线性代数 行列式的定义
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D a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a21a33 a13 a 22 a 31 ,
D1 b1 a22 a33 a12 a23 b 3 a13 b 2 a32 b1 a23 a32 a12 b 2 a33 a13 a22 b 3 .
§1.1 行列式的定义
3 x1 2 x2 2, 第 一 例 求解二元线性方程组 x1 4 x2 3. 章 3 2 行 解 D 12 2 10 0 , 1 4 列 式 2 2 3 2 D1 2 , D2 7, 3 4 1 3
D1 2 1 x1 , D 10 5 D2 7 x2 . D 10
其中 j1 j2 j3 为自然数 1， 2, 3 的一个排列;
( j1 j2 j3 ) 为排列 j1 j2 j3 的逆序数 (?)．
18
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 三阶行列式计算规律的探讨 ? (4) 递推法 利用已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，即
补
a11 D a21 a31
D1 0 x1 ?, D 0 D2 0 x2 ?. D 0
(无穷多解 ? )
12
§1.1 行列式的定义
3 x1 2 x 2 2 , 第 一 例 求解二元线性方程组 6 x1 4 x 2 6 . 章 3 2 行 解 D 12 12 0 , 6 4 列 式 2 2 3 2 D1 4 , D2 6, 6 4 6 6
D1 D2 6 4 x1 ?. ? , x2 D D 0 0
(无解 ? )
13
§1.1 行列式的定义 第 一、二阶与三阶行列式 一 1. 二阶行列式 章 2. 三阶行列式 补 行 引例 利用消元法求解三元线性方程组 列 式
逐步消去 x 2 , x 3 可得 D x1 D1 , 其中
行 2 4 列 解 D 1 5 式 1 1
1 3 8, 1
1 4 1 D1 2 5 3 11 , 1 1 1 2 4 1 D3 1 5 2 6 , 1 1 1
2 1 1 D2 1 2 3 9 , 1 1 1
故方程组的解为
D3 D1 11 D2 9 6 x1 , x2 , x3 . D 8 D 8 D 8
其中 D
a11 a21 a12 a22 , D1 b1 b2
a11b2 b1a21 记 D2 x2 , a11a22 a12 a21 D
a12 a22 , D2 a11 a21 b1 b2 .
问题 当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解会怎么样？ 10
求解是数学与工程中最基本的问题之一。 行 列 式 引例 利用消元法求解二元线性方程组 P 1 (1) a11 x1 a12 x2 b1 , ( 2) a21 x1 a22 x2 b2 .
(1) a22 得
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
(2) a12 得 a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
a11
a12 a22 a32
a22 a32
a13 a23 a33
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a21a33 a13 a 22 a 31 .
a23 a21 a12 a33 a31
a21 a23 a13 a31 a33
§1.1 行列式的定义
§1.2 行列式的性质与计算
§1.3 克莱姆 (Cramer) 法则
5
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式
§1.1 行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 二、n 阶行列式
6
§1.1 行列式的定义 第 一、二阶与三阶行列式 一 行列式的引入来源于求解线性方程组，而线性方程组的 章
a22 . a32
19
§1.1 行列式的定义
1 第 一 例 计算三阶行列式 D 2 章 3
2 4 2 1. 4 2
行 解 按对角线法则，有 列 D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 式
1 1 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
两式相减消去 x2 , 得 (a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 ; 7
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 两式相减消去 x2 , 得 (a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 ; 类似地，消去 x1 , 得 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21 . 当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
4 6 32 4 8 24 14.
20
§1.1 行列式的定义
1 1 1 第 一 例 求解方程 2 3 x 0 . 章 4 9 x2
行 列 解 方程左端为 式 D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 D 20 0 , 有 a D1 D 2 ,
D1 40 , D2 60 , D3 20 ,
b D2 D 3 , c D3 D 1 .
故所求多项式为 f ( x ) 2 x 2 3 x 1 .
24
§1.1 行列式的定义 第 二、n 阶行列式 P 2 一 前面从二元与三元线性方程组的求解问题出发，分别 章 行 列 式 引出了二阶与三阶行列式的概念， 并给出了利用二阶与三 阶行列式求解二元与三元线性方程组的方法。 那么，这些行列式的概念以及线性方程组的求解方法 能否推广并应用到 n 元线性方程组的求解问题呢？特别是 在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种
23
§1.1 行列式的定义 第 例 求一个二次多项式 f ( x ) , 使 f (1) 0 , f (2) 3 , f (3) 28 . 一 2 章 解 设所求的二次多项式为 f ( x ) ax bx c , 行 列 式
a b c 0, 由题意得 4a 2b c 3 , 9a 3b c 28 ,
更具有一般性呢？
25
§1.1 行列式的定义 第 二、n 阶行列式 P 2 一 章 经过前人不懈的努力，终于摸索出了统一的规律。 行 列 式 人们发现前面提到的对角线法与沙路法并不适合一般 的情形，而排列法与递推法才是真正可以推广的方法。 本课堂将采用递推法来定义一般的行列式，其目的是 避开诸如排列、逆序等一些概念。 不过有兴趣的同学最好 还是对排列法有所了解。
问题 三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？ 15
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 三阶行列式计算规律的探讨 ? (1) 对角线法
补
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
线性代数
1
线性代数
Linear Algebra
谢松法
xiesongfa@
华中科技大学数学与统计学院
2
一、教学内容
线性代数是工科各专业必修的重要基础理论课，是工科 数学教学的主要课程之一。线性代数在工程技术、科学研究 和各行各业中有着广泛的应用。 线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵、向量代数、 线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性 变换等。本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中带 “*” 号
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
16
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 三阶行列式计算规律的探讨 ? (2) 沙路法
补
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
17
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 三阶行列式计算规律的探讨 ? (3) 排列法 三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． a11 a12 a13
(惟一解)
11
§1.1 行列式的定义
3 x1 2 x 2 2 , 第 一 例 求解二元线性方程组 6 x1 4 x 2 4 . 章 3 2 行 解 D 12 12 0 , 6 4 列 式 2 2 3 2 D1 0 , D2 0, 4 4 6 4
补
D a21 a31
a22 a32
a23 a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a33 a11a 23 a 32 a12 a21a33 a13 a 22 a 31 .
j1 j2 j3
( j1 j2 j3 ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3 .
9
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 利用二阶行列式求解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
P2
b1a22 a12 b2 记 D1 , x1 D a11a22 a12 a21
由此引入二阶行列式的定义．
8Hale Waihona Puke §1.1 行列式的定义 第 一、二阶与三阶行列式 一 章 1. 二阶行列式 定义 称下式为二阶行列式 P 2 行 列 a11 a12 D a11a22 a12a21 . 式 a21 a22
对角线法
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 . a 21 a 22
由此引入三阶行列式的定义． 14
§1.1 行列式的定义 第 一、二阶与三阶行列式 一 1. 二阶行列式 章 2. 三阶行列式 行 定义 称下式为三阶行列式 列 式 a11 a12 a13
补
D a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a21a33 a13 a 22 a 31 .
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
21
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 对于三元线性方程组
补
a11
令 D a21 a31
a12 a22 a32 a11
a13 a23 , a33 a12 a22 a32 b1 b2 , b3
的内容不需要掌握。
学习线性代数的难点在于“入门”，即如何尽快地去理解 和适应它所引入的新的数学语言与数学工具。 3
二、教学及考核方式
课堂教学： 40 学时
答疑：
作业：
每周一次
每周一次 (练习册)
考试方式： 闭卷 考试成绩： 作业占 20%，考试占80% 主要参考书（略）
4
第 一 章 行 列 式
第一章 行列式
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a13
a11
b1 b2 b3
a13
a23 , D2 a21 a33 a31
a23 , D3 a21 a33 a31
D3 . D
则三元线性方程组的解为
x1 D1 , D
x2
D2 , D
x3
22
§1.1 行列式的定义
2 x1 4 x2 x3 1, 第 求解线性方程组 例 一 x1 5 x2 3 x3 2, 章 x1 x2 x3 1.
D1 b1 a22 a33 a12 a23 b 3 a13 b 2 a32 b1 a23 a32 a12 b 2 a33 a13 a22 b 3 .
§1.1 行列式的定义
3 x1 2 x2 2, 第 一 例 求解二元线性方程组 x1 4 x2 3. 章 3 2 行 解 D 12 2 10 0 , 1 4 列 式 2 2 3 2 D1 2 , D2 7, 3 4 1 3
D1 2 1 x1 , D 10 5 D2 7 x2 . D 10
其中 j1 j2 j3 为自然数 1， 2, 3 的一个排列;
( j1 j2 j3 ) 为排列 j1 j2 j3 的逆序数 (?)．
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§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 三阶行列式计算规律的探讨 ? (4) 递推法 利用已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，即
补
a11 D a21 a31
D1 0 x1 ?, D 0 D2 0 x2 ?. D 0
(无穷多解 ? )
12
§1.1 行列式的定义
3 x1 2 x 2 2 , 第 一 例 求解二元线性方程组 6 x1 4 x 2 6 . 章 3 2 行 解 D 12 12 0 , 6 4 列 式 2 2 3 2 D1 4 , D2 6, 6 4 6 6
D1 D2 6 4 x1 ?. ? , x2 D D 0 0
(无解 ? )
13
§1.1 行列式的定义 第 一、二阶与三阶行列式 一 1. 二阶行列式 章 2. 三阶行列式 补 行 引例 利用消元法求解三元线性方程组 列 式
逐步消去 x 2 , x 3 可得 D x1 D1 , 其中
行 2 4 列 解 D 1 5 式 1 1
1 3 8, 1
1 4 1 D1 2 5 3 11 , 1 1 1 2 4 1 D3 1 5 2 6 , 1 1 1
2 1 1 D2 1 2 3 9 , 1 1 1
故方程组的解为
D3 D1 11 D2 9 6 x1 , x2 , x3 . D 8 D 8 D 8
其中 D
a11 a21 a12 a22 , D1 b1 b2
a11b2 b1a21 记 D2 x2 , a11a22 a12 a21 D
a12 a22 , D2 a11 a21 b1 b2 .
问题 当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解会怎么样？ 10
求解是数学与工程中最基本的问题之一。 行 列 式 引例 利用消元法求解二元线性方程组 P 1 (1) a11 x1 a12 x2 b1 , ( 2) a21 x1 a22 x2 b2 .
(1) a22 得
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
(2) a12 得 a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
a11
a12 a22 a32
a22 a32
a13 a23 a33
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a21a33 a13 a 22 a 31 .
a23 a21 a12 a33 a31
a21 a23 a13 a31 a33
§1.1 行列式的定义
§1.2 行列式的性质与计算
§1.3 克莱姆 (Cramer) 法则
5
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式
§1.1 行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 二、n 阶行列式
6
§1.1 行列式的定义 第 一、二阶与三阶行列式 一 行列式的引入来源于求解线性方程组，而线性方程组的 章
a22 . a32
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§1.1 行列式的定义
1 第 一 例 计算三阶行列式 D 2 章 3
2 4 2 1. 4 2
行 解 按对角线法则，有 列 D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 式
1 1 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
两式相减消去 x2 , 得 (a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 ; 7
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 两式相减消去 x2 , 得 (a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 ; 类似地，消去 x1 , 得 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21 . 当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
4 6 32 4 8 24 14.
20
§1.1 行列式的定义
1 1 1 第 一 例 求解方程 2 3 x 0 . 章 4 9 x2
行 列 解 方程左端为 式 D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 D 20 0 , 有 a D1 D 2 ,
D1 40 , D2 60 , D3 20 ,
b D2 D 3 , c D3 D 1 .
故所求多项式为 f ( x ) 2 x 2 3 x 1 .
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§1.1 行列式的定义 第 二、n 阶行列式 P 2 一 前面从二元与三元线性方程组的求解问题出发，分别 章 行 列 式 引出了二阶与三阶行列式的概念， 并给出了利用二阶与三 阶行列式求解二元与三元线性方程组的方法。 那么，这些行列式的概念以及线性方程组的求解方法 能否推广并应用到 n 元线性方程组的求解问题呢？特别是 在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种
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§1.1 行列式的定义 第 例 求一个二次多项式 f ( x ) , 使 f (1) 0 , f (2) 3 , f (3) 28 . 一 2 章 解 设所求的二次多项式为 f ( x ) ax bx c , 行 列 式
a b c 0, 由题意得 4a 2b c 3 , 9a 3b c 28 ,
更具有一般性呢？
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§1.1 行列式的定义 第 二、n 阶行列式 P 2 一 章 经过前人不懈的努力，终于摸索出了统一的规律。 行 列 式 人们发现前面提到的对角线法与沙路法并不适合一般 的情形，而排列法与递推法才是真正可以推广的方法。 本课堂将采用递推法来定义一般的行列式，其目的是 避开诸如排列、逆序等一些概念。 不过有兴趣的同学最好 还是对排列法有所了解。
问题 三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？ 15
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 三阶行列式计算规律的探讨 ? (1) 对角线法
补
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
线性代数
1
线性代数
Linear Algebra
谢松法
xiesongfa@
华中科技大学数学与统计学院
2
一、教学内容
线性代数是工科各专业必修的重要基础理论课，是工科 数学教学的主要课程之一。线性代数在工程技术、科学研究 和各行各业中有着广泛的应用。 线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵、向量代数、 线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性 变换等。本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中带 “*” 号
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
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§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 三阶行列式计算规律的探讨 ? (2) 沙路法
补
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
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§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 三阶行列式计算规律的探讨 ? (3) 排列法 三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． a11 a12 a13
(惟一解)
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§1.1 行列式的定义
3 x1 2 x 2 2 , 第 一 例 求解二元线性方程组 6 x1 4 x 2 4 . 章 3 2 行 解 D 12 12 0 , 6 4 列 式 2 2 3 2 D1 0 , D2 0, 4 4 6 4
补
D a21 a31
a22 a32
a23 a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a33 a11a 23 a 32 a12 a21a33 a13 a 22 a 31 .
j1 j2 j3
( j1 j2 j3 ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3 .
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§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 利用二阶行列式求解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
P2
b1a22 a12 b2 记 D1 , x1 D a11a22 a12 a21
由此引入二阶行列式的定义．
8Hale Waihona Puke §1.1 行列式的定义 第 一、二阶与三阶行列式 一 章 1. 二阶行列式 定义 称下式为二阶行列式 P 2 行 列 a11 a12 D a11a22 a12a21 . 式 a21 a22
对角线法
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 . a 21 a 22
由此引入三阶行列式的定义． 14
§1.1 行列式的定义 第 一、二阶与三阶行列式 一 1. 二阶行列式 章 2. 三阶行列式 行 定义 称下式为三阶行列式 列 式 a11 a12 a13
补
D a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a21a33 a13 a 22 a 31 .
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
21
§1.1 行列式的定义 第 一 章 行 列 式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 对于三元线性方程组
补
a11
令 D a21 a31
a12 a22 a32 a11
a13 a23 , a33 a12 a22 a32 b1 b2 , b3
的内容不需要掌握。
学习线性代数的难点在于“入门”，即如何尽快地去理解 和适应它所引入的新的数学语言与数学工具。 3
二、教学及考核方式
课堂教学： 40 学时
答疑：
作业：
每周一次
每周一次 (练习册)
考试方式： 闭卷 考试成绩： 作业占 20%，考试占80% 主要参考书（略）
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第 一 章 行 列 式
第一章 行列式
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a13
a11
b1 b2 b3
a13
a23 , D2 a21 a33 a31
a23 , D3 a21 a33 a31
D3 . D
则三元线性方程组的解为
x1 D1 , D
x2
D2 , D
x3
22
§1.1 行列式的定义
2 x1 4 x2 x3 1, 第 求解线性方程组 例 一 x1 5 x2 3 x3 2, 章 x1 x2 x3 1.