第十章 统计回归模型-清华大学数学模型电子教案

Aspose
Pty
1
Ltd.
a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21 a3 (n) p31 a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22 a3 (n) p32 a3 (n 1) a1(n) p13 a2 (n) p23 a3 (n) p33
状态与状态转移
~ 状态概率向量
P
{
p ij
}kk
~
转移概率矩阵
a(n) a(0)Pn
（非负，行和为1）
马氏链的两个重要类型 a(n 1) a(n)P
第n年健康 第n年疾病
状态概率ai (n) P(X n i), i 1,2, n 0,1,
转移概率pij P(Xn1 j Xn i), i, j 1,2, n 0,1,
eatedpw11ith0A.8spops1e2 .S1lEidvepas1l1ufoar0ti..o2NnEoTn0l.38y..5
状态与状态转移 0.8
0.2
0.3
1
0.7
2
aa12
(n (n
1) 1)
a1 (n) a1 (n)
p11 p12
a2 (n) p21 a2 (n) p22
给定a(0), 预测 a(n), n=1,2…
n 0Evalua1tion on2ly. 3 … ∞ eat设时ed投健w保康ithCAosaapp21y((onnr))sige.hStl012id0e0s4f-00o2..r820.1N1EA00Ts..72p382o.5seCP00li..t72ey72n82Lt tPd……r.of72il//99e 5.2.0
例1. 人C的op健y康rig状ht况2分00为4-健20康11和A疾sp病os两e种Pt状y 态Lt，d. 设对特
定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率 为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，
若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率
状态与状态转移
状态X n
1, 2,
已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
11.1 健康与疾病
通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质
人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变
保险公司要对投保E人va未lu来at的ion健o康nl状y.态作出估计, 以制 eated订w保it险h A金s和po理se赔.S金lid的es数f额or .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
eated基w本ith方A程spoasei (.Snlid1e)s fork .NaEj (Tn)3p.5ji C, liien1t,P2r,ofil,ek5.2.0
Copyright 2004-20j111 Aspose Pty Ltd.
a(n) (a1(n), a2 (n), , ak (n)) a(n 1) a(n)P
马氏链的基本方程 状态X n 1,2, k (n 0,1, )
状态概率ai (n) P( X n i),
ka i(n)1i 1,2, , k, n 0,1, i1
k
转移概率pij P( X n1 j X n i) pij 0, pij 1, i 1,2, , k
Evaluation only. j1
0.2
Client
0.3
Profile
5.2.0
p21 C0.o7pyrpi2g2 ht120p0241 -200.311 Aspo1se Pty0.7Ltd. 2
Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关
状态转移具 a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21
有无后效性 a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22
a3(n) Co0pyr0i.g02ht 20.005044-200.018180Aspos0e.8P38t1y Ltd. 1
• 不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ；
• 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于n>k, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其它状态。
p11=0.8, p12=0.18, Epv13a=lu0.a0t2ion only1.
0.65
2
eatedp2w1=i0th.65A,spp2o2s=e0..S25li,dpe2s3= 3.50.0C2 lie3nt 0P.1rofile 5.2.0
p31=0,
Cpo32p=y0r,igph33t=21004-2011
第十一章 马氏链模型
11.1 健康与疾病
Evaluation only.
eated with As1p1o.s2e.S钢lide琴s f销or售.N的ET存3.贮5 C策lie略nt Profile 5.2.0 Cop1y1r.i3ght基20因04遗-20传11 Aspose Pty Ltd. 11.4 等级结构
设投保 a1(n) 0 时疾病 a2(n) 1
0.7 0.77 0.777 … 7/9 0.3 0.33 0.333 … 2/9
n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
健康与疾病
例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾病
死亡为第3种状态，记Xn=3 0.8
0.18
0.25
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型
• 系统在每个时期所处的状态是随机的
• 从一时期到下时E期va的lua状ti态on按o一nly定. 概率转移 eated w• 下ith时CAo期spp状yors态ige.h只Stl取2id0决e0s4于f-o2本r0.1时N1E期AT状sp3态o.5s和eCP转litey移nLt概tPd率r.ofile 5.2.0
设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2…
n
01 2
3 50
a1(n) 1 0.8 E0.7v5a7lua0t.i7o2n85only. 0.1293 0 eateda2w(ni)th A0spo0s.1e8.Sl0id.1e8s9 fo0r.1.8N3E5 T3.50.C03l2ie6nt Prof0ile 5.2.0