等差数列及其前n项和专题练习(含参考答案)

数学27 等差数列及其前n 项和

一、选择题

1．数列{2n －1}的前10项的和是( C ) A ．120 B ．110 C ．100

D ．10

[解析] ∵数列{2n －1}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴S 10＝(a 1＋a 10)×102＝(1＋19)×102

＝100.故选C ．

2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金缍，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”( D )

A ．6斤

B ．7斤

C ．8斤

D ．9斤

[解析] 设这根金锤从头到尾每一尺的重量构成等差数列{a n }，由已知得a 1＝4，a 5＝2，求a 2＋a 3＋a 4，∵a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3×a 1＋a 5

2

＝9，故选D ．

3．设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( C ) A ．4 B ．3 C ．2

D ．1

[解析] ∵{a n }是等差数列，∴2a 4－a 6＝a 4－2d ＝a 2＝7，∵a 1a 2＝35，∴a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1

＝2，故选C ．

4．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1008＋a 2014＝( B )

A ．10

B ．15

C ．20

D ．40

[解析] 因为a 1，a 2015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2015＝10.由等差数列的性质可知，a 1008＝a 1＋a 2015

2＝5，a 2＋a 2014＝a 1＋a 2015＝10，所以a 2＋a 1008＋a 2014＝10＋5＝15.

故选B ．

5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( D )

A ．20

B ．40

C ．60

D ．80

[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得⎩⎨⎧S 5

＝5a 1

＋5×4

2

d ＝50，S 10

＝10a 1

＋10×9

2d ＝200，

即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋9

2d ＝20，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4. ∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D ．

6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列{S n

n }的前11项和为( D )

A ．－45

B ．－50

C ．－55

D ．－66

[解析] ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n

n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列{S n n }是以－1为首项，－1为公差的等差数

列，∴数列{S n

n }的前11项和为11×(－1)＋11×102

×(－1)＝－66，故选D ．

7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( B )

A ．1升

B ．67

66升

C ．47

44

升

D ．3733

升

[解析] 设该等差数列为{a n }，公差为d ，

由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩

⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，

3a 1＋21d ＝4，

解得⎩⎨⎧a 1＝1322

，

d ＝7

66.

∴a 5＝1322＋4×766＝67

66

.故选B ．

8．等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n }

的前n 项和S n 取得最大的正整数n 的值是( B )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

[解析] 由dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]得，d <0且9d ＋2a 1＝0，∴a 1＝－92d ，S n ＝d

2n 2＋(a 1

－d 2)n ＝d 2n 2－5dn ＝d

2

(n 2－10n )，当n ＝5时，S n 取得最大值，故选B ． 二、填空题

9．中位数为1011的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__3___． [解析] 设首项为a 1，则a 1＋2019＝2×1011，解得a 1＝3.故填3． 10．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ 14 ．

[解析] 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝1

4

．

11．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝__14___． [解析] 解法一：设数列{a n }的公差为d ， 则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，

又∵a 3＝0，∴d ＝2，∴a 7＝a 3＋4d ＝8， 又a 3＝a 1＋2d ，∴a 1＝－4， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×(－4＋8)

2＝14．

解法二：设数列{a n }的公差为d ， 则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，又∵a 3＝0， ∴d ＝2，∴a 4＝a 3＋d ＝2．

∴S 7＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝14．

12．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为__9___． [解析] 解法一：∵S 4＝1，S 8＝4，∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成首项为1，公差为2的等差数列，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝1＋2×(5－1)＝9．

解法二：由等差数列的性质知{S n

n }是等差数列，且其公差d ＝S 88－S 448－4＝12－

1

44＝116

∴

S 2020＝S 88＋12d ＝12＋34＝5

4

，∴S 20＝25，同理S 16＝16，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9．