椭圆定义及应用

、椭圆第一个定义的应用

1.1椭圆的第一个定义 平面内有两个定点F i 、F 』，和一个定长2a 。若动点P 到 两

个定点距离之和等于定长2a ，且两个定点距离|F i F 2|v2a.则动点轨迹是椭圆。 两个定点F i 、F 2称为椭圆的焦点。

由此定义得出非常重要的等式I F 耳IFF 耳F 加，其中P 为椭圆上一个点。此等 式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。 即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长

2a .在有关椭圆的问题中，若

题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这 个关系式。

1.2应用举例

例1.已知点F i ( 3,0) , F 2(3,O),有|P F i] ] PF 』6,则P 点的轨迹是

2 J

例2.求证以椭圆/ b'

2

_

3

焦半径为直径画圆，这个圆必与圆F ¥ 7相切.

解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答， 计算量都很大，解题过程冗 长，属于中档题。我们若抓住PF 』为一个圆直径，PF i 为另一个圆半径的2倍，用 公式丹I r 阴1= M ，很容易得出正确解答。

/

P

(a>b>0)上任意一点P 的

X

3 2

K J =]

例3. F i 、F 2是椭圆病+习■的两个焦点，P 是椭圆上一点，砂12碌

求Ml 戸耳的面积.24

解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用

|F 耳丨*|尸耳卜2口解决

2

20 1

上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，

练:一动圆与圆 O 01 : X 2

+y 2

+6x+5=0 外切，同时与O 02 : x 2

+y 2

_ 6x — 91=0 内切,

求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

y

--ye

2

例4. P 是椭圆—

45

PF 2 的值为()

A. 6^5

B.

2S /5

C. D.

2^5 3

例5.在圆C:(x

八

2 2

1) y

25内有一点A(1,0) ,Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线

线段CQ 的交点为 M,求M 点的轨迹方程.

求I AM| + I MF I 的最小值与最大值。

例7.设P 是直线x-y+9=0上一点，过P 点的椭圆以F i （-3，0）和F 2 （3, 0）为 焦点，试求P 点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出具有最短长轴的椭

2 1

L +匚■ 1

圆的方程。45芟

解评：（1转化思想是高中数学重要的数学思想，此题把求长轴最短值转化为 求皆国I +丨P 耳丨的最小值，再转化为求F i 关于直线x-y+9=0的对称点。这样做 后，思路清晰，条理分明，计算简捷。

2 例6.已知定点A （- 2，J

3 ）,点F 为椭圆 —

16 2

— 1的右焦点，点M 在该椭圆上移动时, 12

2.2应用举例

例1.椭圆焦点F i (-C, 0), F2 (c, 0),离心率M是椭圆上一点，其横坐标为x o,求M点的两个焦半径|MF i|和IMF2I之长.

C

解评（1）解析几何中很容易求出平行于坐标轴的线段长，因此椭圆上一点到准线的距离易求，某点的焦半径I您卜衬曲£丨结果易见。题设中若有某点的焦半径信息，用第二定义解题可得事半功倍之效。

（2）此题的结果I呦卜。十如M耳卜…心，与第二定义等式I拠Z I曲心都可作为公式加以应用。

2 3 X y .

——+ — = 1

例2.椭圆6 2 上一点P 到左准线的距离等于2,求P 到右焦点距离。

解: a = Ji,鸟=忑,C = J6 -2 = 2.

I 卩码F2&-|閲F2j^-琴 =£肩

解评 此题使用了椭圆的两个定义.

_ 2

例3.已知定点A ( — 2, Q ,点F

为椭圆16 上移动时，求I AM| + 2| MF |的最小值。

2 276

12 1

的右焦点，点皿在该椭圆

三、同步检测

距离是（）

£

2.短轴长为巧，离心率为勺的椭圆的两个焦点分别为F I 和F 2 .过F i 作直线交椭

圆于A B 两点，则"丘码的周长为（）

与|P F 1|的等差中项，贝U 该椭圆的方程是（）

J 2

"=1

S. " =1

16 9

16 12

2 2 C. " y =1

D. " " =1

4

3

3 4

X

V ,

5.P 是椭圆9 5 上的动点，过点P 作椭圆长轴的垂线， 垂足为M 则PM 中

点的轨迹方程是（）

且丄+ 4匕・[

9

5

9 5

c" -1

9 20 36 5

4.已知椭圆的焦点F i ，P 是椭圆上的一点，且|F I F 2|是|PF 2|

（-1，0），F 2（ 1,0）

1.椭圆 100 36

-1

上一点P 到左、右两焦点距离之比为1: 3,则P 到左准线的

A.5

B.15 225

C 帀

25 D. 4

A.24

B.12

C.6

D.3

亡乂

1

3.已知椭圆盘？护

上一点P 到右焦点的距离为b ,则P 到左准线的距离是