矩阵论简明教程习题答案

第2框 第3框 计算方法如下: (ⅰ) 先i框，后i+1框,先r后l.第1框中行元素为A的第1行元素； （ⅱ）第2框中的为A中的对应元素减去第１框中同行的与同列的之积． 第3框中的为A中的对应元素先减去第1框中同行的与同列的之积，再减 去第2框中同行的与同列的之积； （ⅲ）第2框中的为A中的对应元素先减去第1框中同行的与同列的之 积，再除以. 计算如下: 1 3 0 2 -3 0 2 2 -6 A= 2.Crout分解的说明,以3阶矩阵为例: 第1框 第2框 第3框 (ⅰ) 先i框,后i+1框.每框中先l后r.第1框中的列元素为A的第1列的对应 元素; (ⅱ)第2框中的为A中对应元素减去第1框中同行的与同列的之积; (ⅲ)第2框中的为A中的对应元素减去第1框中同行的与同列的之积,再除 以.第3框中的为A中的对应元素先减去第1框中同行的与同列的之积,再减 去第2框中同行的与同列的之积. 计算如下: 1 3 0 2 -3 0 2 -6 -6 A= 2. 先看下三角矩阵的一种写法: =, ≠0 对本题中的矩阵A 求得Crout分解为
≦,即≧1. 7. 设 A=(A)C, x=C, 且 A=, 则 ≦=≦nA=; ≦= =A≦nA=. 8. 非负性与齐次性是显然的, 我们先证三角不等式和相容性成立. A=(a), B=(b)C, C=(c)C且 A=, B=, C=. 则 =max{m,n}≦max{m ,n }≦max{m ,n }(A+B) =max{m ,n }A+max{m ,n }B=; =max{m ,l }≦max{m ,n } ≦max{m ,n } (Minkowski不等式) =max{m ,n }nAC≦max{m ,n }max{n ,l }AC=. 下证与相应的向量范数的相容性. 设 x=C, d={}, 则有 ≦= ≦=nA≦max{m ,n}A =; =≦≦ (Hölder不等式) =≦A ≦max{m ,n}A=; ≦ ≦≦ =nAD≦max{m,n}AD=. 9. 只证范数的相容性公理及与向量2–范数的相容性. 设 A=(a)C, B= (b)C, x=C且 A=, B=, 则 ≦ ≦ (Minkowski不等式) ≦nab==. ≦ ≦ （Hölder不等式） ≦=A =.
1. ==7+, ==, =max=4. 2. 当 x0时, 有 ﹥0; 当 x﹦0时, 显然有 =0. 对任意C, 有 =. 为证明三角不等式成立,先证明Minkowski不等式: 设 1≦p﹤∞, 则对任意实数 x,y(k=1, 2, n)有 ≦ 证 当 p=1时，此不等式显然成立. 下设 p﹥1, 则有 ≦ 对上式右边的每一个加式分别使用Hölder不等式, 并由 (p－ 1)q=p, 得 ≦ = 再用 除上式两边,即得 Minkowski 不等式. 现设任意 y=()C, 则有 =≦ ≦=. 3. (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最 大函数的等价定义: max(A, B)= max(≦max() = ≦ = =max( )+max( ) (2) 只证三角不等式. k+k≦k+k+k+k =( k+k)+( k+k) . 4. ; ;; 列和范数(最大列模和)=;=行和范数(最大行模和)=9 ; 5. 非负性: A≠O时SAS≠O, 于是 ＞0. A=O时, 显然 =0; 齐次性: 设C, 则 =; 三角不等式: ≦; 相容性: ≦=. 6. 因为I≠O, 所以＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:
习 题一 1. 设为的任一特征值,则因 为AO 的特征值, 故. 即 =0或2. 2. A～B, C～D时, 分别存在可逆矩阵P和Q, 使得 PAP=B, QCQ=D.令 T= 则 T是可逆矩阵,且 TT== 3. 设是对应于特征值的特征向量, 则 A=, 用左乘得 .即 故 是A的特征值, i=1,2,n. 4. (1) 可以. =, , . (2) 不可以. (3) , . 5. (1) A的特征值是0, 1, 2. 故=－(b－a)=0. 从而 b=a.又 = 将=1, 2 代入上式求得 A=0. (2) P =. 6. =, A有特征值 2, 2, －1. =2所对应的方程组 (2I－A)x=0 有解向量 p=, p= =－1所对应的方程组 (I+A)x=0 有解向量 p= 令 P=(ppp)=, 则 P=. 于是有 A=PP=. 7． (1)==D(), I－A有2阶子式 =－4 －4不是D()的因子, 所以D()=D()=1, A的初等因子为－1, . A的 Jordan标准形为 J = 设A的相似变换矩阵为P=(p,p,p), 则由AP=PJ得 解出 P=; (2) 因为 ，故 A～J= 设变换矩阵为 P=(), 则
cosAt=PP = (2) 对A求出 P=P=, J= 则有 e=PP= sinAt=PP= cosAt=PP= 9. (1) sinA+cosA=[]=[] = =e=I (2) sin(A+2I)=sinAcos(2I)+cosAsin(2I) =sinA[I－(2I)+(2I)－…]+cosA[2I－(2I)+(2I)－…] = sinA[1－(2)+(2)－…]I+cosA[2－(2)+(2)－…]I =sinAcos2+cosAsin2 （3）的证明同上. (4) 因为 A（2iI）=(2iI)A ,所以根据定理3.10可得 e=ee=e[I+(2I)+(2iI)+(2iI)+…] =e{[1－(2)+(2)－…]+i[2－(2)+(2)－…]}I =e{cos2+isin2}I =e 此题还可用下列方法证明: e=ee=ePP=ePIP=e 用同样的方法可证: e=ee. 10. A=－A, 根据第7题的结果得 (e)=e=e, 于是有 e(e)=ee=e=e=I 11. 因A是Herm(iA)=－iA=－iA , 于是有 e(e)=ee=e=I 12. 根据定理3.13, A=e, 利用定理3.14得 ==A=A(eI). 13. A(t)=, (detA(t))=(1)=0, det(A(t))=1, A(t)=, A(t)=
J=PAP=, .其中 P=. 令 x=Py, 将原方程组改写成 : 则 解此方程组得: y=Ce+CTe, y=Ce, y=Ce. 于是 x=Py=. 12. (1) A是实对称矩阵. =,A有特征值 10, 2, 2. 当=10时. 对应的齐次线性方程组 (10I－A)x=0的系数矩阵 ～ 由此求出特征向量p=(－1, －2, 2), 单位化后得 e= (). 当=1时, 对应的齐次线性方程组 (I－A)x=0的系数矩阵 ～ 由此求出特征向量 p=(－2, 1, 0), p=(2, 0, 1). 单位化后得 e=(), e=(). 令 U=, 则 UAU=. (2) A是Hermit矩阵. 同理可求出相似变换矩阵 U=, UAU=. 13. 若A是Hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵U, 使得 UAU=, ﹥0, I=1, 2, n. 于是 A=UU = UUUU 令 B=UU 则 A=B. 反之,当 A=B且B是Hermit正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍 为Hermit正定矩阵,故A是Hermit 正定的. 14. (1)(2). 因A是Hermit矩阵,则存在酉矩阵U,使得 UAU=diag() 令x=Uy, 其中 y=e. 则 x0. 于是 xAx=y(UAU)y=≧0 (k=1, 2, n). (2)(3). A=Udiag()U=Udiag()diag()U 令 P=diag()U, 则 A=PP . (3)(1). 任取x0, 有 xAx=xPPx=≧0. 习题二
10. 利用定理2.12得 . 11. A= cond(A)=; cond(A)=. 12．设x是对应于的特征向量, 则A.又设 是C上与矩阵范数相容的向量范 数,那么 ≦ 因 ＞0, 故由上式可得 ≦≦. 习 题 三 1. , 当﹤1时, 根据定理3.3, A为收敛矩阵. 2. 令S=, =S , 则 . 反例: 设 A=, 则因 发散, 故 发散, 但 =O. 3. 设 A=, 则 ≦行和范数=0.9＜1, 根据定理3.7, =(I－A)=. 4. 我们用用两种方法求矩阵函数e: 相似对角化法. , 当 ia时, 解方程组 (ia－A)x=0, 得解向量 p=(i, 1). 当 =－ia时, 解方程组 (ia+A)x=0, 得解向量 p=(－i, 1).令 P=, 则P=, 于是 e=PP=. 利用待定系数法. 设e=(+a)q()+r(), 且 r()=b+b, 则由 b=cosa , b=sina .于是 e=bI+bA=cosa+sina=. 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设 f()=cos, 或 sin 则有 与
A= 利用下三角矩阵的写法对上面的分解变形可得 A= = = 3.对A的第1列向量, 构造Householder矩阵使得 ,
14. == 15. 取 m=2, A(t)=, 则 A(t)=, (A(t))=≠2A(t)A(t)=. 困为 + 所以当(A(t))A(t)=A(t)A(t)时, 有 =m[A(t)] 16. (1) 设 B=(), X=(), 则 BX=(),于是有 tr(BX)= = (i=1,2,…,n ;j=1,2,…,m) = 由于 BX与 的迹相同，所以 (2) 设A=(),f=tr(), 则有 ，AX= f= = = 17. 设A=(), 则 F(x)=(),且 18. 在上式中令t=0, 则有 A= 19. A=, x(0)=, A的最小多项式为 . 记f()=,并设 f()=g()+, 则 于是 , x(t)=x(0)= 20. A=, f(t)=, x(0)=, det(I－A)=. 根据,可得； ,….于是 = = x(t)= 习 题 四 1. Doolite分解的说明,以3阶矩阵为例: 第1框
由此可得 与 故 (sinia)A==sinA 与 5. 对A求得 P= , P=, PAP= 根据p69方法二, e=Pdiag(e,e,e)P= sinA=Pdiag(sin(－1),sin1,sin2)P= 6. D()==, D()=D()=1, A~J=. 现设 r(,t)=b+b+b, 则有 b=1, b=2e－te－2, b=te－e+1. 于是 e=rபைடு நூலகம்A, t)=bI+bA+bA=I+(2e－te－2)+(te－e+1) = 同理,由 b=1, b=tsint+2cost－2, b=1－tsint－cost. 将其代入 cosAt=bI+bA+bA, 求出 cosAt= 7. 设 f(A)=,S=.则 f(A)=并且由于 (S)== 所以, f(A)==f(A). 8, (1) 对A求得 P=, P=P , J= 则有 e=PP= sinAt=PP= (cosia)I==cosA.
P= (3) .A的不变因子是 A～J= 因为A可对角化，可分别求出特征值－1，2所对应的三个线性无关的特 征向量： 当=－1时，解方程组 求得两个线性无关的特征向量 当=2时，解方程组 得 , P= (4) 因～, 故 A～J= 设变换矩阵为P=, 则 是线性方程组 的解向量，此方程仴的一般解形为 p= 取 , 为求滿足方程 的解向量, 再取 根据 ～ 由此可得 s=t, 从而向量 的坐标应満足方程 取 , 最后得 P= 8. 设 f ()=. A的最小多项式为 ,作带余除法得 f (A)==. 9. A的最小多项式为 , 设 f ()=,则 f ()=+. 于是 [f (A)]=.由此求出 [f (A)]= 10. (1) I－A=标准形, A的最小多项式为 ; 2) ; (3) . 11. 将方程组写成矩阵形式: , , , A= 则有 f ()=(),+, 于是