其基础上发展得到多种其他时频分布，后面将作详细讨论。

2 时频分布的基本性质要求
对于任何一种实际有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布),(f t P 具有表示信号能量分布的特性。

因此，希望时频分布),(f t P 满足下面的一些基本性质。

性质1：实的（且是非负的）。

性质2：边缘特性
⎰∞∞-=2|)(|),(f Z dt f t P 信号在频率f 的谱密
度
⎰∞∞-=2|)(|),(t z df
f t P 信号在t 时刻的瞬时
功率
可以证明，任何具有边缘特性的联合分布都服从不确定性原理。

性质3：时频分布关于时间t 和频率f 的积分应给出信号的总能量E ，即
⎰⎰∞∞-∞∞-=)(),(信号能量E dtdf f t P
性质4：时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率)(t f i 和群延迟)(f g τ，即
⎰⎰∞∞-∞∞-=df f t P df f t P f t f i ),(),(.)( 和 ⎰⎰∞∞
-∞∞-=dt f t P dt f t P t f g ),(),(.)(τ
性质5：有限支撑特性
如果信号)(t z 只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱)(f Z 也只在某个频率区间取非零值，则称信号z （t ）及其频谱是有限支撑的。

相应地，如果在)(t z 和)(f Z 的总支撑区以外，信号的时频分布等于零，我们称时频分布是有限支撑的，这是一种“弱”有限支撑。

与此相对应，凡在信号)(t z 和它的频谱)(f Z 等于零的各区域，时频分布),(f t P 等于零，这是Cohen 提出的一种理想的具有“强”有限支撑的时频分布。

边缘特性连同非负性一起可以保证时频分布准确反映信号的谱能量，瞬时功率和总能量，同时还可保证时频分布的强有限支撑性。

表2.3.1列出了所有 “所期望具有的”数学性质。

需要注意的是，并不是所有的时频分布都能满足表中的所有性质。

实际中适用的时频分布不一定满足所有基本性质。

根据应用场合，某些性质是可以不必强求的。

3．时频分布的二次叠加原理
线性时频表示满足叠加原理，这对多分量信号的分析和处理带来很大的方便。

但是二次型或双线性变换破坏了线性叠加原理，
使得时频分析不再能像线性时频分布的处理那样简单。

因此，这里引入时频表示的“二次叠加原理”如下：
令
)()()(2211t z c t z c t z +=
则任何二次型时频分布服从下面的二次叠加原理：
),(),(),(||),(||),(122
121,*12,*212221f t P c c f t P c c f t P c f t P c f t P z z z z z z z +++= 式中),(f t P z ＝),(,f t P z z 代表信号)(t z 的“自时频分布”（简称“信号项”），它是)(t z 的双线性函数；),(,f t P y x 表示信号)(t x 和)(t y 的“互时频分布” （简称“交叉项”），它是)(t x 和)(t y 的双线性函数，交叉项通常相当于干扰。

类似地，可推广到多个分量信号的二次叠加原理。

时频分布的交叉项一般比较严重，而且在大多情况下是有害的，需对它进行有效地抑制。

2.4 模糊函数 时频分布是对信号的双线性变换)2
()2(*ττ-+t z t z 作关于变量τ的Fourier 变换，如Wigner-Ville 分布，如果对该双线性变换关于时间t 作Fourier 反变换，则可得到另一种二维时频分布函数： ⎰∞∞--+=dt e t z t z A j z πτυττυτ2*)2
()2(),( （2.17）
称为模糊函数，式中)(t z 是s(t)的解析信号。

式（2.15）定义的瞬时相关函数
)2
()2(),(*τ
ττ-+=t z t z t k z
ｔ为时间，τ为时延。

可见，模糊函数可以视为瞬时相关函数关于t 的Fourier 反变换：
=
),(υτz A ＝)],([1τυt k f z t -→ （２.１８）
对比模糊函数和Wigner-Ville 分布知，它们都是双线性变换信号或瞬时相关函数),(τt k z 的某种线性变换，后者变换到时频平面，表示能量分布，称为能量域；而前者则变换到时延－频偏平面，表示相关，称为相关域。

可以证明，Wigner-Ville 分布和模糊函数是一对Fourier 变换对：
⎰⎰∞
∞-+-∞∞-=τυυττυπd d e A f t W f t j z z )(2),(),(
（２.１９）
模糊函数具有以下性质：
（1） 时移：模糊函数的模对时移不敏感，即有
υπυτυτ0~20~
),(),()()(t j z z e A A t t z t z =→-= （2） 频移：模糊函数的模对频移不敏感:
τππυτυτ0~022~),(),()()(f j z z
t f j e A A e t z t z =→= (3) 滤波：令⎰∞∞--=du u t h u z t z )()()(~，则
⎰∞∞--=du u A A A h z z
),(),(),(~υτυτυτ (4) 调制：对于调制信号)()()(~t m t z t z =，其模糊函数为 ⎰∞∞--=ηηυτητυτd A A A m z z
),(),(),(~ 类似地，可以定义互模糊函数。