全国名校高中数学题库--集合

同理知 N（t）=11，故选项 B 不正确．
故选 C． 7. 现规定：A 是一些点构成的集合，若连接点集 A 内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集 A
内时，则称该点集 A 是连通集，下列点集是连通集的是（ ） A．函数 y=2x 图象上的点构成的集合 B．旋转体表面及其内部点构成的集合 C．扇形边界及其内部点构成的集合 D．正四面体表面及其内部点构成的集合
所以，实数 k 和 b 的取值范围是 k∈R，b=0
25．已知 P={x||x﹣1|＞2}，S={x|x2+（a+1）x+a＞0}，若 x∈P 的充分不必要条件是 x∈S，求实数 a
的取值范围．
解：P=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），S={x|（x+a）（x+1）＞0}
因为 x∈P 的充分不必要条件是 x∈S，所以 S 是 P 的真子集
设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合．因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数。
当 n 为偶数〔
或奇数）时，
Pn
中奇数的个数是
n 2
（
n
+ 2
1
）。∴
⎧ ⎪2
n 2
(
n为偶数)
f (n)= ⎨ n+1
。
⎪⎩2 2 (n为奇数)
知识点 3、集合的性质
同步演练
1. 下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M={（3，2）}N={3，2}
的关系是 ．a+b∈B
11. ．实数集 A 满足条件：若 a∈A，，则
（a≠1）．求证：①若 2∈A，则 A 中必还有另外两个
元素；②集合 A 不可能是单元素集．
证明：①若 a∈A，则
．又∵2∈A，∴
∵﹣1∈A，∴
．∵ ，∴
．
∴A 中另外两个元素为﹣1，
3
②若 A 为单元素集，则
，即 a2﹣a+1=0，方程无解．
，
综合知此时所求的范围是
，或 a=0}．
综合提分
{ 15. （11 福建理）i 是虚数单位，若集合 S= −1.0.1 } ，则
4
A. i ∈ S
B. i2 ∈ S
C. i3 ∈ S
D. 2 ∈ S i
16. （11•广东）设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果∀a，b∈S 有 ab∈S，则称 S 关于数的乘法是封闭的，
6. 含有三个实数的集合可表示为
，也可表示为{a2，a+b，0}，则 a +b 2009 20来自百度文库9 的值为（ ）
6
A．0
B．﹣1
C．1
7. 已知集合 A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一个元素，则 a 的取值范围是
8. 若 a，b∈R，集合
，求 b﹣a 的值
解：由
，可知 a≠0，则只能 a+b=0，
C．1
D．不能确定
9. 定义集合 A，B 的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若 A={1，2，3}，B={1，2}，则集
合 A*B 中所有元素的和 ．14
10. 设集合 A={x|x=2k，k∈Z}，集合 B={x|x=2k+1，k∈Z}，若 a∈A，b∈B，则元素 a+b 与集合 A、B
（Ⅰ）函数
是否属于集合 M？说明理由：
（Ⅱ）若函数 f（x）=kx+b 属于集合 M，试求实数 k 和 b 满足的约束条件．
解：（Ⅰ）D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），若
，则存在非零实数 x0，使得
，
即
此方程无实数解，所以函数
，
（Ⅱ）D=R，由 f（x）=kx+b∈M，存在实数 x0，使得 k（x0+1）+b=kx0+b+k+b，解得 b=0
B．M={（x，y）|x+y=1}N={y|x+y=1}
C．M={（4，5）}N={（5，4）}
D．M={2，1}N={1，2}
2. 若集合 M={a，b，c}中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
3. （2012•江西）若集合 A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为
D．±1 ．
则有以下对应关系：
①或
②；
由①得
，符合题意；
②无解；则 b﹣a=2；故 b﹣a=2． 9. 已知实数 a∈{﹣1，1，a2}，求方程 x2﹣（1﹣a）x﹣2=0 的解． 解：在{﹣1，1，a2}中，由集合中元素的互异性，可得 a2≠1，即 a≠±1； 又∵a∈{﹣1，1，a2}， ∴a 可能等于 1 或﹣1 或 a2， 故 a=a2，得 a=1（舍去）或 a=0． 代入方程可得 x2﹣x﹣2=0， 解可得，其解为﹣1，2． 综合题 10.己知集合 A={sinα，cosα}，则α的取值范围是 ．{α|α≠kπ+ ，k∈z}
A．②
B．③
C．②③
D．①②③
3. 下列命题：
①{2，3，4，2}是由四个元素组成的集合；②集合{0}表示仅由一个数“零”组成的集合；
③集合{1，2，3}与{3，2，1}是两个不同的集合；
④集合{小于 1 的正有理数}是一个有限集．其中正确命题是（ ）
A．只有③④
B．只有②
C．只有①②
D．只有②③④
知识点 2、元素与集合关系
同步演练
1. 已知 A={1，a}，则下列不正确的是（ ）
A．a∈A
B．1∈A
C．（1、a）∈A
2. 设集合 P={x|x2+x﹣6=0}，则集合 P 的元素个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．1≠a D．3
2
3. 设集合 P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义 P※Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则 P※Q 中元素的个
，Q={x||x﹣2|＜1}，那么 P﹣Q 等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|2≤x＜3}
18. （2007•江西）若集合 M={0，1，2}，N={（x，y）|x﹣2y+1≥0 且 x﹣2y﹣1≤0，x，y∈M}，则 N
中元素的个数为（ ）
A．9
4. 若 A={（1，﹣2），（0，0）}，则集合 A 中的元素个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5. （2010•广东文）在集合{a，b，c，d}上定义两种运算+和*如下
那么 d*（a+c）（ A．a
综合提高
） B．b
C．c
D．d
1
6. （2011•北京）设 A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记 N（t）为平行四边形
A．5 B.4 C.3 D.2 6. 集合 P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈Z}，且 a∈P，b∈Q，则有（ ）
A．a+b∈P
B．a+b∈Q
C．a+b∈R
D．a+b 不属于 P、Q、R 中的任意一个
7. 对于任意两个正整数 m，n，定义某种运算“※”如下：当 m，n 都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；
所以﹣a＞3，即所求 a 的范围是（﹣∞，﹣3）
5
21. 【2012 江苏】设集合 Pn = {1，2 ，… ，n}， n ∈ N * ．记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数： ① A ⊆ Pn ；②若 x ∈ A ，则 2x ∉ A ；③若 x ∈ C pn A ，则 2x ∉ C p n A 。
若 T，V 是 Z 的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有 abc∈T；∀x，y，z∈V，有
xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）
A．T，V 中至少有一个关于乘法是封闭的 T，B．V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 T，D．V 中每一个关于乘法都是封闭的 17. （2007•湖北）设 f（x）≥g（x）和 Q 是两个集合，定义集合 P﹣Q={x|x∈P，且 x Q}，如果
当 m，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合 M={（a，b）|a※b=12， a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ）
A．10 个
B．15 个
C．16 个
8. 如果集合 A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则 a 的值是（ ）
D．18 个
A．0
B．0 或 1
A．5
B．4
C．3
D．2
4. 由实数 a，﹣a，|a|，所组成的集合里，所含元素个数最多有（ ）
A．0 个
B．1 个
5. 数值{x2+x，2x}中，x 的取值范围是（
C．2 个 ）
D．3 个
A．（﹣∞，+∞）
B． （﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（1，+∞） D． （﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）
∴△=9+16a＞0，且 a≠0，即所求的范围是
，且 a≠0}；
（2）当 a=0 时，方程为﹣3x﹣4=0，
∴集合 A=
；
当 a≠0 时，若关于 x 的方程 ax2﹣3x﹣4=0 有两个相等的实数根，则 A 也只有一个元素，此时
；
若关于 x 的方程 ax2﹣3x﹣4=0 没有实数根，则 A 没有元素，此时
（1）求 f (4) ； （2）求 f (n) 的解析式（用 n 表示）．
解：（1）当 n=4 时，符合条件的集合 A 为： {2 }，{1, 4 }，{2 , 3}，{1, 3 , 4 } ，∴ f (4) =4。
( 2 ）任取偶数 x ∈ Pn ，将 x 除以 2 ，若商仍为偶数．再除以 2 ，··· 经过 k 次以后．商必为奇数． 此时记商为 m 。于是 x=mi2k ，其中 m 为奇数 k ∈ N * 。 由条件知．若 m ∈ A 则 x ∈ A ⇔ k 为偶数；若 m ∉ A ，则 x ∈ A ⇔ k 为奇数。于是 x 是否属于 A ，由 m 是 否属于 A 确定。
∴
，
∴A 不可能为单元素集． 12. 已知 A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且 1∈A，求实数 a 的值． 解：由题意：a+2=1 或（a+1）2=1 或 a2+3a+3=1，解得 a=﹣1 或 a=﹣2 或 a=0．据元素的互异性可排除 ﹣1，﹣2，∴a=0． 13. 已知集合 A={0，m，m2﹣3m+2}，且 2∈A，求实数 m 的值． 解：因 A={0，m，m2﹣3m+2}，且 2∈A 所以 m=2 或 m2﹣3m+2=2 即 m=2 或 m=0 或 m=3 当 m=2 时，A={0，2，0}与元素的互异性相矛盾，舍去； 当 m=0 时，A={0，0，2}与元素的互异性相矛盾，舍去； 当 m=3 时，A={0，3，2}满足题意 ∴m=3 14. 已知集合 A={x∈R|ax2﹣3x﹣4=0}， （1）若 A 中有两个元素，求实数 a 的取值范围； （2）若 A 中至多有一个元素，求实数 a 的取值范围． 解：（1）∵A 中有两个元素， ∴关于 x 的方程 ax2﹣3x﹣4=0 有两个不等的实数根，
B．6
C．4
D．2
19. （2009•北京）设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k∈A，如果 k﹣1 A 且 k+1 A，那么称 k 是 A
的一个“孤立元”，给定 S={1，2，3，4，5，6，7，8，}，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不
含“孤立元”的集合共有 个．6
20. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体：在定义域 D 内存在 x0，使得 f（x0+1）=f（x0） +f（1）成立．
数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．12
4. 【12 全国理】已知集合 A = {1, 2,3, 4,5} , B = {(x, y) x ∈ A, y ∈ A, x − y ∈ A} ；,则 B 中所含元素
的个数为（
）
(A) 3
(B) 6
(C) 8
(D) 10
5. 【12 江西理】若集合 A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数 为
1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共九个，N（t）=9，故选
项 D 不正确．
当 t=1 时， ABCD 的四个项点是 A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4），
同理知 N（t）=12，故选项 A 不正确．
当 t=2 时， ABCD 的四个项点是 A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4），
第 1 专题 集合
第 1 节 集合的概述
知识点 1、集合的概念
同步演练
1. 下列各项中，能组成集合的是（ ）
A．高一（3）班的好学生
B．嘉兴市所有的老人
C．不等于 0 的实数
D．我国著名的数学家
2. 在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程 x2+2=0 的实数解”中，能够表示成集
合的是（ ）
ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N（t）的
值域为
A．{9，10，11}
B．{9，10，12}
C．{9，11，12}
D．{10，11，12}
解：当 t=0 时， ABCD 的四个项点是 A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），符合条件的点有（1，