人教版A版高中数学高二版必修五探究简单线性规划问题整点最优解的策略

探究简单线性规划问题整点最优解的策略
高中新课程必修五第三章重点介绍了简单线性规划问题，它是高中学数学教学的一个基
本内容。

整点最优解问题又是简单线性规划的重要内容，教材对于具体的验算过程没有作过
多的描述，导致学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。

本人根据自己的教
学经验总结了利用平移法来求整点最优解的几种具体的操作方法：交轨法、近似值法以及换
元法。

一交轨法
该方法主要是在平移直线过程中，利用直线间的交点来缩小最优值的存在范围，其数学
思想是联立方程求解交点，然后确定最优解可能的存在范围。

[例1]：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规
格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得
所需三种规格成品，且使用所有钢板数最少。

解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则x、y满足约束条件：
2x+y15
x+2y18
x+3y27
x0,y0,x,y N*
≥
⎧
⎪≥
⎪
⎨≥
⎪
⎪≥≥∈
⎩
目标函数为Z x y
=+。

可行域如图所示(图1)
作出一组平行直线:x+y=t，当直线经直线x+3y=27和2x+y=15的交点A(
5
39
5
18
，),z取得最
小值,即：z=x+y=
5
57。

而最优解中x和y必须为整数,故A不是最优解,故将直线x+y=
5
57
向
上平移到x+y=12,最优解可能存在于此直线上，最优解必须在可行域内,故应求出直线
2x+y=15和x+3y=27与x+y=12的交点，
215
12
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
327
12
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，交点坐标为
B(3,9),D(
2
15
2
9
，)，故有：
9
3
2
x
≤≤，这样便更进一步的缩小了x的范围，即x=3或4，将
其代入x+y=12 ，可得y=9或8，即（3，9）和（4，8）均为所求的最优解。

可以看到利用平移交轨法解题对于一般的简单线性规划问题都是适用的，步骤如下：
1 设出所求的未知数，列出约束条件,建立目标函数，作出可行域，确定平移直线,寻找非整
最优解；2 联立方程求交点确定x或y的范围；3 对x，y进行整点搜索，并确定整点解。

二换元法
（图1）
该方法仍然是以平移法为基础，主要是利用换元来减少线性约束条件的元数，以得出参数的范围，从而确定出变量x ，y 的取值，再来确定最优解的可能值。

[例2] 某人有房子一幢，室内面积共180m 2
，拟分隔成两类房间作为游客住房。

大房间每间
面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m 2，可住
游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。

如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
分析：这类问题涉及物资的优化运用，在物资一定的条件下，要求获利最大。

设他应隔出大
房间x 间，小房间y 间，能获得收益为z 元。

1815180100060080000,0,x y x y x y x y N *⎧+≤⎪+≤⎨⎪≥≥∈⎩
且
目标函数：200150Z x y =+
可行域如图所示（图2），作一组平行直线：4x+3y=t ，
这些直线中经过B （7
60720，）的直线与原点的距离最大。

此时200150Z x y =+取最大值 ，z=200×
720+150×760=7
13000。

此时x ，y 均不为整数，故不是最优解，因此要进行调整。

故因将直线4x+3y=377
1，向左下方平移，又z 为整数，故应平移至4x+3y=37 （1），由（1）知y=3437x -，将其代入约束条件：3746560337453403x x x x -⎧+⨯≤⎪⎪⎨-⎪+⨯≤⎪⎩
可得25≤x ≤3。

x 为整数，则x=3，此时y 为非整数，故在直线4x+3y=37时无最优解，又向下方平移一个单位：4x+3y=36（2），
由（2）知y=3436x -，将其代入约束条件：3646560336453403x x x x -⎧+⨯≤⎪⎪⎨-⎪+⨯≤⎪⎩
，可得0≤x ≤4，x 为整数则x=0，1，2，3或4，代入（2）求得它们对应的y=12，332，3
28，8，320。

故可得最优解有（0，12）和（3，8），此时z=1800。

平移换元法对一般的简单线性规划问题也都适用，其一般步骤归纳如下：1 设出所求的未知数，列出约束条件，建立目标函数，作出可行域，确定平移直线，寻找非整最优解；2 由直线方程换元代入约束条件，并求变量范围；3 对x ，y 进行整点搜索，并确定整点解。

三近似值法
该方法也是以平移直线为基础，但它并非一步一步的平移，而是在非整点最优解附近
搜索，同时结合网格（并非所有网格都打出），直接找出附近的整点来减小搜索范围，从而求出整点最优解。

下面以例2求解介绍此法。

分析：设他应隔出大房间x 间，小房间y 间，
能获得收益为z 元。

656053400,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩
目标函数：200150Z x y =+
可行域如图所示（图3）。

作直线：4x+3y=0，平移到B 点时，z 取得最大值，但B （
760720，）并非整点，故我们要进一步来搜索。

由于B （7
60720，），我们利用B 附近的网格，可在B 附近找到A （2，9）、C （2，8）、D （3，8）这几个整点。

此时还必须从中选出一个最适合的点： z 1=8+27=35 ; z 2=8+24=32 ; z 3=12+24=36。

故在直线平移过程中，必先过D 点，因此A.C 两点被淘汰，故过D 作直线：4x+3y=36此后，必需检验阴影区域内有无整点。

经检验无整点。

故直线4x+3y=36上必存在最优整点解。

利用网格知：（0，12），（3，8）为最优整点解。

平移近值法可以克服在前两种方法中有可能要多次平移找解的缺陷，适用范围广泛。

其一般步骤归纳如下：
1 设出所求的未知数，列出约束条件，建立目标函数作出可行域；
2 寻找非整点最优解A ，根据A 点的坐标在其附近寻找最近的整点B ；
3过B 作平移直线，通过直线确定较小的搜索范围；
4 利用部分网格在确定的范围内求最优解。

以上三种方法各有特点，求整点最优解时，可先放松可行解必须为整点的要求，转化为普通线性规划求解。

若所求得的最优解不是整点时，再借助不定方程的知识调整最优值，最后求出整点最优解。

（图3）。