几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用

许生虎

（西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070）

摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻

求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。

关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法

1. 引言

在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。

构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。

2. 构造辅助函数的七中方法

“逆向思维法”

例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=2

1

21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()

θθθf f -='.

证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.

将()()

θθθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '⋅+='=,可考

虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F

因为()()ξξf f =1 ,

而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =

所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF

即:()()

θθθf f -='.

证毕

2.2 原函数法

在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下:

(1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ

(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;

(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;

(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.

例2: ()[]()

(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 分析: ()()ξξξf a

b f '⋅-= 可令 ()()()x f x b x F a -=

证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a

-= ()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,,

故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件

于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF

亦即： ()()ξξξf a

b f '⋅-= 证毕

设置变量法

当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。即：将结论中的ξ或η看作变量，作恒等变形后与中值定理的公式相对照，即可看出辅助函数的结构。

例3：设函数()()x g x f ,在[]上连续，b a ,且()(),1==a g b g 在()b a ,内()()x g x f ,可导,且()()()0,0≠'≠'+x f x g x g .试证明: ()∍∈∃,,,b a ηξ ()()()()[]η

ξξξηξe g g e f f '+='' 分析:欲证等式

将ηξ和均看作变量,则上式写成

辅助函数可取：x x e x x g e x ==)()

()(ψϕ 证明：),()(x g e x x ⋅=ϕ令则由题设可知],[)(),(b a x g x f 在上满足柯西中值定理，于是，使得),,(b a ∈∃ξ

因为1)()(==b g a g

所以， )1()]()([)()()(ξξξξg g e f e e a f b f a b '+'=--

再令],[)(),(,)(b a x x f e x x 在则ψψ=上满足柯西中值定理，于是，使得),,(b a ∈∃η 由（1），（2）得)]()([)(ξξξξg g e f '+'=ηηe

f )(' 几何直观法

对于某些证明题可以先从结论的几何意义进行分析，作为符合已知定义、定理的辅助曲线，再利用解析几何知识列出辅助曲线方程进而找出证明题所需要的辅助函数，打开证明思路。

例4 设函数)(x f 在),0[+∞内可导，.0)0()(='f x f 严格递增， 试证明：在 分析：由严格递增)(x f '知，)(x f 是下凸函数.

由图1知：)()(),0[1x x f x ϕ≥+∞∈∀有

即：

111()()()()f x f x f x x x '≥+- (1)

即：切线总在曲线的下方（几何意义）.

由图2知：..

122121k k l l k k >则的斜率和分别表示和由

即：

证明：方法一：有分析及（1）知 取10,x x x ==时()()()()00f f x f x x '≥+-

即：

方法二：由（2）知，令00=x ，则(2)式变为

再次引进辅助函数，

则)(x F 递增， .0)(≥'⇒x F

即：

微分方程法

所谓“微分方程法”是指遇到诸如“求证存在),(b a ∈ξ，使得)]([)(ξξϕξf f ，='”之类的问题时，可先解微分方程),(y x y ϕ='，得其通解：c y x G =),(，则可构造辅助函数).,()(y x G x F =

例 5 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且,0)(≠x f ),,(b a x ∈,0)()(==b f a f 若 证明：对k x f x f b a R k ='∈∃∈∀)

()(),,(,使ξ. 分析：将结论中的ξ换成x ，得可分离变量的微分方程：

()()

f x k f x '=， 即

其通解为()kx f x ce =，即：e ()kx f x c -=

于是可是辅助函数为

则.0)()(),(],[)(==b F a F b a b a x F 内可导，且上连续，再在

由Rolle 定理知，至少存在一点),,(b a ∈ξ使得

即：

常数k 值法

此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题，构造出辅助函数)(x F 的具体步骤如下：

（1） 从结论中分离出常数部分，将它令为k ；

（2） 做恒等变化，是等式（或不等式）一端为a 及f(a)构成的代数式，另一端为

b 和f(b)构成的代数式；

（3） 分析端点a,b 的表达式是否为对称式或轮换式。若是将端点改为x ，相应的函