权马尔可夫链在河流丰枯状况预测中的应用
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α 收稿日期: 1998203230 资助项目: 国家自然科学基金资助项目 (N o. 79570047) © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
90
系统工程理论与实践
1999 年 10 月
P ij , (i, j = 0, 1, …) 所构成的矩阵) 所决定.
212 权马尔可夫链预测的思想
由于河川径流量是一相依的随机变量, 各阶自相关系数刻画了各种滞时的径流量间的相关关系及其
强弱. 因而, 可考虑先分别依其前面若干时段的径流量对该时段径流量状况进行预测, 然后, 按前面各时
段与该时段相依关系的强弱加权求和, 即达到充分、合理利用信息进行预测的目的. 这就是权马尔可夫链
…, ij2 , ij1 有
P {X = (m + k) im + k X (m ) = im , X j l = ij l , …, X j2 = ij2 , X j1 = ij1 }
= P {X (m + k) = im + k X (m ) = ii}
(1)
成立. 这里, 要求 (1) 式左端有意义, 即假定
3
状态
331354323242145152
续表 1 滦河滦县站 1929～ 1981 年年径流量序列及在状态表
1
年
1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981
2 径流量 (亿 m 3) 34. 0 38. 5 35. 0 16. 9 65. 6 33. 1 22. 7 18. 1 45. 4 47. 9 36. 7 41. 8 65. 4 74. 7 65. 7 15. 2 27. 2
P {X (m ) = im , X (j l) = ij l , …, X (j1) = ij1 } > 0
马尔可夫链的性质和特征定义很多, 此处不一一列述.
实际应用中, 一般考虑齐次马尔可夫链, 即对任意 k , n∈N + , 有
P ij (n, k ) = P ij (k ) i, j = 0, 1, …
8) 可进一步对该马尔可夫链的特征进行分析.
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第 10 期
权马尔可夫链在河流丰枯状况预测中的应用
91
4 实例分析
本文以滦河滦县站 1929～ 1981 年共 53 年 (由于引滦入津的实施, 使滦县站 82 年以后的年径流量资 料的一致性被破坏, 故未采用) 的年径流量资料为例, 进行分析预测, 以说明该方法的具体应用并检验 之. 滦河滦县站 1929～ 1981 年年径流量资料如表 1 中“2”栏所列.
预测的基本思想.
3 权马尔可夫链预测的方法步骤
基于以上的思路, 权马尔可夫链预测的具体方法步骤如下:
1) 计算径流量序列各阶自相关系数 rk ,
n- k
n
6 6 rk =
(x t - xθ) (x t+ k - xθ)
(x t - xθ) 2
(3)
t= 1
t= 1
式中 rk 表示第 k 阶 (滞时为 k 的) 自相关系数; x t 表示第 t 时段的径流量; xθ 为径流量序列的均值; n 为径流
7) 将同一状态的各预测概率加权和作为径流量处于该状态的预测概率, 即
m
6 P i =
Ξk P
(k ) i
(5)
k= 1
式中符号意义同前.
m ax{P i, i∈I }所对应的 i 即为该时段径流量的预测状态. 待该时段径流量发生后, 将其加入原序列, 再重复“1)～ 7) ”, 可进行下一时段径流量的预测.
R 1 = 0. 071, R 2 = - 0. 309, R 3 = - 0. 088, R 4 = 0. 081, R 5 = 0. 264 2) 将各阶相关系数规范化作为各种步长的马尔可夫链的权, 由 (4) 式得
Ξ1 = 0. 087, Ξ2 = 0. 380, Ξ3 = 0. 108, Ξ4 = 0. 100, Ξ5 = 0. 325 3) 如表 2 所示, 将该序列划分为 5 个级别 (对应于马氏链有 5 个状态) , 即
数值区间 (亿 m 3) x Ε 71. 3
59. 4Φ x < 71. 3 35. 5Φ x < 59. 4 23. 5Φ x < 35. 5
x < 23. 5
4) 按表 2 的分极标准, 则序列中各年状态如表 1 中“3”栏所列. 5) 经统计, 可得到各种步长的马尔可夫链的状态转移概率矩阵如下:
3
状态
235431353114532443
续表 1 滦河滦县站 1929～ 1981 年年径流量序列及在状态表
1
年
1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964
2 径流量 (亿 m 3) 51. 4 41. 9 104 50. 2 20. 8 27. 1 47. 4 62. 1 50. 7 66. 7 33. 1 60. 0 128 33. 8 19. 7 78. 9 19. 2 66. 4
T he A pp lica t ion of W eigh ted M a rkov2Cha in to the P red ict ion of R iver R unoff Sta te
FEN G Yao 2long; HAN W en2x iu
( In stitu te of System s Eng ineering, T ian jin U n iversity, T ian jin 300072)
(2)
其中 P ij (n, k ) 表示“于等 n 阶段状态为 i, 经 k 步转移至状态 j 的概率”, P ij (k ) 表示“从状态 i 经 k 步转移至 状态 j 的概率”.
齐次的马尔可夫链{X (t) }完全由其初始分布{P (i) , i= 0, 1, …}及其状态转移概率矩阵 (状态转移概率
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
92
系统工Βιβλιοθήκη Baidu理论与实践
1999 年 10 月
步长为 1 的状态转移概率矩阵 17 17 27 27 17 28 0 38 38 0 3 18 4 18 7 18 0 4 18 0 19 39 29 39 18 28 38 28 0
1999 年 10 月
系统工程理论与实践
第 10 期
权马尔可夫链在河流丰枯状况预测中的应用α
冯耀龙, 韩文秀
(天津大学系统工程研究所, 天津 300072)
摘要: 针对河川径流量为相依随机变量的特点, 提出了以规范化的各阶自相关系数为权, 用加权的 马尔可夫链来预测河流未来丰枯状况的方法, 并通过实例对该方法进行了具体的应用. 关键词: 权; 马尔可夫链; 径流量; 预测 中图分类号: TV 124
1 引言
众所周知, 河川径流量为一随机变量, 其影响因素众多复杂. 目前为至, 还难以通过物理成因分析来 确定出未来某一时段 (如年、季、月等) 河川径流量的准确数值. 同时, 在有些情况下, 仅预测出未来某时 段径流量适当的变化区间 (即丰枯状况) 即可, 例如, 在旱涝灾害的初步预测及其预规划等方面. 这样以 来, 预测的范围扩大了 (由点值到区间) , 其可靠性相应就会提高. 由物理成因的定性分析及大量的河川 径流量序列资料的统计分析可得知, 河川径流量为一相依随机变量, 其相依关系的强弱, 广泛采用自相关 系数作为其定量的测度. 基于此, 我们可考虑以径流量序列规范化的各阶自相关系数为权, 用加权的马 尔可夫链来预测径流量未来的丰枯变化情况.
3
状态
333524453333212
先以 1929～ 1979 年序列预测 1980 年年径流量状况. 1) 经计算, 该序列 (1929～ 1979) 多年平均的年径流量为 xθ= 47. 4 亿 m 3. 无偏估计的标准差 S = 23. 9
亿 m 3. 各阶自相关系数 (对年径流量序列, 考虑前 5 阶自相关性即可) 分别为:
表 1 滦河滦县站 1929～ 1981 年年径流量序列及其状态表
1
年
1929 1939 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 1945 1946
2 径流量 (亿 m 3) 60. 9 48. 2 19. 1 25. 4 52. 4 71. 3 37. 6 16. 1 51. 9 94. 9 86. 4 24. 8 18. 4 42. 0 66. 5 30. 9 32. 7 36. 6
2 马尔可夫链及权马尔可夫链预测的思想
211 马尔可夫链 马尔可夫过程是随机过程的一个分支, 它的最基本特征是“无后效性”, 即在已知某一随机过程“现
在”的条件下, 其“将来”与“过去”是独立的. 马尔可夫链是状态与时间参数都离散的马尔可夫过程, 其数 学表达如下:
定义在概率空间 (8 , F , P ) 上的随机序列{X (t) , t∈T }, 其中 T = {0, 1, 2, …}, 状态空间 I = {0, 1, 2, …}, 称为马尔可夫链, 如果对任意正整数 l, m , k , 及任意非负整数 j l> …> j 2> j 1 (m > j l) , im + k , im , ijl,
Abstract: B a sed on the sp ecia l cha racteristics of the river runoff being a dep enden t stocha stic va riab le, a m ethod, w h ich is u sed to p red ict the sta te of the fu tu re river runoff by rega rd ing the standa rd ized self2co rrela tion coefficien ts a s w eigh ts and u sing the w eigh ted m a rkov cha in s, is develop ed. Fu rtherm o re, the m ethod is app lied to a rea l in stance. Keywords: w eigh t; M a rkov cha in; river runoff; p red iction
5) 对“4) ”所得的结果进行统计, 可得到不同步长的马氏链的转移概率矩阵, 它决定了径流量状态转
移过程的概率法则.
6) 分别以其前面若干时段各自的径流量为初始状态, 结合其相应的状态转移概率矩阵即可预测出该
时段径流量的状态概率
P
(k) i
,
i 为状态,
i∈I ,
k 为滞时 (步长) ,
k=
1, 2…, m.
量序列的长度.
2) 对各阶自相关系数的规范化, 即
m
6 Ξk = rk
rk
(4)
k= 1
将它们作为各种滞时 (步长) 的马尔可夫链的权 (m 为按预测需要计算到的最大阶数).
3) 建立径流量的分级标准 (相当于确定马尔可夫链的状态空间) , 根据资料序列的长短及具体问题的
要求进行. 例如, 可将年径流量分为丰、偏丰、正常、偏枯、枯 5 级 (对应于状态空间为 I = {1, 2, 3, 4, 5}) 等. 4) 按“3) ”所建立的分级标准, 确定资料序列中各时段径流量的状态.
状 态 1 2 3 4 5
级 别 丰水年 偏丰年 平水年 偏枯年 枯水年
表 2 年径流量分级表
分级标准 x Ε xθ+ 1. 0S xθ+ 0. 5S Φ x < xθ+ 1. 0S xθ- 0. 5S Φ x < xθ+ 0. 5S xθ- 1. 0S Φ x < xθ- 0. 5S x < xθ- 1. 0S
90
系统工程理论与实践
1999 年 10 月
P ij , (i, j = 0, 1, …) 所构成的矩阵) 所决定.
212 权马尔可夫链预测的思想
由于河川径流量是一相依的随机变量, 各阶自相关系数刻画了各种滞时的径流量间的相关关系及其
强弱. 因而, 可考虑先分别依其前面若干时段的径流量对该时段径流量状况进行预测, 然后, 按前面各时
段与该时段相依关系的强弱加权求和, 即达到充分、合理利用信息进行预测的目的. 这就是权马尔可夫链
…, ij2 , ij1 有
P {X = (m + k) im + k X (m ) = im , X j l = ij l , …, X j2 = ij2 , X j1 = ij1 }
= P {X (m + k) = im + k X (m ) = ii}
(1)
成立. 这里, 要求 (1) 式左端有意义, 即假定
3
状态
331354323242145152
续表 1 滦河滦县站 1929～ 1981 年年径流量序列及在状态表
1
年
1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981
2 径流量 (亿 m 3) 34. 0 38. 5 35. 0 16. 9 65. 6 33. 1 22. 7 18. 1 45. 4 47. 9 36. 7 41. 8 65. 4 74. 7 65. 7 15. 2 27. 2
P {X (m ) = im , X (j l) = ij l , …, X (j1) = ij1 } > 0
马尔可夫链的性质和特征定义很多, 此处不一一列述.
实际应用中, 一般考虑齐次马尔可夫链, 即对任意 k , n∈N + , 有
P ij (n, k ) = P ij (k ) i, j = 0, 1, …
8) 可进一步对该马尔可夫链的特征进行分析.
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第 10 期
权马尔可夫链在河流丰枯状况预测中的应用
91
4 实例分析
本文以滦河滦县站 1929～ 1981 年共 53 年 (由于引滦入津的实施, 使滦县站 82 年以后的年径流量资 料的一致性被破坏, 故未采用) 的年径流量资料为例, 进行分析预测, 以说明该方法的具体应用并检验 之. 滦河滦县站 1929～ 1981 年年径流量资料如表 1 中“2”栏所列.
预测的基本思想.
3 权马尔可夫链预测的方法步骤
基于以上的思路, 权马尔可夫链预测的具体方法步骤如下:
1) 计算径流量序列各阶自相关系数 rk ,
n- k
n
6 6 rk =
(x t - xθ) (x t+ k - xθ)
(x t - xθ) 2
(3)
t= 1
t= 1
式中 rk 表示第 k 阶 (滞时为 k 的) 自相关系数; x t 表示第 t 时段的径流量; xθ 为径流量序列的均值; n 为径流
7) 将同一状态的各预测概率加权和作为径流量处于该状态的预测概率, 即
m
6 P i =
Ξk P
(k ) i
(5)
k= 1
式中符号意义同前.
m ax{P i, i∈I }所对应的 i 即为该时段径流量的预测状态. 待该时段径流量发生后, 将其加入原序列, 再重复“1)～ 7) ”, 可进行下一时段径流量的预测.
R 1 = 0. 071, R 2 = - 0. 309, R 3 = - 0. 088, R 4 = 0. 081, R 5 = 0. 264 2) 将各阶相关系数规范化作为各种步长的马尔可夫链的权, 由 (4) 式得
Ξ1 = 0. 087, Ξ2 = 0. 380, Ξ3 = 0. 108, Ξ4 = 0. 100, Ξ5 = 0. 325 3) 如表 2 所示, 将该序列划分为 5 个级别 (对应于马氏链有 5 个状态) , 即
数值区间 (亿 m 3) x Ε 71. 3
59. 4Φ x < 71. 3 35. 5Φ x < 59. 4 23. 5Φ x < 35. 5
x < 23. 5
4) 按表 2 的分极标准, 则序列中各年状态如表 1 中“3”栏所列. 5) 经统计, 可得到各种步长的马尔可夫链的状态转移概率矩阵如下:
3
状态
235431353114532443
续表 1 滦河滦县站 1929～ 1981 年年径流量序列及在状态表
1
年
1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964
2 径流量 (亿 m 3) 51. 4 41. 9 104 50. 2 20. 8 27. 1 47. 4 62. 1 50. 7 66. 7 33. 1 60. 0 128 33. 8 19. 7 78. 9 19. 2 66. 4
T he A pp lica t ion of W eigh ted M a rkov2Cha in to the P red ict ion of R iver R unoff Sta te
FEN G Yao 2long; HAN W en2x iu
( In stitu te of System s Eng ineering, T ian jin U n iversity, T ian jin 300072)
(2)
其中 P ij (n, k ) 表示“于等 n 阶段状态为 i, 经 k 步转移至状态 j 的概率”, P ij (k ) 表示“从状态 i 经 k 步转移至 状态 j 的概率”.
齐次的马尔可夫链{X (t) }完全由其初始分布{P (i) , i= 0, 1, …}及其状态转移概率矩阵 (状态转移概率
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
92
系统工Βιβλιοθήκη Baidu理论与实践
1999 年 10 月
步长为 1 的状态转移概率矩阵 17 17 27 27 17 28 0 38 38 0 3 18 4 18 7 18 0 4 18 0 19 39 29 39 18 28 38 28 0
1999 年 10 月
系统工程理论与实践
第 10 期
权马尔可夫链在河流丰枯状况预测中的应用α
冯耀龙, 韩文秀
(天津大学系统工程研究所, 天津 300072)
摘要: 针对河川径流量为相依随机变量的特点, 提出了以规范化的各阶自相关系数为权, 用加权的 马尔可夫链来预测河流未来丰枯状况的方法, 并通过实例对该方法进行了具体的应用. 关键词: 权; 马尔可夫链; 径流量; 预测 中图分类号: TV 124
1 引言
众所周知, 河川径流量为一随机变量, 其影响因素众多复杂. 目前为至, 还难以通过物理成因分析来 确定出未来某一时段 (如年、季、月等) 河川径流量的准确数值. 同时, 在有些情况下, 仅预测出未来某时 段径流量适当的变化区间 (即丰枯状况) 即可, 例如, 在旱涝灾害的初步预测及其预规划等方面. 这样以 来, 预测的范围扩大了 (由点值到区间) , 其可靠性相应就会提高. 由物理成因的定性分析及大量的河川 径流量序列资料的统计分析可得知, 河川径流量为一相依随机变量, 其相依关系的强弱, 广泛采用自相关 系数作为其定量的测度. 基于此, 我们可考虑以径流量序列规范化的各阶自相关系数为权, 用加权的马 尔可夫链来预测径流量未来的丰枯变化情况.
3
状态
333524453333212
先以 1929～ 1979 年序列预测 1980 年年径流量状况. 1) 经计算, 该序列 (1929～ 1979) 多年平均的年径流量为 xθ= 47. 4 亿 m 3. 无偏估计的标准差 S = 23. 9
亿 m 3. 各阶自相关系数 (对年径流量序列, 考虑前 5 阶自相关性即可) 分别为:
表 1 滦河滦县站 1929～ 1981 年年径流量序列及其状态表
1
年
1929 1939 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 1945 1946
2 径流量 (亿 m 3) 60. 9 48. 2 19. 1 25. 4 52. 4 71. 3 37. 6 16. 1 51. 9 94. 9 86. 4 24. 8 18. 4 42. 0 66. 5 30. 9 32. 7 36. 6
2 马尔可夫链及权马尔可夫链预测的思想
211 马尔可夫链 马尔可夫过程是随机过程的一个分支, 它的最基本特征是“无后效性”, 即在已知某一随机过程“现
在”的条件下, 其“将来”与“过去”是独立的. 马尔可夫链是状态与时间参数都离散的马尔可夫过程, 其数 学表达如下:
定义在概率空间 (8 , F , P ) 上的随机序列{X (t) , t∈T }, 其中 T = {0, 1, 2, …}, 状态空间 I = {0, 1, 2, …}, 称为马尔可夫链, 如果对任意正整数 l, m , k , 及任意非负整数 j l> …> j 2> j 1 (m > j l) , im + k , im , ijl,
Abstract: B a sed on the sp ecia l cha racteristics of the river runoff being a dep enden t stocha stic va riab le, a m ethod, w h ich is u sed to p red ict the sta te of the fu tu re river runoff by rega rd ing the standa rd ized self2co rrela tion coefficien ts a s w eigh ts and u sing the w eigh ted m a rkov cha in s, is develop ed. Fu rtherm o re, the m ethod is app lied to a rea l in stance. Keywords: w eigh t; M a rkov cha in; river runoff; p red iction
5) 对“4) ”所得的结果进行统计, 可得到不同步长的马氏链的转移概率矩阵, 它决定了径流量状态转
移过程的概率法则.
6) 分别以其前面若干时段各自的径流量为初始状态, 结合其相应的状态转移概率矩阵即可预测出该
时段径流量的状态概率
P
(k) i
,
i 为状态,
i∈I ,
k 为滞时 (步长) ,
k=
1, 2…, m.
量序列的长度.
2) 对各阶自相关系数的规范化, 即
m
6 Ξk = rk
rk
(4)
k= 1
将它们作为各种滞时 (步长) 的马尔可夫链的权 (m 为按预测需要计算到的最大阶数).
3) 建立径流量的分级标准 (相当于确定马尔可夫链的状态空间) , 根据资料序列的长短及具体问题的
要求进行. 例如, 可将年径流量分为丰、偏丰、正常、偏枯、枯 5 级 (对应于状态空间为 I = {1, 2, 3, 4, 5}) 等. 4) 按“3) ”所建立的分级标准, 确定资料序列中各时段径流量的状态.
状 态 1 2 3 4 5
级 别 丰水年 偏丰年 平水年 偏枯年 枯水年
表 2 年径流量分级表
分级标准 x Ε xθ+ 1. 0S xθ+ 0. 5S Φ x < xθ+ 1. 0S xθ- 0. 5S Φ x < xθ+ 0. 5S xθ- 1. 0S Φ x < xθ- 0. 5S x < xθ- 1. 0S